Lipschitzova aplikace

V matematické analýze je mapa Lipschitzian (pojmenovaná podle Rudolfa Lipschitze ) mapa s určitou vlastností pravidelnosti, která je silnější než kontinuita . Intuitivně je to funkce, jejíž způsob vývoje je omezený. Jakýkoli segment spojující dva body grafu takové funkce bude mít v absolutní hodnotě sklon menší než konstanta zvaná Lipschitzova konstanta .

Lipschitzovské funkce jsou zvláštním případem Hölderianových funkcí .

Definice

Skutečný případ

Nechť E být součástí ℝ, mapy a K je kladný reálný počet . F:E→R{\ displaystyle f: E \ to \ mathbb {R}}

Říkáme, že f je k -lipschitzian, pokud

∀(X,y)∈E2, |F(X)-F(y)|≤k |X-y|.{\ displaystyle \ forall (x, y) \ v E ^ {2}, ~ | f (x) -f (y) | \ leq k ~ | xy |.}

Případ metrických prostorů

Nechť a na metrických prostorech , aplikace a k pozitivní reálné. (E,dE){\ displaystyle (E, d_ {E})}(F,dF){\ displaystyle (F, d_ {F})}F:E→F{\ displaystyle f: E \ až F}

Říkáme, že f je k -lipschitzian, pokud

∀(X,y)∈E2, dF(F(X),F(y))≤k dE(X,y).{\ displaystyle \ forall (x, y) \ v E ^ {2}, ~ d_ {F} \ doleva (f (x), f (y) \ doprava) \ leq k ~ d_ {E} (x, y ).}

Dále

• f se říká, že je Lipschitzian, pokud existuje k ≥ 0 takové, že f je k -lipschitzian.
• Pokud existují takové k pak je nejmenší z nich existuje a je nazýván lipschitzovská konstantu ve f .
• Označme Lip ( f ) tuto konstantu: mámeRet(F)=supX≠y(d(F(X),F(y))d(X,y)){\ displaystyle {\ text {Lip}} (f) = \ sup _ {x \ neq {y}} \ left ({\ frac {d {\ bigl (} f (x), f (y) {\ bigr )}} {d (x, y)}} \ vpravo)}
• f se říká, že se smršťuje, pokud existuje takové, že f je k -lipschitzian, jinými slovy, pokud Lip ( f ) <1.k∈[0,1[{\ displaystyle k \ v [0,1 [}
• f je místně nazývá Lipschitzian pokud z nějakého bodu x z E , existuje sousedství V o x tak, že omezení z f do V, je Lipschitzian (pro určité konstantní k , které mohou záviset na V , tedy na x ).

Vlastnosti

Charakterizace mezi odvozitelnými funkcemi

Funkce f diferencovatelná v reálném intervalu je Lipschitzian právě tehdy, když je její derivace omezená.

• Jakákoli skutečná funkce spojitě diferencovatelná v ohraničeném uzavřeném reálném intervalu je Lipschitzian.
• V důsledku toho je jakákoli spojitě diferencovatelná funkce v určitém intervalu místně Lipschitzian.

