Číslo je koncept umožňující vyhodnotit a porovnat množství nebo poměry velikostí , ale také pořadí elementů číslování. