Lineární nezávislost

V lineární algebře , daný rodina z vektorů stejného vektorovém prostoru , vektory z rodiny jsou lineárně nezávislé , nebo mohou tvořit volné rodinu , v případě, že jediný lineární kombinací těchto vektorů, která je rovna nulovému vektoru, je to, že z nichž všechny koeficienty jsou nulové. To znamená, že žádný z vektorů rodiny není lineární kombinací ostatních.

V případě, že vektory nejsou lineárně nezávislé, řekneme, že jsou lineárně závislé , nebo že tvoří spojenou rodinu .

Definice

Nechť E být vektorový prostor a Ki své pole o skaláry .

Rodina (konečná nebo nekonečná) vektorů E se říká, že je volná, nebo opět, rodina se skládá z „lineárně nezávislých“ vektorů , pokud je jedinou lineární kombinací vektorů rovnou nulovému vektoru 0 E ta, z nichž všechny koeficienty jsou nulové (jinými slovy: pokud existuje lineární kombinace koeficientů, ne celá nula se liší od nulového vektoru). (protii)i∈Já{\ displaystyle (v_ {i}) _ {i \ v I}}protii{\ displaystyle v_ {i}}protii{\ displaystyle v_ {i}}

• Pokud jde o konečnou rodinu , zapíše se tato podmínka:(protii)1≤i≤ne{\ displaystyle (v_ {i}) _ {1 \ leq i \ leq n}}∀(na1,...,nane)∈K.ne,(na1proti1+⋯+naneprotine=0E⇒na1=na2=⋯=nane=0K.).{\ displaystyle \ forall (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ v K ^ {n}, \ quad \ left (a_ {1} v_ {1} + \ cdots + a_ {n} v_ { n} = 0_ {E} \ Rightarrow a_ {1} = a_ {2} = \ cdots = a_ {n} = 0_ {K} \ right).}
• Když je rodina libovolná (konečná nebo ne), je zapsána podmínka:(protii)i∈Já{\ displaystyle (v_ {i}) _ {i \ v I}}∀(nai)∈K.(Já),(∑naiprotii=0E⇒∀i∈Já, nai=0),{\ displaystyle \ forall (a_ {i}) \ v K ^ {(I)}, \ quad \ left (\ sum a_ {i} v_ {i} = 0_ {E} \ Rightarrow \ forall i \ v I, ~ a_ {i} = 0 \ vpravo),}kde prvek K ( I ) je rodina, indexovaná podle I , skalárů celá nula kromě konečného čísla.

Jinak se říká, že vektory jsou lineárně závislé, nebo se říká, že rodina je spojena. Tak je spojena řada vektorů, pokud existuje rodina prvků K všechny nulové kromě nenulovou konečného počtu , tak, že (protii)i∈Já{\ displaystyle (v_ {i}) _ {i \ v I}}(naj)j∈Já{\ displaystyle (a_ {j}) _ {j \ v I}}

∑i∈Jánaiprotii=0E.{\ displaystyle \ sum _ {i \ v I} a_ {i} v_ {i} = 0_ {E}.}

Na základě konceptů volné nebo propojené rodiny jsou definovány zčásti volné nebo vázané: část A z E se nazývá svobodná, pokud rodina (resp. Vázaná) je. (na)na∈NA{\ displaystyle (a) _ {a \ v A}}

Příklady

Příklad 0

Ve vektorovém prostoru ℝ 3 tvoří tři vektory (2, –1, 1), (1, 0, 1) a (3, –1, 2) příbuznou rodinu, protože (2, –1, 1) + ( 1, 0, 1) - (3, –1, 2) = (0, 0, 0).

Příklad 1

Ve vektorovém prostoru ℝ 4 jsou tři vektory (4, 2, 1, 3), (2, 0, 3, 0) a (6, 2, 4, –3) lineárně nezávislé, protože jejich souřadnice jsou uspořádány vedle sebe sloupce, tvoří matici

(42620213430-3){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 4 & 2 & 6 \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \\ 3 & 0 & -3 \ end {pmatrix}}}

jehož pořadí se rovná počtu vektorů. Opravdu 3-menší

|20213430-3|=-36{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \\ 3 & 0 & -3 \ end {vmatrix}} = - 36}

je nenulová, takže hodnost matice je 3.

Příklad 2

Každá základna je (podle definice) volným rodiny, zejména na kanonické základě tohoto K- vektorového prostoru K n .

