Univalentní funkce

V matematiky , a přesněji v komplexní analýze , je funkce holomorphic na otevřené podmnožině části komplexní roviny se nazývá „ jednovazná funkce “, pokud je injective .

Příklady

Jakákoli Möbiova transformace disku jednotky se otevře sama o sobě, kde je univalentní. $\ phi _ {a}$ ${\ displaystyle \ phi _ {a} (z) = {\ frac {za} {1 - {\ bar {a}} z}},}$ ${\ displaystyle | a | \ leq 1,}$

Vlastnosti

Můžeme ukázat, že pokud a jsou dvě spojené otevřené množiny v komplexní rovině, a $G$ $\ Omega$

{\ displaystyle f: G \ to \ Omega}

je jednovazná funkce taková, že (tj. je surjekce , tudíž bijection ), potom se derivát nikdy mizí, a reciproční bijection z , uvedeno , je také holomorphic. Kromě toho, v závislosti na derivát teorému složených funkcí , ${\ displaystyle f (G) = \ Omega}$ $F$ $F$ $F$ $f ^ {- 1}$

{\ displaystyle (f ^ {- 1}) '(f (z)) = {\ frac {1} {f' (z)}}}

pro všechny dovnitř $z$ $G$

Srovnání se skutečnými funkcemi

Pro skutečné analytické funkce tyto vlastnosti již nejsou platné. Například pokud vezmeme v úvahu funkci

{\ displaystyle f: (- 1,1) \ až (-1,1) \,}

dáno ƒ ( x ) = x 3 , je tato funkce triviálně injektivní. Jeho derivace se však rovná 0 při x = 0 a její inverze není ani analytická, ani diferencovatelná v celém intervalu (−1, 1).

Bibliografie

John B.Conway, Funkce jedné komplexní proměnné I , Springer-Verlag, New York, 1978 ( ISBN 0-387-90328-3 )
John B.Conway, Funkce jedné komplexní proměnné II , Springer-Verlag, New York, 1996 ( ISBN 0-387-94460-5 ) .

Reference

( fr ) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v angličtině s názvem „ Univalent function “ ( viz seznam autorů ) .