Funkce kosinus je matematická funkce dvojice z úhlu . V pravoúhlém trojúhelníku je kosinus úhlu poměr délky přilehlé strany k délce přepony .
Kosinus je mezi trigonometrickými funkcemi obvykle uváděn jako druhý .
Trigonometrické funkce jsou obvykle definovány jako poměr dvou stran pravoúhlého trojúhelníku a lze je definovat ekvivalentně jako délku různých segmentů na jednotkové kružnici . Modernější definice je charakterizují jako celé řady nebo jako řešení konkrétních diferenciálních rovnic , což umožňuje jejich rozšíření na libovolné hodnoty a komplexní čísla .
Funkce cosinus je běžně používán pro modelování na periodické jevy , jako jsou zvukové vlny nebo světla nebo změny teploty v průběhu roku.
Chcete-li definovat kosinus úhlu označeného cos, zvažte libovolný pravý trojúhelník, který obsahuje úhel.
Boky pravého trojúhelníku se nazývají:
Poznamenáme:
h : délka přepony; a : délka sousední strany.Tak :
.Tento poměr nezávisí na konkrétním zvoleném pravém trojúhelníku, pokud obsahuje úhel, protože všechny tyto pravé trojúhelníky jsou podobné.
V trigonometrii je jednotkový kruh kruh o poloměru 1 se středem na počátku (0, 0) kartézského souřadného systému.
Zvažte průnik mezi přímkou procházející počátkem, která svírá úhel s kladnou polovinou osy x , a jednotkovou kružnicí. Pak je vodorovná složka tohoto průsečíku rovna .
Kosinovou funkci lze definovat z celé řady , která konverguje pro všechna reálná x :
.Jinými slovy, cosinus x je definován jako reálné části v exponenciální série i x :
.Tato definice, spojená s analogií sinu (jako imaginární část ), je ekvivalentní Eulerovu vzorci .
Předchozí celá řada je jedinečným řešením Cauchyova problému :
,což tedy představuje ekvivalentní definici kosinové funkce.
Kosinová funkce je periodická s periodou 2π .
.Tato vlastnost přirozeně vyplývá z definice z kruhu jednotek ( viz výše ).
Přesněji řečeno, dvě reálná čísla mají stejný kosinus tehdy a jen tehdy, pokud jejich součet nebo jejich rozdíl patří .
Kosinová funkce je pár :
.Tato vlastnost se jasně objevuje ve vývoji celé řady.
Kosinová funkce je periodická, a proto není injektivní . Zvažujeme také jeho omezení na [0, π], které je samo o sobě bijektivní z [0, π] na obrázku [-1, 1], a poté definujeme reciproční funkci kosinus:
kdo tedy kontroluje
; .Derivace funkce kosinus je opakem funkce sinus:
.Primitivní cos je hřích, který je psáno:
.Pro každé reálné x je kosinová funkce spojitá v bodě x , takže její limit v tomto bodě je cos ( x ).
Vzhledem ke své periodicitě nemá žádný limit v ± ∞.
Hodnoty uvedené v tabulce níže odpovídají úhlům, pro které je možný výraz pomocí druhé odmocniny, a přesněji pro které platí Wantzelova věta ; Další informace najdete v článku Minimální polynom speciálních trigonometrických hodnot .
x (úhel) | cos x | |||
---|---|---|---|---|
Stupně | Radiány | Hodnosti | Přesný | Desetinný |
0 ° | 0 | 0 g | 1 | 1 |
180 ° | 200 g | -1 | -1 | |
15 ° | 16 2 / 3 g | 0,965925826289068 | ||
165 ° | 183 1/3 g | -0,965925826289068 | ||
30 ° | 33 1 / 3 g | 0,866025403784439 | ||
150 ° | 166 2 / 3 g | -0,866025403784439 | ||
45 ° | 50 g | 0,707106781186548 | ||
135 ° | 150 g | -0,707106781186548 | ||
60 ° | 66 2 / 3 g | 0,5 | ||
120 ° | 133 1 / 3 g | -0,5 | ||
75 ° | 83 1 / 3 g | 0,258819045102521 | ||
105 ° | 116 2 / 3 g | -0,258819045102521 | ||
90 ° | 100 g | 0 | 0 | |
36 ° | 40 g | 0,8090169944 | ||
54 ° | 60 g | 0,5877852523 | ||
126 ° | 140 g |
Kořen rovnice cos ( x ) = x je ipso facto pozoruhodné množství , která se nazývá číslo Dottie .
Kosinus se používá k určení reálné části komplexního čísla z uvedeného v polárních souřadnicích pomocí jeho modulu r a jeho argumentu φ:
.Funkce kosinus může překlenout komplexní doménu, kde se jedná o celočíselnou funkci :
.(en) Eric W. Weisstein , „ Cosine “ , na MathWorld
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">