Matematický model je překladem pozorování za účelem použití matematických nástrojů, technik a teorie k němu , a pak se obecně v opačném směru, překlad matematických výsledků získaných v předpovědích nebo operací v reálném světě.
Model vždy souvisí s tím, z čeho si člověk přeje odvodit. Stejný objekt, například myš, nebude modelován stejným způsobem podle toho, zda nás zajímá
Stejně tak model není nikdy dokonalý ani zcela reprezentativní pro realitu: výběr parametrů a vztahy, které je vážou, osvětlují konečnost. V rámci stejného modelu může výběr hodnot parametrů umožnit zadržet různé aspekty nebo dokonce různé reality.
I když je stanoven cíl, existuje často několik možných modelů, z nichž každý má své specifické výhody.
"V každém modelování existuje apriorní volba matematického prostředí používaného k popisu všech jevů." Formulace se málokdy ztotožňuje se skutečnými fyzickými projevy. "
Ve fyzice je tedy vhodné použít trojrozměrný euklidovský prostor, nebo „zakřivený“ prostor, nebo prostor se 4, 5, 11 nebo 26 rozměry , nebo Hilbertův prostor atd. I když je obecně možné ukázat velkou blízkost těchto různých zobrazení, ukázalo se, že se více či méně hodí pro uvažovanou situaci. Tyto teoretické formulace zůstávají užitečnými modely pro pochopení reality, ale liší se od ní. Například když fyzik prohlásí, že „vesmír se rozpíná“, je třeba chápat, že implicitně tvrdí, že „ve vztahu k mému matematickému rámci se všechno děje, jako by ...“. Jiný fyzik může konstatovat, že „vesmír se neroztahuje“: mohou se dokonale shodnout, pokud jsou matematické formulace odlišné.
Stejná poznámka platí pro další oblasti, zejména pro ekonomické a účetní modely, jejichž výsledky a výsledná rozhodnutí mají významné ekonomické a fiskální důsledky: archetypem ekonomického modelování je fiskální katastr a základy. Zdanění nemovitostí, které každý dobře ví, že jsou „nepravdivé“, to znamená, že pouze nedokonale odrážejí skutečnou hodnotu, která má sloužit jako reference.
To vše bez ignorování reality: ačkoli stavební model pro stavbu mostu zaručuje robustnost konstrukce, není vyloučeno, že se nakonec zhroutí (na druhou stranu, pokud model naznačuje, že taková varianta je příliš slabý, bylo by pošetilé to provést).
Lze si procvičovat modelování
Tyto matematické modely se používají k předvídání událostí nebo situací, jako je předpovídání počasí s počasím , odhad potenciálních cen finančních aktiv pomocí oceňovacích modelů ve financích nebo prevence epidemií. Mluvíme o prediktivních modelech , ve kterých budou známé proměnné zvané „vysvětlující“ použity k určení neznámých proměnných zvaných „vysvětleno“.
V tomto případě se modely používají k reprezentaci historických dat. Mluvíme o popisných modelech . Cílem je podat interpretovatelným způsobem zprávu o množství informací. Archetypem těchto modelů je účetnictví : zjednodušeným způsobem popisuje skutečné ekonomické události tak, že jim přiřadí účet, to znamená „štítek“, který je má charakterizovat. Tyto účty se poté agregují, aby standardním způsobem představily ekonomickou situaci společností a zemí.
Tyto dva typy modelů jsou dokonale propojeny: dobrá předpověď předpokládá alespoň předpověď minulé a současné situace, to znamená dobrý popis. Naopak, dobrý popis by byl naprosto zbytečný, pokud by nesloužil alespoň jako diagnóza nebo jako mapa k identifikaci kurzu, který má být zvolen.
Stejný matematický model lze použít v mnoha situacích, přičemž nemusí mít zjevný vztah. Například generátory krajiny jsou schopny vytvářet realistické tvary objektů odlišných od hor, stromů, skal, trávy, mušlí nebo sněhových vloček, s jedním obecným modelem, poté stejným. Že procesy růstu a stavby jeho objektů jsou velmi rozmanité . Pokud místo vytvoření nového modelu dokážeme přenést problém na známý starý model, okamžitě získáme množství velmi užitečných dat. Hodně práce proto spočívá v uznání, že se použije známý model, nebo v rozšíření známých vlastností zvláště užitečné třídy modelu (vlastnost, kterou lze poté použít ve větším rozsahu).
Georges Matheron rozlišuje:
Georges Matheron definuje několik úrovní popisu modelu:
Panskopický model bude usilovat o vysoký stupeň specifikace (s velkým počtem kritérií specifikace); naopak, monoskopický model bude hledat nejslabší předvídatelné hypotézy, a proto slabý stupeň specifikace.
Modely jsou funkční pouze v určitých oblastech. Budeme hovořit o prahu robustnosti (údajů, konkrétních, typu) a realismu, abychom kvalifikovali limity, v nichž je model v přiměřené přiměřenosti s realitou, nebo o prahu objektivity, když model již nemůže poskytnout relevantní prohlášení.
Předběžně je důležité si uvědomit, že matematická složitost není dostatečným kritériem pro posouzení, zda je model relevantní, či nikoli: existují třídy modelů, které vyžadují složité matematické nástroje, jako je operační výzkum nebo teorie her ; jiné třídy, například účetnictví , mají dětinský matematický přístup (sčítání, odčítání). Ale se srovnatelnými výsledky je to samozřejmě nejjednodušší model, který je výhodnější.
Relevantní je model:
Model je také relevantní, pokud je:
V tak krátkém článku o metodice použitelné ve všech situacích (pokud existuje!) Není pochyb, ale několik podstatných bodů.
1. Výchozím bodem je vždy otázka , kterou si klademe ohledně budoucí situace a / nebo tak složité, že nenacházíme odpověď zjevným způsobem.
Např .: je moje firma životaschopná? Stojí tento materiál za požadovanou cenu? Je tento lék účinný? Co je třeba udělat pro zlepšení situace?2. Chcete-li najít odpověď, je nutné omezit rozsah problému hledáním údajů, které si myslíme, že mají přímou souvislost s otázkou. Přílišné omezení s sebou nese riziko nemodelování jevu, který má v kontextu váhu, ale přílišné otevření vede k rozptýlení zdrojů a hromadění irelevantních údajů, které je třeba zahodit zdůvodněním výběru. Tento krok je nejcitlivější pro kvalitu modelu: podléhá a priori modeláře, jeho nedostatku znalostí - někdy metod - a prostředkům, které má k dispozici (čas, peníze, přístup k datům) . Během tohoto kroku zvolíme typ obecného modelu, který budeme používat, zejména podle údajů, které si myslíme, že máme.
3. Model musí být poté sestaven :
To je místo, kde přicházejí matematické a počítačové nástroje, které umožňují filtrování a konstrukci s minimem subjektivity za minimální čas.
4. Zbývající „substrát“ tvoří model, soubor pravidel nebo rovnic . Tato pravidla musí být popsána co nejúplněji: jejich relativní důležitost, vstupní a výstupní data, použité matematické nástroje, kroky, kterými je třeba projít, kontrolní body.
5. Poslední krok spočívá v ověření modelu : najdeme počáteční situaci uplatněním pravidel modelu na filtrovaná data? Pokud je rozdíl příliš velký, je nutné položit otázku limitů, které byly stanoveny, nebo relevance nástrojů použitých pro modelování.
Jedná se v zásadě o statistické a pravděpodobnostní nástroje, diferenciální výpočty (parciální a obyčejné diferenciální rovnice). Přesněji,