Rovinná křivka

V matematiky , přesněji v geometrii , je rovina křivka je křivka , která je úplně obsažena v (jednoho) rovině , a který je možno identifikovat s spojité funkce :

{\ displaystyle \ alpha: I \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ {2} ~}

kde je interval množiny všech reálných čísel . $Já$ $\ mathbb {R}$

Image křivky se také nazývá podpora křivky. Někdy se křivka výrazu používá také k označení podpory křivky. O křivce v euklidovském prostoru o rozměru větším než 2 se říká, že je rovina, pokud je její podpora obsažena v rovině samotné obsažené v euklidovském prostoru, ve kterém je definována.

Rovinná křivka je považována za jednoduchou, pokud se neprotíná, jinými slovy, pokud

{\ displaystyle \ forall \ (t_ {1}, t_ {2}) \ v I ^ {2}, t_ {1} \ neq t_ {2} \ Longrightarrow \ alpha (t_ {1}) \ neq \ alpha ( t_ {2})}

Zastoupení

Zastoupení výslovným kartézským tvarem

Jedním ze způsobů, jak reprezentovat rovinnou křivku, je rovnice:

{\ displaystyle y = f (x) \,}

tak, že každý bod x odpovídá bodu y , a tak, že každý bod roviny xy : (x, y) představuje podporu křivky. Křivka tohoto typu se také nazývá graf s odkazem na graf skutečné funkce; ve skutečnosti lze vyjádření také napsat:

{\ displaystyle \ alpha (t) = (t, f (t)) \,}

tj. jako funkce nezávislé proměnné . Toto znázornění má mnoho geometrických omezení, protože křivka má v této formě velmi často velmi složitý popis, který proto není vhodný pro studium geometrických vlastností.

Reprezentace implicitním kartézským tvarem

Křivku lze také vyjádřit jako:

F (x, y) = 0 \,

tj. jako funkce dvou nezávislých proměnných . Tato reprezentace je podle některých hledisek lepší než explicitní reprezentace; můžeme se však setkat s problémy, když je nutné vysvětlit jednu ze dvou proměnných podle druhé: často je to velmi komplikované, když to není nemožné.

Parametrizované znázornění

Nejlepší reprezentace je nepochybně parametrizovaná reprezentace typu:

{\ displaystyle \ alpha: {\ začátek {případů} x = \ phi (t) \\ y = \ psi (t) \ konec {případů}}}

nebo

{\ displaystyle \ alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t))}

kde se parametr volá . ${\ displaystyle t \ v I}$

Podmínka spojitosti není dostatečná k reprezentaci a studiu křivek viděných jako jednorozměrné vláknité objekty s požadovanými charakteristikami pravidelnosti. Dodatečná podmínkou je, aby rovina křivka je diferencovatelná na . $Já$

Parametrizovaná rovinná křivka se říká, že je diferencovatelná v kterémkoli bodě, pokud má funkce, a má spojité derivace v kterémkoli bodě. ${\ displaystyle \ alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t))}$ $\ phi (t)$ $\ psi (t)$

Říkáme, že parametrizovaná rovinná křivka je pravidelná v bodě (nebo to je pravidelný bod pro tuto křivku), pokud ; to je řekl, aby byl pravidelný na I pokud v jakémkoli okamžiku dne . $t_ {0}$ $t_ {0}$ ${\ displaystyle \ alpha '(t_ {0}) = (\ phi' (t_ {0}), \ psi '(t_ {0})) \ neq (0,0)}$ ${\ displaystyle \ alpha '(t) \ neq (0,0)}$ $t$ $Já$

Bod takový, který se nazývá singulární bod pro křivku. $t_ {0}$ ${\ displaystyle \ alpha '(t_ {0}) = (0,0)}$

Tečna

Pravidelnost křivky se používá k definování přímky tečné ke křivce. Dovolit je diferencovatelná křivka a regulární bod. Tečnu ke křivce můžeme v tomto bodě definovat jako přímku procházející a rovnoběžnou s vektorem . ${\ displaystyle \ alpha (t)}$ ${\ displaystyle P_ {0} = \ alfa (t_ {0})}$ $P_ {0}$ ${\ displaystyle \ alpha '(t_ {0}) = (\ phi' (t_ {0}), \ psi '(t_ {0}))}$

