Vylepšete to nebo diskutujte o věcech, které chcete zkontrolovat . Pokud jste právě připojili banner, zde označte body, které chcete zkontrolovat .
Vlastní frekvence systému je frekvence, při které tento systém kmitá, když je ve volném evoluce, to znamená, že bez vnější excitační síly nebo disipativní síly (tření, nebo odpor například). Tato představa je zásadní pro pochopení jevů excitace, oscilace a rezonance . Je široce používán ve všech oblastech fyziky a nachází konkrétní aplikace při navrhování hodin , hudebních nástrojů a při zemětřesení .
Z přirozené frekvence f 0 lze odvodit přirozenou periodu T 0 a přirozenou pulzaci ω 0 :
Pojem vlastní frekvence je extrémně obecný případ studia systému kolem stabilní rovnovážné polohy. Pokud studujeme jakýkoli systém potenciální energie v závislosti na parametru, pak linearizací energie kolem stabilní polohy okamžitě získáme harmonický oscilátor :
E(X)=Evs.(X)+Ep(X)=m2(dXdt)2+E(X0)+na(X-X0)2+...,{\ displaystyle E (x) = E_ {c} (x) + E_ {p} (x) = {\ frac {m} {2}} \ vlevo ({\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ vpravo) ^ {2} + E (x_ {0}) + a (x-x_ {0}) ^ {2} + ...,}jehož oscilační pulzace se pak nazývá přirozená pulzace, je dána (frekvencí danou ). V případě tlumeného systému si vlastní frekvence zachovává veškerou svou relevanci, protože je to frekvence, pro kterou jsou ztráty minimální, pak se bude mluvit o rezonanci.
Termín „ přirozená “ frekvence pochází ze studia systémů lineárních rovnic, pro které vlastní režimy poskytují přirozený základ pro řešení systému. V případě lineárního systému v závislosti na řadě parametrů by se dalo ukázat, že existují tedy vlastní režimy, z nichž každý je spojen s konkrétní vlastní frekvencí.
Zvažte kyvadlo složené z kyvadla, které může volně kmitat kolem vodorovné osy. V případě ideálního oscilátoru nedochází ke tření. Kyvadlo můžeme modelovat pomocí bodové hmoty zavěšené na konci neroztažitelného drátu a nulové hmotnosti (jednoduché kyvadlo). Výsledné rovnice jsou ve své matematické formě identické a tento model je dostatečný k pochopení principu kyvadlových hodin. Pokud studujeme pohyb kyvadla v případě skutečného kyvadla, věta o momentu hybnosti dává:
dLdt=MΔ{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} _ {\ Delta}}s což je moment setrvačnosti pevné látky vzhledem k ose , jeho rotační úhlová rychlost a u Δ je jednotkový vektor kolineární .
Okamžik sil ve vztahu k ose se při nepřítomnosti tření sníží na okamžik váhy váhy, máme:
M=rG∧P=-namGhříchθuΔ{\ displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {r} _ {G} \ klín \ mathbf {P} = -amg \ sin \ theta \ mathbf {u} _ {\ Delta}}Poté získáme rovnici
Jáθ¨+mGnahříchθ=0{\ displaystyle I {\ ddot {\ theta}} + mga \ sin \ theta = 0} tedy s .Studie z materiálu bodu přerušeno na konci dlouhého závitu dávat
θ¨+ω02hříchθ=0{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} + \ omega _ {0} ^ {2} \ sin \ theta = 0} s , jeden získá rovnici, která je matematicky totožná s rovnicí, kterou získá v případě pohybu váhy, čímž si ospravedlní redukci na případ bodové hmoty zavěšené na konci drátu, aby pochopil princip hodiny s kyvadlem.V ideálním případě se omezíme na malé oscilace kyvadla v blízkosti jeho rovnovážné polohy, tj . Které dává:
θ¨+ω02θ=0{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} + \ omega _ {0} ^ {2} \ theta = 0}Nejběžnějším příkladem jsou křemenné hodinky . Pro pochopení principu křemenných hodin je nutné prostudovat jeho základní součást: křemenný pás umístěný mezi dvěma elektrodami. Křemenný pás podrobený mechanickému stlačení vidí napětí na jeho svorkách a naopak (viz piezoelektřina ). Křemen je ekvivalentní k obvodu , , série ( , a závisí pouze na fyzikálních vlastnostech křemene) uspořádaných paralelně s kondenzátorem , který odpovídá kapacitě vytvořené dvěma elektrodami, které obklopují kus křemene. V ideálním případě se předpokládá, že nedojde ke ztrátě energie, to znamená, že:
Obvod „ideální“ je potom jednoduchý obvod , kde je kapacita ekvivalentní a v sérii ověří:
1VS=1VS1+1VS2{\ displaystyle {\ frac {1} {C}} = {\ frac {1} {C_ {1}}} + {\ frac {1} {C_ {2}}}}Rovnice odpovídající této situaci je zapsána:
Já¨+ω02Já=0{\ displaystyle {\ ddot {I}} + \ omega _ {0} ^ {2} I = 0}pro intenzitu a
U¨+ω02U=0{\ displaystyle {\ ddot {U}} + \ omega _ {0} ^ {2} U = 0}pro napětí napříč ,
ω0=1LVS{\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}}}Řešení rovnic pro kyvadlové hodiny i pro křemenné hodiny mají stejnou formu:
θ=θ0hřích(ω0t+φ){\ displaystyle \ theta = \ theta _ {0} \ sin (\ omega _ {0} t + \ varphi)}pro "ideální" mechanické kyvadlo a
Já=Já0hřích(ω0t+φ){\ displaystyle I = I_ {0} \ sin (\ omega _ {0} t + \ varphi)}Období je . Vlastní frekvence kmitání systému nezávisí na jejich amplitudy, ale pouze na vlastnostech oscilátoru (a v případě kyvadla):
ν0=ω02π{\ displaystyle \ nu _ {0} = {\ frac {\ omega _ {0}} {2 \ pi}}}