Tečna (trigonometrie)
Tangenta je základní goniometrické funkce . Je třeba poznamenat, opálení a bylo dříve uvedeno tg .
Definice
Ve srovnání s pravým trojúhelníkem :
V pravoúhlém trojúhelníku ABC v C je tečna úhlu A poměr mezi stranou naproti A a stranou sousedící s A :
opáleníNA^=BVSNAVS{\ displaystyle \ tan {\ hat {A}} = {\ frac {BC} {AC}}}![{\ displaystyle \ tan {\ hat {A}} = {\ frac {BC} {AC}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cea81657c78460a1270816cf79095d487c0ef029)
.
Připomínáme, že často používáme mnemotechnickou zkratku „TOA“:
tnaneGEnetE=ÓppÓsE„nadjnavs.Enet{\ displaystyle \ mathrm {tangent} = {\ frac {\ mathrm {opačný {\ akutní {e}}}} {\ mathrm {sousední}}}}
S ohledem na trigonometrický kruh :
Tečna úhlu θ je délka segmentu tečny ke trigonometrické kružnici, která protíná osu x.
Ve srovnání s jinými trigonometrickými funkcemi: tangenciální funkce je poměr mezi sinusovou funkcí a kosinusovou funkcí :
opáleníθ=hříchθcosθ.{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta}}.}![{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b938ed2a3bf3608187cb43fdce9a26f7186b66d)
Všimněte si, že tato funkce není definována pro hodnoty, kde kosinus úhlu zmizí, což odpovídá hraničním případům, kdy je tečna rovnoběžná s úsečkou.
Aplikace
V pravoúhlém trojúhelníku umožňuje funkce tangens určit délku jedné strany pravého úhlu s vědomím úhlu a délku jedné z ostatních stran. Slouží k měření optické délky. Například pomocí paralaxového dálkoměru je vzdálenost D pozorovaného objektu určena ze vzdálenosti L oddělující se mezi dvěma pozorovacími brýlemi a z pozorovacího úhlu θ, určeného tak, že se obrazy dvou shodují. Brýle otáčením zrcadla:
D=L⋅opáleníθ{\ displaystyle D = L \ cdot \ tan \ theta}
Tangenta je také způsob vyjádření míry úhlu: když vyjádříme sklon v procentech (%), odpovídá tangentě úhlu největšího sklonu ve srovnání s horizontálou, vynásobenou na sto.
Tečná funkce
Vlastnosti
Tečná funkce je skutečná funkce, která je:
-
periodický , s periodou π: tan (θ + k ⋅ π) = tan θ pro jakékoli k celé číslo ;
-
liché : tan (–θ) = - tan θ ;
- mizí v 0 a proto pro všechny celočíselné násobky π: tan ( k π) = 0 pro jakékoli celé číslo k ;
- představuje vertikální asymptoty s hodnotami θ = k π + π / 2 pro jakékoli k celé číslo:
limθ→(π/2)-opáleníθ=+∞{\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to (\ pi / 2) ^ {-}} \ tan \ theta = + \ infty}
limθ→(π/2)+opáleníθ=-∞{\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to (\ pi / 2) ^ {+}} \ tan \ theta = - \ infty}
- jeho derivát je: opálení′θ=1cos2θ=1+opálení2θ{\ displaystyle \ tan '\ theta = {\ frac {1} {\ cos ^ {2} \ theta}} = 1+ \ tan ^ {2} \ theta}
- pokud je úhel θ vyjádřen v radiánech , pak pro nízké hodnoty θ máme:
tan θ ≃ θ (viz níže část Omezená expanze ).
Použitím Eulerova vzorce máme:
opáleníθ=Eiθ-E-iθi(Eiθ+E-iθ){\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {i \ theta} - \ mathrm {e} ^ {- i \ theta}} {i (\ mathrm {e} ^ {i \ theta } + \ mathrm {e} ^ {- i \ theta})}}}![{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {i \ theta} - \ mathrm {e} ^ {- i \ theta}} {i (\ mathrm {e} ^ {i \ theta } + \ mathrm {e} ^ {- i \ theta})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27f806cc3b591828bba0a33a7934ce7a091d3616)
Reciproční funkcí je funkce tangens arc , označená jako arctan ; některé kalkulačky to označují jako „atan“.
Inverzní funkcí tangenty je funkce kotangens , označená dětská postýlka (někdy cotan nebo cotg):
nákladyθ=1opáleníθ=cosθhříchθ{\ displaystyle \ operatorname {cot} \ theta = {\ frac {1} {\ tan \ theta}} = {\ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta}}}![{\ displaystyle \ operatorname {cot} \ theta = {\ frac {1} {\ tan \ theta}} = {\ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/479e3443883a2efb3ba8c2dadf7f4e48c429d0b2)
Omezený vývoj
Omezený vývoj funkce tangenty na nulu, je:
opáleníX=X+X33+2X515+17X7315+...+(-1)ne⋅22ne⋅(1-22ne)⋅B2ne(2ne)!⋅X2ne-1+Ó(X2ne){\ displaystyle \ tan x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {2x ^ {5}} {15}} + {\ frac {17x ^ {7}} { 315}} + \ ldots + {\ frac {(-1) ^ {n} \ cdot 2 ^ {2n} \ cdot (1-2 ^ {2n}) \ cdot B_ {2n}} {(2n)!} } \ cdot x ^ {2n-1} + o (x ^ {2n})}![{\ displaystyle \ tan x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {2x ^ {5}} {15}} + {\ frac {17x ^ {7}} { 315}} + \ ldots + {\ frac {(-1) ^ {n} \ cdot 2 ^ {2n} \ cdot (1-2 ^ {2n}) \ cdot B_ {2n}} {(2n)!} } \ cdot x ^ {2n-1} + o (x ^ {2n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d24cd4d85c3729f86b61283798e6a0c797e1a476)
kde B 2 n jsou Bernoulliho čísla .
Numerický výpočet
Výpočet tangenty se provádí pomocí řady , ale místo použití expanze omezené Taylorovou řadou , která využívá mnoho násobení, upřednostňujeme algoritmus CORDIC .
Podívejte se také
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">