Tečna má v bodě kartézskou rovnici : $t_ {0}$

{\ displaystyle \ psi '(t_ {0}) \ cdot (X- \ phi (t_ {0})) - \ phi' (t_ {0}) \ cdot (Y- \ psi (t_ {0})) = 0}

a pro parametrizované rovnice:

{\ displaystyle {\ begin {cases} X_ {t} = \ phi '(t_ {0}) (t-t_ {0}) + \ phi (t_ {0}) \\ Y_ {t} = \ psi' (t_ {0}) (t-t_ {0}) + \ psi (t_ {0}) \ end {cases}}}

V případě křivky reprezentované výslovně rovnicí je tečna k bodu dána vztahem: $y = f (x)$ $(x_ {0}, y_ {0})$

{\ displaystyle f '(x_ {0}) \ cdot (x-x_ {0}) - (y-y_ {0}) = 0}

V případě křivky představované implicitní rovnicí je tečna k bodu dána vztahem: $F (x, y) = 0$ $(x_ {0}, y_ {0})$

{\ displaystyle F_ {x_ {0}} \ cdot (x-x_ {0}) + F_ {y_ {0}} \ cdot (y-y_ {0}) = 0}

kde (respektive ) označuje parciální derivaci vzhledem k (respektive ) z , vyhodnoceného v bodě (respektive ). ${\ displaystyle F_ {x_ {0}}}$ ${\ displaystyle F_ {y_ {0}}}$ $X$ $y$ $F$ $x_ {0}$ $y_ {0}$

Normální

Pravidelnost křivky umožňuje definovat přímku kolmou ke křivce v bodě pomocí karteziánské rovnice: $t_ {0}$

{\ displaystyle \ phi '(t_ {0}) \ cdot (\ phi (t_ {0}) - \ phi (t)) + \ psi' (t_ {0}) \ cdot (\ psi (t_ {0}) ) - \ psi (t)) = 0}

Tato rovnice se stává se stejnými zápisy jako v předchozím odstavci:

Pro explicitní vyjádření:

{\ displaystyle f '(x_ {0}) \ cdot (y-y_ {0}) + (x-x_ {0}) = 0}

Pro implicitní reprezentaci:

{\ displaystyle F_ {y_ {0}} \ cdot (x-x_ {0}) - F_ {x_ {0}} \ cdot (y-y_ {0}) = 0}

Vedoucí kosiny

Podle samotné definice derivátu získáme:

{\ displaystyle {\ frac {\ psi '(t)} {\ phi' (t)}} = \ tan \ theta}

který z geometrického hlediska představuje sklon přímky tečny ke křivce, jinými slovy tečnu (v trigonometrickém smyslu pojmu) úhlu, který tato tečna tvoří s vodorovnou osou ( osou ' x ' ). Z tohoto vztahu můžeme extrahovat směrovací kosiny tečny ke křivce:

{\ displaystyle \ cos \ theta = \ pm {\ frac {\ phi '(t)} {\ sqrt {\ phi' (t) ^ {2} + \ psi '(t) ^ {2}}}}}

{\ displaystyle \ sin \ theta = \ pm {\ frac {\ psi '(t)} {\ sqrt {\ phi' (t) ^ {2} + \ psi '(t) ^ {2}}}}}

Reparameterizace

Dovolit je diferencovatelná rovinná křivka a funkce definovaná na intervalu as hodnotami v . Pak křivka: ${\ displaystyle \ alpha: I \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle t = t (s)}$ $S$ $Já$

{\ displaystyle \ beta = \ alpha \ circ t: S \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ {2},}

taková, že pro všechno je změna parametru křivky . Reparameterizace se říká, že je pravidelná, jestli a jestli . ${\ displaystyle s \ v S, \ beta (s) = \ alfa (t (s))}$ $\ alfa$ ${\ displaystyle t (S) = I}$ ${\ displaystyle \ forall s \ in S, t '(s) \ neq 0}$