Některé vlastnosti

• Jakákoli Lipschitzova funkce je rovnoměrně spojitá a jakákoli lokálně Lipschitzova funkce je spojitá. Lipschitzovské funkce jsou ve skutečnosti přesně 1-Hölderianovy funkce, ale jakákoli Hölderianova funkce je jednotně spojitá.
• Pokud je funkce f definovaná na součin dvou metrických prostorů ( E 1 , d 1 ) a ( E 2 , d 2 ) k 1 -lipschitzianská vzhledem k první proměnné a k 2 -lipschitzianská vzhledem k druhé, pak to je ( k 1 + k 2 ) - Lipschitzian, na tomto produktu E = E 1 × E 2 obdařený vzdáleností d E definovanou d E ( x , y ) = max ( d 1 ( x 1 , y 1 ), d 2 ( x 2 , y 2 )). Ve skutečnosti tedy máme:d F ( f ( x ), f ( y )) ≤ d F ( f ( x 1 , x 2 ), f ( y 1 , x 2 )) + d F ( f ( y 1 , x 2 ), f ( y 1 , y 2 )) ≤ k 1 d 1 ( x 1 , y 1 ) + k 2 d 2 ( x 2 , y 2 ) ≤ ( k 1 + k 2 ) d E ( x , y ).
• Na kompaktním prostoru je jakákoli lokálně Lipschitzianská funkce Lipschitzian.
• Jakákoli skutečná Lipschitzova funkce je ( tedy absolutně spojitá, proto s omezenou variací ) derivovatelná téměř všude pro Lebesgueovu míru a její derivace je v zásadě omezená .
• Podle Rademacherovy věty je jakákoli Lipschitzova funkce definovaná na ℝ n stále Lebesgueova - téměř všude diferencovatelná. Díky tomu jsou Lipschitzovské funkce velmi užitečné v různých oborech matematiky, například v geometrické teorii, protože diferencovatelnost téměř všude je více než dostatečná.
• Libovolný jednoduchý limit f k -lipschitziánských funkcí f n : E → F je k -lipschitzian. Jednoduchý limit kompaktu je ve skutečnosti automaticky jednotný (uniformní Lipschitzianita implikuje ekvikontinuitu, která implikuje jednotnou konvergenci na libovolném kompaktu). Nechť ε> 0; ukážeme, že f je (k + ε) -lipschitzian. Pro všechny body x a y z E jsme existenci N takové, že pro n≥N jsme d F ( f ( x ), f n ( x )) ≤ δ (tím, že se důmyslně δ = d E ( x , y ) ε / 2) a podobně pro y (i když to znamená brát největší mezi N_x a N_y):
  d F ( f ( x ), f ( y )) ≤ d F ( f n ( x ), f n ( y )) + 2 δ ≤ kd E (x, y) + ε d E ( x , y ) f je (k + ε) -lipschitzian pro všechna ε, z toho vyplývá, že f je k-Lipscitzian.
• Kirszbraun věta  (en) (zobrazeno na dvě euklidovských prostorů podle Mojżesz David Kirszbraun pak generalizované Frederick Valentine) zajišťuje, že pro dva Hilbertových prostorech H 1 , H 2 , je funkce Lipschitz na části M 1, a s hodnotami v H 2 plechovky být rozšířen na Lipschitzovu funkci z celé H 1 do H 2 , se stejnou Lipschitzovou konstantou.

Příklady

• Aplikace je 0-Lipschitzian právě tehdy, pokud je konstantní.
• Bez ohledu na skutečný ε> 0, funkce druhé odmocniny není Lipschitzian na [0, ε] ani dokonce (což kontinuita je ve skutečnosti ekvivalentní) na] 0, ε] (to je pouze 1 / 2 - Hölderian).
• Funkce g definovaná na uzavřeném ohraničeném intervalu [0, 1] pomocí g ( x ) =  x 3/2 sin (1 / x ), pokud x  ≠ 0 a g (0) = 0 je diferencovatelné ve všech oblastech, ale ne Lipschitzian, kvůli neomezenému derivátu.

Poznámky a odkazy

1. Stéphane Baláč a Laurent Chupin , analýzy a algebry: druhý rok matematiky samozřejmě s opravenými cvičení a ilustrací s javor , Lausanne, PPUR ,2008( číst online ) , s.  558.
2. Alain Yger a Jacques-Arthur Weil , Aplikovaná matematika L3: Kompletní kurz s 500 opravenými testy a cvičeními , Paříž, Pearson,2009( číst online ) , s.  141.
3. (in) „  fraktály a sebepodobnost, s. 716  “ na Indiana University
4. Ukázku najdete například v této části lekce „Funkce skutečné proměnné“ na Wikiversity .

Související články

• Cauchy-Lipschitzova věta
• Banachova věta o pevném bodě