Funkce ohraničené variace

V analýze se říká, že funkce má omezenou variaci, když splňuje určitou podmínku pravidelnosti. Tuto podmínku zavedl v roce 1881 matematik Camille Jordan, aby rozšířil Dirichletovu větu o konvergenci Fourierových řad .

Definice

Nechť $f$ je funkce definovaná na zcela uspořádané množině T a s hodnotami v metrickém prostoru ( E , d ).

Pro všechna dělení $σ = ( x 0 , x 1 , ..., x n )$ z jakéhokoliv intervalu z T , definujeme $V ( f , σ)$ podle:

V (f, \ sigma) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} d (f (x _ {{i-1}}), f (x_ {i})).

Říkáme celkové variace ve $f$ o T hodnotu $V T ( f )$ ∈ ℝ definován:

V_ {T} (f) = \ sup _ {{\ sigma}} V (f, \ sigma).

Říkáme, že $f$ má omezenou variaci, pokud je tato horní hranice $V T ( f )$ konečná, jinými slovy, jestliže „oblouk“ (ne nutně spojitý) definovaný $f$ je napravitelný ve smyslu Jordan .

Zájem koncepce

Tyto funkce Monotónní tvoří důležitou třídu funkcí v analýze. Má však tu nevýhodu, že není invariantní pro základní algebraické operace: například součet dvou monotónních funkcí nemusí být nutně monotónní. Protože jakákoli funkce s omezenými variacemi je součtem dvou monotónních funkcí a naopak , lze na funkce s omezenými variacemi pohlížet jako na zobecnění monotónních funkcí, ale s výhodou, že sada funkcí s omezenými variacemi je poskytována sčítáním nebo s násobení tvoří kruh : součet a součin dvou funkcí s omezenými variacemi je s omezenými variacemi.

Vlastnosti

Celková variace (konečná nebo nekonečná) spojité funkce $f$ na reálném segmentu [ a , b ] není jen horní mezí $V$ $($ $f$ $, σ),$ když $σ$ prochází členěním [ a , b ], ale také jejich limit, když krok dělení $σ$ má sklon k 0. Dedukujeme, že pro spojitou funkci s omezenou variací $f$ je mapa $t$ $\mapsto$ $V$ $[$ $a$ $,$ $t$ $]$ $($ $f$ $)$ spojitá.
Pokud φ je bijection rostoucí další uspořádaná množina S na T , celková změna $f$ ∘φ na S , je stejná jako u $f$ o T .
Pro vektor normované prostor E , ohraničené variace funkce tvoří podprostor prostoru funkcí T v E .
Jakákoli absolutně spojitá funkce $F$ (zejména jakákoli Lipschitzova funkce ) má ohraničenou variaci. Jinými slovy: pokud $f$ je integrovatelná ve smyslu Lebesgueův na intervalu $I$ pak pro $v$ pevné v $I$ , funkci $x \ mapsto F (x) = \ int _ {a} ^ {x} f (t) ~ {\ mathrm d} t$ je omezená variace. Vskutku, $V_ {a} ^ {x} (F) \ leq \ int _ {a} ^ {x} \ vert f (t) \ vert dt \ leq \ int _ {I} \ vert f (t) \ vert ~ { \ mathrm d} t.$
Nastaví se libovolná funkce s omezenou variací (to znamená jednotný limit řady funkcí schodiště ).
Funkce s omezenou variací reálného segmentu v ℝ jsou přesně rozdíly dvou zvyšujících se funkcí (takový rozklad $f = g - h$ není zdaleka jedinečný; pokud je $f$ spojitý, lze $g$ a $h$ zvolit spojitý: příkladem $h ( t ) = V [ , t ] ( f )$ a $g = f + h$ ). Odvodíme, že jejich dis kontinuita jsou nepodstatné a tvoří jeden celek k těm počitatelná a že tyto funkce jsou odvoditelné téměř všude (ve smyslu opatření Lebesgue ), z lokálně integrovatelných derivátů .
K dispozici jsou odvoditelné funkce s nekonečnou celkové variace, jako je například funkce $f$ definována na [-1, 1], $f ( x ) = x 2 cos 2 (π / x 2 )$ , pokud $x \neq 0$ a $f (0) = 0$ .

