Stupeň , obvykle reprezentovány ° (symbol stupeň), je měřítkem rovinného úhlu , což představuje 1/360 o celou otáčku ; jeden stupeň je také ekvivalentní π / 180 radiánům . Pokud se tento úhel vztahuje k referenčnímu poledníku, označuje polohu podél velkého kruhu koule, jako je Země (viz Zeměpisné souřadnice ), Mars nebo nebeská koule . Poměr mezi 365,25 (průměrný počet dní rotace Země kolem Slunce ) a 360 ° (plná revoluce) nám umožňuje stanovit následující aproximaci: „Země se každý den otáčí kolem Slunce kolem jednoho stupně“.
Titul, rozdělený na minuty a sekundy, což jsou šedesátiny, pochází od Babyloňanů , kteří se počítali do základny 60 (sexagesimal) jako Číňané, kteří podle čínského kalendáře před více než 4700 lety používali 60 podle své astronomie a astrologie. Pro Číňany 60 odpovídá základnímu časovému cyklu. Perskí matematici sledovali a měřili nebeské i pozemské úhly stejným způsobem. Výsledkem bylo měření času tímto způsobem, přímo z astronomických úhlů.
O původu řezání v úhlu 360 ° bylo podáno několik vysvětlení.
Vzhledem k tomu, že rok, ve kterém Země obíhá kolem Slunce, trvá 365 dní, hvězdy každou noc rotují o zlomek otáčky (přibližně 1/365) vzhledem k ose. Vzhledem k tomu, že měření času nebylo ve svých počátcích nutně přesné, byl babylonský kalendář založen na roce 360 dnů rozděleném do 12 měsíců po 30 dnech, jak ukazuje tableta Mul Apin . Je možné, že stupeň byl definován jako zlomek úhlu posunu mezi oblohou jedné noci a úhlem následující noci, ve stejné době (viz Kosmologie ), hvězdy se tak pohybovaly asi 30 ° mezi dvěma po sobě následujícími měsíci . Tato definice však musela být přibližná s přesností na 1 nebo 2%.
Obecně platí vysvětlení je, že původní užitečnost 360 ° sexageimálního systému je usnadnit výpočet zlomků (a násobení). Ve skutečnosti je 360 násobkem 1, 2, 3 a 5, je rozdělen těmito čísly a jejich násobky 6, 8, 9, 10, 12, 15 atd. a všechny jejich kombinace, což zjednodušuje většinu výpočtů a převodů.
ne | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 15/2 | 8 | 9 | 10 | 45/4 | 12 | 15 | 18 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
360 ° / n | 180 | 120 | 90 | 72 | 60 | 48 | 45 | 40 | 36 | 32 | 30 | 24 | 20 |
60 'nebo „/ n | 30 | 20 | 15 | 12 | 10 | 8 | 7.5 | 6. 666 | 6 | 5. 333 | 5 | 4 | 3. 333 |
ne | 2/9 | 1/4 | 4/15 | 3/10 | 1/3 | 3/8 | 2/5 | 5/12 | 4/9 | 7/15 | 8/15 | 5/9 | 7/12 | 3/5 | 5/8 | 2/3 | 7/10 | 11/15 | 3/4 | 7/9 | 4/5 | 5/6 | 7/8 | 8/9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
n. 360 ° | 80 | 90 | 96 | 108 | 120 | 135 | 144 | 150 | 160 | 168 | 192 | 200 | 210 | 216 | 225 | 240 | 252 | 264 | 270 | 280 | 288 | 300 | 315 | 320 |
Nakonec, protože 360 ° se rovná 0 °, skončíme výpočtem v modulo 360, když mluvíme ve stupních. Výpočty lze často provádět v nižších modulech, což jsou multiplikátory 360. Nejjednodušší je, že sedm půl otáček má hodnotu jedné půl otáčky. V matematickém jazyce: 7 ≡ 1 (mod 2), sedm odpovídá jedné, modulo dva; a 7 × 180 ° = 1260 ° ≡ 180 ° (mod 360 °). V praxi se spokojíme s tím, že „sedmkrát sto osmdesát stupňů se rovná sto osmdesát stupňů“ . Podobně 120 ° + 270 ° = 390 ° ≡ 30 ° (režim 360 °).
