Hodnocení | |
---|---|
Reciproční | Tak určitě |
Derivát | |
Primitiv |
Sada definic | |
---|---|
Sada obrázků | |
Parita | pár |
Nulová hodnota | 0 |
---|---|
Limit v + ∞ | + ∞ |
Limit v −∞ | + ∞ |
Minimální | 0 |
Nuly | 0 |
---|---|
Pevné body | 0; 1 |
V reálném analýze je čtverec funkce je funkce , která asociuje s každým reálné číslo jeho čtvereční , to znamená, že výsledek násobení tohoto čísla sama o sobě.
Tato výkonová funkce , kterou lze vyjádřit ve tvaru x ↦ x 2 = x × x, je funkční pár , pozitivní a jehož křivkou je parabola se svislou osou, vrcholem v počátku a orientovaným ve směru kladných souřadnic . Jako spojitá a přísně rostoucí funkce v intervalu [0, + ∞ [ indukuje bijekci z tohoto intervalu do sebe a připouští funkci odmocniny jako vzájemnou .
Čtvercová funkce je také prvním příkladem kvadratické funkce a je zobecněna na několik proměnných s pojmem kvadratická forma . Rovněž se vztahuje na komplexní rovinu jako celočíselná funkce s dvojitým kořenem na 0 .
První vlastnost je pozitivita (v širším smyslu) funkce čtverce. Ve skutečnosti pro každé reálné x je reálné x × x součinem dvou reálných čísel stejného znaménka; podle pravidla znamení je tedy pozitivní.
Funkce je sudá: f ( x ) = f (- x ) pro všechna reálná x . Ve skutečnosti s předchozí poznámkou pomocí pravidla znaménka získáme f (- x ) = (- x ) × (- x ) = x × x = f ( x ) .
Čtverec funkce je striktně konvexní přes . Jeho druhá derivace je skutečně přísně pozitivní: f ' = 2> 0 .
Výpočet předchůdců reálného a pomocí funkce čtverec je ekvivalentní řešení rovnice x 2 = a . Existují tři možné případy:
Například řešení x 2 = 9 jsou 3 a -3 .
Tyto prekurzory mohou být také stanovena graficky: antecedentů jsou úsečky z bodů průsečíku linie rovnice y = a a grafu čtvercového funkce .
Derivát čtvercového funkce je (to je lineární funkce, a proto liché). Je tedy (přísně) záporný a kladný , takže funkce čtverce se (přísně) snižuje na ] -∞, 0] a zvyšuje se na [0, + ∞ [ . To zmizí do 0 ° C, jeho globálního minima . Při řešení nerovností je třeba brát v úvahu směr variace čtvercové funkce (inverze nerovností, pokud jsou hodnoty záporné).
Protože funkce čtverce je kvadratický polynom , je Simpsonova metoda při výpočtu jejího integrálu přesná. Pro jakýkoli kvadratický polynom P a a a b real máme:
proto pro čtvercovou funkci definovanou pomocí máme:
Čtvercová funkce má jako primitiva všechny funkce g C definované, pro C libovolnou skutečnou konstantu:
.V ortonormálním souřadnicovém systému je funkce reprezentována parabolou, jejíž vrchol je bod (0, 0). Celá parabola je umístěna nad osou úsečky - což překládá pozitivitu funkce - a parita je detekovatelná díky ose symetrie, která je osou souřadnice .
Hranice čtvercového funkce, plus nekonečnu a mínus nekonečnu, je rovna navíc nekonečna.
Můžeme rozšířit definici čtvercového funkce do komplexu domény definováním . Například, je-li , . lze také chápat jako funkci ve funkci, kterou dvojice kombinuje od doby, kdy bylo psaní
Čtvercovou funkci lze použít k ilustraci vlastností diferencovatelnosti , holomorfie , často slouží jako příklad k ilustraci Cauchy-Riemannova stavu .
Čtvercová funkce se také používá k prokázání geometrické vlastnosti Pythagorovských trojic .