Zobecnění pro vícerozměrné funkce

Definici rozšířenou na funkce s více proměnnými lze provést pomocí variace Vitali. Navržený Vitali, převzal jej Lebesgue a Fréchet.

Nechť f je funkce definovaná v bloku . Všimli jsme si: $[a_ {1}, b_ {1}] \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n}] \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}$

\ Delta _ {{h_ {k}}} (f, x) = f (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {k} + h_ {k}, \ cdots, x_ {n}) -f (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {k}, \ cdots, x_ {n})

pak rekurzivně

\ Delta _ {{h_ {1}, h_ {2}, \ cdots, h_ {k}}} (f, x) = \ Delta _ {{h_ {k}}} (\ Delta _ {{h_ {1 }, h_ {2}, \ cdots, h _ {{k-1}}}}, x).

Potom si dáme sekvence bodů v každém směru a spojíme se $\ pi _ {k}$ $a_ {k} = t_ {k} ^ {1} <t_ {k} ^ {2} <\ cdots <t_ {k} ^ {{N_ {k} +1}} = b_ {k}$ $h_ {k} ^ {i} = t_ {k} ^ {{i + 1}} - t_ {k} ^ {i}.$

Změna Vitali smyslu pro f je dán vztahem:

V ^ {n} (f) = \ sup _ {{(\ pi _ {1}, ... \ pi _ {n})}} \ sum _ {{k = 1}} ^ {{n}} \ sum _ {{i_ {k} = 1}} ^ {{N_ {k}}} \ left | \ Delta _ {{h_ {1} ^ {{i_ {1}}}, h_ {2} ^ { {i_ {2}}}, \ cdots, h_ {k} ^ {{i_ {k}}}}} \ left (f, (x_ {1} ^ {{i_ {1}}}, x_ {2} ^ {{i_ {2}}}, \ cdots, x_ {k} ^ {{i_ {k}}}) \ right) \ right |

Tuto definici variace lze rozšířit definicí Hardy-Krause variace:

Hardy-Krause variace f je dán vztahem:

V (f) = \ součet V ^ {n} (f)

kde je součet vytvořen na všech plochách všech podintervalů bloku dimenze menší nebo roven $n$ . $[a_ {1}, b_ {1}] \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n}] \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}$

Poznámky a odkazy

Poznámky

Protiklad : Funkce $f : x \mapsto -x$ a $g : x \mapsto x 3$ jsou monotónní, ale $f + g$ není.

Reference

Godfrey Harold Hardy ( z angličtiny přeložil Alexandre Moreau), „Camille Jordan“ , Matematika a matematici , Nitens,2018( 1 st ed. 1922) ( ISBN 9782901122005 ).
Gustave Choquet , kurs analýzy, svazek II: Topologie , s. 99-106.
Xavier Gourdon, Matematika v mysli: Analýza , Paříž, Elipsy,2008, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1994), 432 str. ( ISBN 978-2-7298-3759-4 ) , kap. 2 („Funkce reálné proměnné“).
(in) J. Yeh , Real Analysis: Theory of Measure and Integration , World Scientific,2006, 2 nd ed. , 738 s. ( ISBN 978-981-256-653-9 , číst online ) , s. 265 : " Jordanův rozklad funkcí ohraničené variace "
(it) G. Vitali , „ Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali “ , Atti Accad. Sci. Torino , sv. 43,1908, str. 229-246
(De) H. Hahn , Theorie der reellen Funktionen. Erster Band. ,1921

Externí odkaz

(en) „Funkce ohraničené variace“ , Michiel Hazewinkel , Encyklopedie matematiky , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , číst online )