Realita o původu 360 stupňů je ale pravděpodobně jiná. Nejjednodušší geometrický útvar není kruh, ale rovnostranný trojúhelník se třemi stranami a třemi stejnými úhly. Zdá se, že Sumerové, aby definovali stupeň úhlu, vzali úhel rovnostranného trojúhelníku jako referenci a že ho při použití své sexageimální základny rozdělili na 60 stupňů, pak stupeň v úhlu 60 minut, pak minuta za 60 úhlových sekund.
Součet úhlů trojúhelníku, který se rovná plochému úhlu (nebo dvěma pravým úhlům), znamená, že plochý úhel, který se tedy rovná 3 úhlům rovnostranného trojúhelníku, má hodnotu 60 × 3 = 180 stupňů, že pravý úhel, který je jeho polovinou, je 90 stupňů, a že celý obrat, který se rovná dvěma plochým úhlům, je tedy 360 stupňů. Stupeň by spíše 60 th část rovnostranného trojúhelníku úhlu (referenční úhel) a bylo by pouze důsledkem této definice vyplývá, že úplné otočení by měřit 360 stupňů.
Navíc skutečnost, že číslo 360 je číslo dělitelné mnoha celými čísly, nezostává nic náhodné. Vděčí za to samému původu sexageimálního systému používaného Sumery, poté Babyloňany, založeným na metodě výpočtu na falangách (který by se ve Vietnamu stále používal). Tito lidé počítali své falangy palci na jedné ruce; palec se posouvá přes tři falangy ostatních čtyř prstů, tj. dvanáct falangů: počítáme tedy od 1 do dvanácti, tedy počáteční základnu 12, což je číslo, které se objevuje za jiných okolností: 12 apoštolů, 12 zástupců 12 kmenů Izraele, 12 hodin dne a 12 hodin noci atd. Potom se k zadržení použijí prsty druhé ruky. Palec, na rozdíl od jednoho z ostatních čtyř prstů, počítá od 1 do 4 desítek. U obou rukou můžeme počítat až 5 × 12 = 60.
Číslo 360 je tedy výsledkem násobení 3 falangy × 4 prsty jedné ruky × 5 tuctu × 6 referenčních úhlů pro úplné otočení kruhu. Skutečnost, že v kruhu je 360 stupňů, se tedy jeví jak z důvodu velkého počtu dělitelů 360, tak z důsledného výpočtu. Trojúhelník může také evokovat astronomii ve starověkém Egyptě prostřednictvím jeho zvěrokruhu Dendérah nebo několika hrobek na astronomickém stropu, zejména v hrobce TT353 v Sénènmout, která věděla, že den se počítá 24 hodin.
Stupeň oblouku (symbol ° ) je praktickou jednotkou rovinného úhlu . Jeden stupeň je π / 180 radiánů , 10/9 stupňů, nebo 160/9 mil , nebo 1/360 celého kola.
Stupeň oblouku umožňuje měřit s celými čísly jak úhly pěticípé hvězdy (36 °), tak úhly šesticípé hvězdy (60 °) - dvě číslice z několika tisíciletí - a také úhly, které tvar s jejich průsečíky a úhly vytvořené přidáním nebo odstraněním úhlů.
I když se nejedná o jednotku mezinárodního systému (SI), je s ní přijato její použití . Předpony SI jen zřídka využity k symbolům stupně oblouku a jeho pododdělení (pouze úhlové vteřiny ve skutečnosti); tyto symboly jsou také jediné, které nelze oddělit od čísla před nimi mezerou: jeden musí napsat „ 12 ° 30 ′ “ a ne „ 12 ° 30 ′ “.
V poziční astronomii se čtvercový stupeň používá k měření pevného úhlu na nebeské sféře . Čtvereček je steradský .
Stupeň se dělí na 60 minut oblouku (symbol ′ ), které se samy dělí na 60 obloukových sekund (symbol ″ ).
Často také používáme desetinnou notaci: zaznamenáme „12,5 °“ a „12 ° 30 ′“, nebo dokonce „48,59039 °“ jako „48 ° 35'25,4“. Preference zde závisí na výpočtu a / nebo měření nářadí.
Tyto trigonometrické funkce jsou nezávislé na úhlové jednotky zvolené. Ale v analýze jsou funkce definovány hodnotami přijatými funkcemi pro proměnné vyjádřené v radiánech.
Pro úhel měření d ° , vyjádřený ve stupních, proto máme sin ( d °) = sin ( d ×π180) , a totéž pro ostatní trigonometrické funkce .
V astronomii nebo optice používáme aproximaci pro malé úhly (méně než 5 °).
Sinus a tangenta malého úhlu jsou téměř stejné jako jeho hodnota v radiánech .