Potom se podíváme na následující větu: Pokud je reparameterization křivky by pak ${\ displaystyle \ beta = \ alfa \ cir t}$ $\ alfa$ ${\ displaystyle t = t (s)}$

{\ displaystyle \ beta '(s) = {\ frac {dt} {ds}} \ alfa' (t (s))}

Demonstrace Pokud tedy a podle vět o derivaci složených funkcí máme:

{\ displaystyle \ alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t))}

{\ displaystyle \ beta (s) = (\ phi (t (s)), \ psi (t (s)))}

{\ displaystyle {\ frac {d \ phi (t (s))} {ds}} = {\ frac {d \ phi} {dt}} \ cdot {\ frac {dt} {ds}}}

{\ displaystyle {\ frac {d \ psi (t (s))} {ds}} = {\ frac {d \ psi} {dt}} \ cdot {\ frac {dt} {ds}}}

a tím získáme:

{\ displaystyle \ beta '(s) = {\ frac {dt} {ds}} \ vlevo ({\ frac {d \ phi} {dt}}, {\ frac {d \ psi} {dt}} \ vpravo ) = {\ frac {dt} {ds}} \ alpha '(t (s))}

Délka křivky

Délka parametrizovaného oblouku

Nechť je diferencovatelná křivka na I, a . Pak se délka oblouku křivky mezi a rovná: ${\ displaystyle \ alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t))}$ ${\ displaystyle [a, b] \ subseteq I}$ ${\ displaystyle \ alpha (a)}$ ${\ displaystyle \ alpha (b)}$

{\ displaystyle L (\ alpha) = \ int _ {a} ^ {b} \ | \ alpha '(t) \ | dt = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ phi' (t ) ^ {2} + \ psi '(t) ^ {2}}} \ cdot dt}

Pokud se navíc jedná o změnu parametrů křivky, pak: ${\ displaystyle \ beta (s)}$

{\ displaystyle L (\ alpha) = L (\ beta) = \ int _ {a} ^ {b} \ | \ alpha '(t) \ | dt = \ int _ {a} ^ {b} \ | \ beta verze \ | ds}

Délka a explicitní kartézský tvar

Pokud je křivka reprezentována v explicitní karteziánské formě, pak, jako a , je délka křivky dána vztahem: $y = f (x)$ ${\ displaystyle {\ frac {dx} {dx}} = 1}$ ${\ displaystyle {\ frac {df (x)} {dx}} = {\ frac {dy} {dx}}}$

{\ displaystyle L = \ int _ {a} ^ {b} {{\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {dy} {dx}} \ right) ^ {2}}} \ cdot dx}}

Parametrizace pomocí rovinných polárních souřadnic

Jednou z forem parametrizace, která má značný význam při studiu matematiky, geometrie a v mnoha oblastech použití matematiky, je rovina polárních souřadnic . Vzhledem ke křivce parametrizované v polárních souřadnicích kartézským tvarem , s c ≤ θ ≤ d a parametrizovaným tvarem: ${\ displaystyle r = r (\ theta)}$

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ phi (\ theta) = r (\ theta) \ cos \ theta \\\ psi (\ theta) = r (\ theta) \ sin \ theta \ end {případy}}}

, s parametrem θ.

Pak jsou jeho deriváty: ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ phi '(\ theta) = r' (\ theta) \ cos \ theta -r (\ theta) \ sin \ theta \\\ psi '(\ theta) = r' ( \ theta) \ sin \ theta + r (\ theta) \ cos \ theta \ end {případy}}}$

a proto je délka oblouku:

{\ displaystyle L = \ int _ {c} ^ {d} {{\ sqrt {\ phi '(\ theta) ^ {2} + \ psi' (\ theta) ^ {2}}} \ cdot d \ theta } = \ int _ {c} ^ {d} {{\ sqrt {r (\ theta) ^ {2} + r '(\ theta) ^ {2}}} \ cdot d \ theta} = \ int _ { c} ^ {d} {{\ sqrt {r (\ theta) ^ {2} + \ left ({\ frac {dy} {dx}} \ right) ^ {2}}} \ cdot d \ theta}}

