Machinova formule
Vzorec Machin byl objeven v roce 1706 o John Machin a spojuje číslo n v trigonometrické arctan :
π4=4arktan15-arktan1239.{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 4 \ arctan {\ frac {1} {5}} - \ arctan {\ frac {1} {239}}.}
Tento vzorec poskytuje přibližný počet n díky k vývoji v elektrické sérii funkce arkustangens. John Machin to použil k získání prvních stovek desetinných míst π .
Demonstrace
Machinův vzorec lze demonstrovat pomocí trigonometrické identity
opálení(na+b)=opálenína+opáleníb1-opálenínaopáleníb.{\ displaystyle \ tan (a + b) = {{\ tan a + \ tan b} \ nad {1- \ tan a \ tan b}}.}
Moderním způsobem prezentace výsledku je jeho vztah k vlastnostem komplexních čísel . Machinův vzorec pak vyplývá z následující identity mezi komplexními čísly:
(5+i)4(239+i)=2×(1+i).{\ displaystyle {(5 + {\ rm {i}}) ^ {4} \ nad (239 + {\ rm {i}})} = 2 \ krát (1 + {\ rm {i}}).}
Ve skutečnosti můžeme ukázat následující ekvivalenci:
marktan1X+arktan1y≡π4(modπ)⇔(X+i)m(y+i)E-iπ4∈R.{\ displaystyle m \ arctan {\ frac {1} {x}} + \ arctan {\ frac {1} {y}} \ equiv {\ frac {\ pi} {4}} {\ pmod {\ pi}} \ Leftrightarrow (x + {\ rm {i}}) ^ {m} (y + {\ rm {i}}) {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} {\ frac {\ pi} {4}}} \ in \ mathbb {R}.}
To nám umožňuje uzavřít tím, že si všimneme, že stále můžeme nahradit a, a to kontrolou, která je přísně mezi a .
y+i{\ displaystyle y + {\ rm {i}}}1-y+i{\ displaystyle {\ frac {1} {- y + {\ rm {i}}}}}4arktan15-arktan1239{\ displaystyle 4 \ arctan {\ frac {1} {5}} - \ arctan {\ frac {1} {239}}}π4-π{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} - \ pi}π4+π{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} + \ pi}
použití
Vývoj arctanu v celočíselných řadách poskytuje následující metodu výpočtu:
π4=4∑ne=0∞(-1)ne12ne+1(15)2ne+1-∑ne=0∞(-1)ne12ne+1(1239)2ne+1.{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 4 \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {1 \ nad {2n + 1}} \ vlevo ( {\ frac {1} {5}} \ vpravo) ^ {2n + 1} - \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {1 \ nad {2n + 1} } \ left ({\ frac {1} {239}} \ right) ^ {2n + 1}.}
Machinovy vzorce
Byly objeveny další vzorce stejného typu a nazýváme "vzorce typu Machin" vzorce formuláře:
π4=∑neNEnanearktan1bne{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = \ součet _ {n} ^ {N} a_ {n} \ arctan {\ frac {1} {b_ {n}}}}
kde jsou a jsou celá čísla .
nane{\ displaystyle a_ {n}}bne{\ displaystyle b_ {n}}
Existují pouze tři další vzorce typu Machin s pouhými dvěma členy. Byly objeveny jednotlivě Eulerem , Hermannem a Huttonem (1776, použitý Vegou v roce 1789):
π4=arktan12+arktan13,{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = \ arctan {\ frac {1} {2}} + \ arctan {\ frac {1} {3}},}
π4=2arktan12-arktan17,{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 2 \ arctan {\ frac {1} {2}} - \ arctan {\ frac {1} {7}},}
π4=2arktan13+arktan17.{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 2 \ arctan {\ frac {1} {3}} + \ arctan {\ frac {1} {7}}.}
Jsou odvozeny z následujících identit mezi komplexními čísly:
(2+i)(3+i)=5(1+i),{\ displaystyle {(2 + {\ rm {i}}) (3 + {\ rm {i}})} = 5 (1 + {\ rm {i}}),}
(2+i)2(7+i)=1+i2,{\ displaystyle {(2 + {\ rm {i}}) ^ {2} \ nad (7 + {\ rm {i}})} = {\ frac {1 + {\ rm {i}}} {2 }},}
(3+i)2(7+i)=50(1+i).{\ displaystyle {(3 + {\ rm {i}}) ^ {2} (7 + {\ rm {i}})} = 50 (1 + {\ rm {i}}).}
Je ve skutečnosti možné sestavit nekonečné množství takových vzorců s použitím více výrazů, ale proslavily se pouze historicky nejúčinnější vzorce pro výpočet počtu .
