Válcová harmonická

V matematiky , válcové harmonické jsou souborem lineárně nezávislých řešení v diferenciální rovnice Laplaceovy.

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} V = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné \ rho}} \ vlevo (\ rho {\ frac {\ částečné V} { \ částečné \ rho}} \ pravé) + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ částečné ^ {2} V} {\ částečné \ varphi ^ {2}}} + { \ frac {\ částečné ^ {2} V} {\ částečné z ^ {2}}} = 0}

vyjádřeno v válcových souřadnicích $p$ (poloměr), $φ$ (azimut) a $z$ (rozměr). Každá funkce $V n ( k )$ je součinem tří členů, z nichž každá závisí pouze na jedné souřadnici. Termín závislý na $ρ je$ vyjádřen Besselovými funkcemi (kterým se někdy také říká válcové harmonické).

Definice

Každá funkce $V n ( k ) je$ vyjádřena jako součin tří funkcí:

{\ displaystyle V_ {n} (k; \ rho, \ varphi, z) = \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) \ Phi _ {n} (\ varphi) Z (k, z) \,}

s $( ρ , φ , z )$ válcové souřadnice a $n$ a $k$ jsou konstanty, které odlišují členy množiny. V důsledku uplatněného principu superpozice Laplaceovy rovnice lze lineární kombinací těchto funkcí získat obecná řešení Laplaceovy rovnice.

Protože všechny povrchy pro $ρ$ , $φ$ nebo $z$ jsou kuželovité, je Laplaceova rovnice oddělitelná ve válcových souřadnicích. Technikou separace proměnných lze napsat řešení oddělené od Laplaceovy rovnice:

{\ displaystyle V = \ mathrm {P} (\ rho) \, \ Phi (\ varphi) \, Z (z)}

a vydělením Laplaceovy rovnice číslem $V$ se zjednoduší na:

{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \, {\ frac {\ dot {\ mathrm {P }}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} \, {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} + {\ frac { \ ddot {Z}} {Z}} = 0}

Termín v $Z$ závisí pouze na $z,$ a proto se musí rovnat konstantě:

{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {Z}} {Z}} = k ^ {2}}

kde $k$ je obecně komplexní číslo . Pro danou hodnotu $k$ má $Z$ dvě lineárně nezávislá řešení.

pokud je $k$ skutečné, můžeme napsat:

{\ displaystyle Z (k, z) = \ cosh (kz) \ \ mathrm {nebo} \ \ sinh (kz) \,}

nebo v závislosti na jeho chování ad infinitum:

{\ displaystyle Z (k, z) = {\ rm {e}} ^ {kz} \ \ mathrm {nebo} \ {\ rm {e}} ^ {- kz} \,}

pokud $k$ je imaginární:

{\ displaystyle Z (k, z) = \ cos (| k | z) \ \ mathrm {nebo} \ \ sin (| k | z) \,}

nebo:

{\ displaystyle Z (k, z) = {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} | k | z} \ \ mathrm {or} \ {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} | k | z} \,}

Můžeme si všimnout, že funkce $Z ( k , z )$ jsou jádry Fourierovy transformace nebo Laplaceovy transformace funkce $Z ( z ),$ a tedy $k$ může být diskrétní proměnná pro periodické okrajové podmínky nebo spojitá proměnná pro neperiodické okrajové podmínky.

Nahradíme $k 2$ za , nyní máme: ${\ displaystyle {\ ddot {Z}} / Z}$

{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \, {\ frac {\ dot {\ mathrm {P }}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} + k ^ {2} = 0}

Vynásobením $ρ 2$ můžeme oddělit funkce $P$ a $Φ$ a zavést novou konstantu $n$ z důvodů podobných $k$ pro termín v závislosti na $φ$ :

{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} = - n ^ {2}}

{\ displaystyle \ rho ^ {2} {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + \ rho {\ frac {\ dot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + k ^ {2} \ rho ^ {2} = n ^ {2}}

Protože $φ$ je periodické, můžeme nabrat $n$ kladných hodnot, a proto označíme řešení $Φ ( φ )$ s indexy. Skutečná řešení pro $Φ ( φ )$ jsou

{\ displaystyle \ Phi _ {n} = \ cos (n \ varphi) \ \ mathrm {nebo} \ \ sin (n \ varphi)}

nebo ekvivalentně:

{\ displaystyle \ Phi _ {n} = {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} n \ varphi} \ \ mathrm {nebo} \ {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} n \ varphi}}

Zůstává termín $P ( ρ )$ , který následuje Besselovu rovnici .

pokud $k$ je nula, ale ne $n$ , řešení jsou: ${\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (0, \ rho) = \ rho ^ {n} \ \ mathrm {nebo} \ \ rho ^ {- n} \,}$
pokud $k$ a $n$ jsou oba nenulové, řešení jsou: ${\ displaystyle \ mathrm {P} _ {0} (0, \ rho) = \ ln \ rho \ \ mathrm {nebo} \ 1 \,}$
pokud $k$ je reálné číslo, můžeme napsat reálné řešení ve tvaru: ${\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) = J_ {n} (k \ rho) \ \ mathrm {nebo} \ Y_ {n} (k \ rho) \,}$

s $J n ( z )$ a $Y n ( z )$ , běžné Besselovy funkce.

pokud $k$ je imaginární číslo, můžeme napsat skutečné řešení ve tvaru: ${\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) = I_ {n} (| k | \ rho) \ \ mathrm {nebo} \ K_ {n} (| k | \ rho) \, }$

I n ( z )

K n ( z )

, upravené Besselovy funkce.

Válcové harmonické pro $( k , n )$ jsou tedy produktem těchto řešení a obecné řešení Laplaceovy rovnice je jejich lineární kombinací:

{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ součet _ {n} \ int \ mathrm {d} k \, \, A_ {n} (k) \ mathrm {P} _ {n} (k , \ rho) \ Phi _ {n} (\ varphi) Z (k, z) \,}

kde $A n ( k )$ jsou konstanty závislé na válcovém tvaru a na mezích součtu a integrálu, daných okrajovými podmínkami úlohy. Určité případy okrajových podmínek umožňují nahradit integrál diskrétním součtem. Ortogonalita $J n ( x )$ je často užitečná pro nalezení řešení v konkrétním případě. Funkce $Φ n ( φ )$ $Z ( k , z )$ jsou v podstatě Fourierova nebo Laplaceova expanze a tvoří množinu ortogonálních funkcí. Pro případ $P n ( kρ ) = J n ( kρ )$ umožňuje ortogonalita $J n$ se vztahy ortogonality $Φ n ( φ )$ a $Z ( k , z )$ určit konstanty.

Když si všimneme ${ x k }$ kladných nul $J n$ , máme:

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} J_ {n} (x_ {k} \ rho) J_ {n} (x_ {k} '\ rho) \ rho \, \ mathrm {d} \ rho = {\ frac {1} {2}} J_ {n + 1} (x_ {k}) ^ {2} \ delta _ {kk '}}

Při řešení problémů lze prostor rozdělit na konečný počet podprostorů, pokud se hodnoty potenciálu a jeho derivace shodují na hranici bez zdroje.

Příklad: Zdrojový bod ve vodivé válcové trubici

Snažíme se určit potenciál bodového zdroje umístěného na $( ρ 0 , φ 0 , z 0 )$ ve vodivé válcové trubici (jako prázdná plechovka) ohraničené dvěma rovinami $z = \pm L$ a na okrajích válcem $ρ = a$ . (V jednotkách MKS budeme předpokládat $q / 4π ε 0 = 1$ ). Protože potenciál je ohraničen rovinami na ose $z$ , lze funkci $Z ( k , z )$ považovat za periodickou. Potenciál musí být na počátku nulový, vezmeme $P n ( kρ ) = J n ( kρ )$ , takže jedna z jeho nul je na omezujícím válci. Pro měřicí bod pod zdrojovým bodem na ose $z$ bude potenciál:

{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} \ součet _ {r = 0} ^ {\ infty} \, A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) \ sinh (k_ ​​{nr} (L + z)) \, \, \, \, \, z \ leq z_ {0}}

s $k nr a$ , $r$ e nula $J n ( z )$ a vztahy ortogonality pro každou funkci:

{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {4 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {\ sinh k_ {nr} (L-z_ {0})} {\ sinh 2k_ {nr} L}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}} \,}

Nad zdrojovým bodem budeme mít:

{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} \ součet _ {r = 0} ^ {\ infty} \, A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) \ sinh (k_ ​​{nr} (Lz)) \, \, \, \, \, z \ geq z_ {0}}

{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {4 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {\ sinh k_ {nr} (L + z_ {0})} {\ sinh 2k_ {nr} L}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}}. \,}

Zjistili jsme, že pro $ρ = a$ nebo $| z | = L$ , funkce je zrušena. Můžeme také zkontrolovat, že hodnoty dvou řešení a jejich derivátů se shodují pro $z = z 0$ .

Zdrojový bod v nekonečné vodivé válcové trubici

Okrajové podmínky odstraníme v $z$ ( $L \to$ ). Řešení se pak stává:

{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} \ součet _ {r = 0} ^ {\ infty} \, A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) {\ rm {e}} ^ {- k_ {nr} | z-z_ {0} |}}

{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {2 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}}. \,}

Zdrojový bod ve volném prostoru

Rovněž odstraníme okrajové podmínky na $ρ$ ( $a \to \infty$ ). Součet nad nulami $J n ( z ) se$ stává integrálem a pak přijde pole zdrojového bodu v nekonečném volném prostoru:

{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = {\ frac {1} {R}} = \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {\ infty} A_ {n} (k) J_ {n} (k \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) {\ rm {e}} ^ {- k | z-z_ {0} | } \, \ mathrm {d} k}

{\ displaystyle A_ {n} (k) = (2- \ delta _ {n0}) J_ {n} (k \ rho _ {0}) \,}

a $R$ je vzdálenost od zdrojového bodu k měřicímu bodu:

{\ displaystyle R = {\ sqrt {(z-z_ {0}) ^ {2} + \ rho ^ {2} + \ rho _ {0} ^ {2} -2 \ rho \ rho _ {0} \ cos (\ varphi - \ varphi _ {0})}}. \,}

Zdrojový bod ve volném prostoru na počátku

Nakonec opravíme $ρ 0 = z 0 = 0$ . Pak přijde

{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ rho ^ {2} + z ^ {2}}}} = \ int _ {0} ^ {\ infty } J_ {0} (k \ rho) {\ rm {e}} ^ {- k | z |} \, \ mathrm {d} k.}

Podívejte se také

Sférická harmonická

Poznámky

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v angličtině s názvem „ Cylindrical harmonics “ ( viz seznam autorů ) .

Smythe 1968 , str. 185.
Guillopé 2010 .
Tento případ je studován v Smythe 1968

Reference

William R. Smythe , statická a dynamická elektřina , McGraw-Hill ,1968
Laurent Guillopé , „ Hilbertovy prostory a speciální funkce “ ,2010