Tečna (trigonometrie)

Tangenta je základní goniometrické funkce . Je třeba poznamenat, opálení a bylo dříve uvedeno tg .

Definice

V pravoúhlém trojúhelníku ABC v C je tečna úhlu A poměr mezi stranou naproti A a stranou sousedící s A :

{\ displaystyle \ tan {\ hat {A}} = {\ frac {BC} {AC}}}

Připomínáme, že často používáme mnemotechnickou zkratku „TOA“:

{\ displaystyle \ mathrm {tangent} = {\ frac {\ mathrm {opačný {\ akutní {e}}}} {\ mathrm {sousední}}}}

S ohledem na trigonometrický kruh :

Tečna úhlu θ je délka segmentu tečny ke trigonometrické kružnici, která protíná osu x.

Ve srovnání s jinými trigonometrickými funkcemi: tangenciální funkce je poměr mezi sinusovou funkcí a kosinusovou funkcí :

{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta}}.}

Všimněte si, že tato funkce není definována pro hodnoty, kde kosinus úhlu zmizí, což odpovídá hraničním případům, kdy je tečna rovnoběžná s úsečkou.

Aplikace

V pravoúhlém trojúhelníku umožňuje funkce tangens určit délku jedné strany pravého úhlu s vědomím úhlu a délku jedné z ostatních stran. Slouží k měření optické délky. Například pomocí paralaxového dálkoměru je vzdálenost D pozorovaného objektu určena ze vzdálenosti L oddělující se mezi dvěma pozorovacími brýlemi a z pozorovacího úhlu θ, určeného tak, že se obrazy dvou shodují. Brýle otáčením zrcadla:

{\ displaystyle D = L \ cdot \ tan \ theta}

Tangenta je také způsob vyjádření míry úhlu: když vyjádříme sklon v procentech (%), odpovídá tangentě úhlu největšího sklonu ve srovnání s horizontálou, vynásobenou na sto.

Tečná funkce

Vlastnosti

Tečná funkce je skutečná funkce, která je:

periodický , s periodou π: $tan (θ + k \cdot π) = tan θ$ pro jakékoli k celé číslo ;
liché : $tan (-θ) = - tan θ$ ;
mizí v 0 a proto pro všechny celočíselné násobky π: $tan ( k π) = 0$ pro jakékoli celé číslo k ;
představuje vertikální asymptoty s hodnotami $θ = k π + π / 2$ pro jakékoli k celé číslo: ${\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to (\ pi / 2) ^ {-}} \ tan \ theta = + \ infty}$ ${\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to (\ pi / 2) ^ {+}} \ tan \ theta = - \ infty}$
jeho derivát je: ${\ displaystyle \ tan '\ theta = {\ frac {1} {\ cos ^ {2} \ theta}} = 1+ \ tan ^ {2} \ theta}$
pokud je úhel θ vyjádřen v radiánech , pak pro nízké hodnoty θ máme: tan θ ≃ θ (viz níže část Omezená expanze ).

Použitím Eulerova vzorce máme:

{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {i \ theta} - \ mathrm {e} ^ {- i \ theta}} {i (\ mathrm {e} ^ {i \ theta } + \ mathrm {e} ^ {- i \ theta})}}}

Reciproční funkcí je funkce tangens arc , označená jako arctan ; některé kalkulačky to označují jako „atan“.

Inverzní funkcí tangenty je funkce kotangens , označená dětská postýlka (někdy cotan nebo cotg):

{\ displaystyle \ operatorname {cot} \ theta = {\ frac {1} {\ tan \ theta}} = {\ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta}}}

Omezený vývoj

Omezený vývoj funkce tangenty na nulu, je:

{\ displaystyle \ tan x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {2x ^ {5}} {15}} + {\ frac {17x ^ {7}} { 315}} + \ ldots + {\ frac {(-1) ^ {n} \ cdot 2 ^ {2n} \ cdot (1-2 ^ {2n}) \ cdot B_ {2n}} {(2n)!} } \ cdot x ^ {2n-1} + o (x ^ {2n})}

kde B 2 n jsou Bernoulliho čísla .

Numerický výpočet

Výpočet tangenty se provádí pomocí řady , ale místo použití expanze omezené Taylorovou řadou , která využívá mnoho násobení, upřednostňujeme algoritmus CORDIC .

Podívejte se také

Kotangens
Pytagorova trigonometrická identita
Hyperbolická tečna
Substituce Weierstrass (en) (sinusové a kosinusové funkce jako racionální funkce tangensu polovičního úhlu)
Tečna jakékoli nenulové racionální je iracionální.