π{\ displaystyle \ pi}π4=12arktan118+8arktan157-5arktan1239{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 12 \ arctan {\ frac {1} {18}} + 8 \ arctan {\ frac {1} {57}} - 5 \ arctan {\ frac { 1} {239}}} ( Carl Friedrich Gauss )
π4=44arktan157+7arktan1239-12arktan1682+24arktan112943{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 44 \ arctan {\ frac {1} {57}} + 7 \ arctan {\ frac {1} {239}} - 12 \ arctan {\ frac { 1} {682}} + 24 \ arctan {\ frac {1} {12943}}} ( Carl Størmer , 1896)
π4=12arktan149+32arktan157-5arktan1239+12arktan1110443{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 12 \ arctan {\ frac {1} {49}} + 32 \ arctan {\ frac {1} {57}} - 5 \ arctan {\ frac { 1} {239}} + 12 \ arctan {\ frac {1} {110443}}} ( Kikuo Takano , 1982).
Hledání účinných Machinových vzorců se nyní systematicky provádí pomocí počítačů. Nejúčinnější vzorce typu Machina, o nichž je v současné době známo, že vypočítají π, jsou:
π4=183arktan1239+32arktan11023-68arktan15832+12arktan1110443-12arktan14841182-100arktan16826318{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 183 \ arctan {\ frac {1} {239}} + 32 \ arctan {\ frac {1} {1023}} - 68 \ arctan {\ frac { 1} {5832}} + 12 \ arctan {\ frac {1} {110443}} - 12 \ arctan {\ frac {1} {4841182}} - 100 \ arctan {\ frac {1} {6826318}}}
黃 見 利 (Hwang Chien-Lih, 1997)
π4=183arktan1239+32arktan11023-68arktan15832+12arktan1113021-100arktan16826318-12arktan133366019650+12arktan143599522992503626068{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 183 \ arctan {\ frac {1} {239}} + 32 \ arctan {\ frac {1} {1023}} - 68 \ arctan {\ frac { 1} {5832}} + 12 \ arctan {\ frac {1} {113021}} - 100 \ arctan {\ frac {1} {6826318}} - 12 \ arctan {\ frac {1} {33366019650}} + 12 \ arctan {\ frac {1} {43599522992503626068}}}
黃 見 利 (Hwang Chien-Lih, 2003)
Existují i jiné vzorce, které se rychleji sbíhají k π , například Ramanujanův vzorec , ale nejsou Machinovým typem.
Poznámky a odkazy
(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z
anglického článku Wikipedie s názvem
„ Machinův vzorec “ ( viz seznam autorů ) .
-
Viz například toto opravené cvičení na Wikiversity .
-
(en) Carl Størmer , „ Kompletní řešení v celých číslech rovnicemarktan1X+nearktan1y=kπ4{\ displaystyle m \ arctan {\ frac {1} {x}} + n \ arctan {\ frac {1} {y}} = k {\ frac {\ pi} {4}}} “ , Bull. Soc. Matematika. Francie , sv. 27,1899, str. 160-170 ( číst online ).
-
(in) Eric W. Weisstein , „ Machin-like Formulas “ na MathWorld .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">