Křivočará úsečka

Parametr křivky křivky nebo délky oblouku je definován jako konkrétní reparameterizace získaná stanovením dolní meze integrace a , takže integrál závisí pouze na horní meze t , viděné jako proměnná. Tato funkce je geometricky délka oblouku křivky od pevného bodu a , případně ovlivněná znaménkem. Vždy je možné překonfigurovat křivku podle křivkové osy. V tomto případě, abychom určili tečnu v bodě, víme, že je rovnoběžná s jednotkovým tečným vektorem. Dokážeme, že křivku můžeme vždy znovu parametrizovat pomocí křivkové úsečky následujícím způsobem: ${\ displaystyle s (t) = \ int _ {a} ^ {t} {\ | \ alpha '(u) \ | du}}$

vzhledem k tomu můžeme zvrátit a jeho reverz je . Tak získáme rekonfigurace podle křivočarých úsečka dán vztahem: . ${\ displaystyle s '(t) = \ | \ alfa' (t) \ |> 0}$ $Svatý)$ ${\ displaystyle t = t (s)}$ ${\ displaystyle \ beta (s) = \ alfa (t (s))}$

Potom dokážeme, že tečný vektor je jednotka:

{\ displaystyle \ | \ beta '(s) \ | = | {\ frac {dt} {ds}} | \ cdot \ | \ alpha' (t) \ | = {\ frac {1} {| s '( t) |}} \ | \ alpha '(t) \ | = {\ frac {\ | \ alpha' (t) \ |} {\ | \ alpha '(t) \ |}} = 1}

Zakřivení

To znamená křivku parametrizovanou podle křivočaré úsečky a jejího jednotkového tečného vektoru. Zvažte funkci . Pak se funkce nazývá zakřivení křivky. ${\ displaystyle \ beta (s)}$ ${\ Displaystyle \ beta$ ${\ displaystyle k: S \ longrightarrow \ mathbb {R}, s \ longmapsto k (s) = \ | \ beta '' (s) \ |}$ ${\ displaystyle k (s) \ geq 0}$

Pokud je křivka znázorněna explicitně, její zakřivení je:

{\ displaystyle k = {\ frac {f '' (x)} {\ vlevo (1 + f '^ {2} \ vpravo) ^ {3/2}}}}

Na druhou stranu pro křivku představovanou implicitní rovnicí se křivka hodnotí pomocí:

{\ displaystyle k = {\ frac {F_ {y} ^ {2} \ cdot F_ {xx} -2F_ {x} \ cdot F_ {y} \ cdot F_ {xy} + F_ {x} ^ {2} \ cdot F_ {yy}} {\ left (F_ {x} ^ {2} + F_ {y} ^ {2} \ right) ^ {3/2}}}}

Frenetovy vzorce

(Dostatečně pravidelná) křivka prostoru má ve všech svých bodech referenční systém, nazývaný Frenetův trihedron , daný tripletem tečných , normálních a binormálních vektorů . Taková křivka je rovinná právě tehdy, když je binormální vektor vždy nulový.

Dovolit být křivkou parametrizovanou podle křivočaré úsečky. Vektor tečné jednotky je určen: ${\ displaystyle \ beta (s) = (\ phi (s), \ psi (s))}$

{\ displaystyle T (s) = \ beta '(s) = (\ phi' (s), \ psi '(s))}}

Normální jednotkový vektor je určen:

{\ displaystyle N (s) = i \ cdot T (s) = (- \ psi '(s), \ phi' (s)),}

kde i je komplexní číslo takové, že . Díky definici zakřivení lze normálnímu jednotkovému vektoru dát další formu: $i ^ 2 = -1$

{\ displaystyle N (s) = {\ frac {T '(s)} {\ | T' (s) \ |}} = {\ frac {T '(s)} {k (s)}}.}

Ukázali jsme, že vektor je kolmý k T , a tedy rovnoběžně s N . $T '$

A konečně, Frenetovy vzorce a zakřivení pro rovinnou křivku, bez ohledu na její nastavení , jsou: ${\ displaystyle \ alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t))}$