Příklad 3

V reálném vektorovém prostoru funkcí v ℝ ℝ , v nekonečné množině ne počitatelná funkce pro Real je zdarma. Fλ:t↦Eλt{\ displaystyle f _ {\ lambda}: t \ mapsto {\ rm {e}} ^ {\ lambda t}}λ{\ displaystyle \ lambda}

Demonstrace

Buď takové (naλ)λ∈R∈R(NE){\ displaystyle (a _ {\ lambda}) _ {\ lambda \ v \ mathbb {R}} \ v \ mathbb {R} ^ {(\ mathbb {N})}}

∑naλFλ=0.{\ displaystyle \ sum a _ {\ lambda} f _ {\ lambda} = 0.}

Pokud je počet n real, pro které je nenulové, jejich zápisem a přidružením koeficientů se rovnice přepíše: λ{\ displaystyle \ lambda}naλ≠0{\ displaystyle a _ {\ lambda} \ neq 0}λ1,...,λne{\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {n}}na1,...,nane{\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}}

∑k=1nenakFλk=0.{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} f _ {\ lambda _ {k}} = 0.}

Nastavením a vyhodnocením výše uvedené rovnice v realitách 0, 1, 2,…, n - 1 získáme, že Vandermondeova maticeXk=Eλk{\ displaystyle x_ {k} = {\ rm {e}} ^ {\ lambda _ {k}}}

(1X1X12...X1ne-11X2X22...X2ne-11X3X32...X3ne-1⋯⋯⋯⋯⋯1XneXne2...Xnene-1){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & x_ {1} & x_ {1} ^ {2} & \ dots & x_ {1} ^ {n-1} \\ 1 & x_ {2} & x_ {2 } ^ {2} & \ dots & x_ {2} ^ {n-1} \\ 1 & x_ {3} & x_ {3} ^ {2} & \ dots & x_ {3} ^ {n-1} \\\ cdots & \ cdots & \ cdots & \ cdots & \ cdots \\ 1 & x_ {n} & x_ {n} ^ {2} & \ dots & x_ {n} ^ {n-1} \ end { pmatrix}}}

spojené s n -tuple má své řádky související koeficienty . Protože jeho determinant je nenulový, je to absurdní, takže n = 0, tj. Všechny jsou nula. (X1,...,Xne){\ displaystyle (x_ {1}, \ tečky, x_ {n})}nak{\ displaystyle a_ {k}}naλ{\ displaystyle a _ {\ lambda}}

Také dokazujeme, že obecněji v komplexním vektorovém prostoru funkcí od ℝ do ℂ je sada funkcí pro komplex volná. Fλ:t↦Eλt{\ displaystyle f _ {\ lambda}: t \ mapsto {\ rm {e}} ^ {\ lambda t}}λ{\ displaystyle \ lambda}

Vlastnosti

• Rodina ( v ) a část { v } jsou volné právě tehdy, když vektor v není nula.
• Rodina ( V 1 , V 2 ), se vztahuje právě tehdy, když v 1 a v 2 jsou kolineární (zejména rodina ( V , V ), se vždy vztahuje, zda v je nula nebo ne).
• Pokud je příbuzná jedna z podskupin rodiny (zejména jsou-li dva z jejích vektorů kolineární nebo je-li jeden z nich nulový), pak tato rodina souvisí. Jinými slovy , pokud je rodina svobodná, jsou všechny její podrodiny zdarma.
• Rodina je propojena právě tehdy, je-li jeden z jejích prvků lineární kombinací ostatních.
• Protože lineární kombinace souvisí s konečným počtem členů, nekonečná rodina je zdarma právě tehdy, pokud jsou všechny její konečné podrodiny volné.
• Prázdná rodina a prázdná část jsou zdarma.
• Jestliže K je pole frakcí ze s kruhem A (například v případě, K = ℚ a = ℤ ), rodina vektorů E je K -Zdarma tehdy a jen tehdy, je-li -zdarma (v E viděn jako A -modul ).

Projektivní prostor lineárních závislostí

Lineární závislost vztah vektorů může být zastoupen - n-tice o skaláry, ne všechny nula tak, že ne{\ displaystyle n}proti1,...,protine{\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}ne{\ displaystyle n} (na1,...,nane){\ displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})}ne{\ displaystyle n}

na1proti1+⋯+naneprotine=0E.{\ displaystyle a_ {1} v_ {1} + \ cdots + a_ {n} v_ {n} = 0_ {E}.}

Pokud takový vztah lineární závislosti existuje, jsou vektory lineárně závislé. Potom je možné identifikovat dva vztahy lineární závislosti, pokud je jeden nenulovým násobkem druhého vztahu, protože v tomto případě oba odpovídají stejné lineární závislosti vektorů mezi nimi. Na základě této identifikace je sada -uples popisujících lineární závislostí vektorů je projektivní prostor . ne{\ displaystyle n}ne{\ displaystyle n}proti1,...,protine{\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}

Poznámky a odkazy

1. (en) Serge Lang , Algebra ,1965[ detail vydání ], 1965, s. 81.
2. N. Bourbaki , Algebra , str. A-II-26, propozice 18.
3. (in) Michael Artin , Algebra [ podrobnosti publikace ], 3,14, s. 92.

Podívejte se také

Související články

• Algebraická nezávislost
• Afinní nezávislost
• Steinitzovo lemma
• Matroid (zobecnění odstavce konceptu)
• Ortogonalita

Externí odkaz

Christine Graffigne a Avner Bar-Hen, „  Cours L1, S1, Notion de famille libre  “ , na univerzitě v Paříži 5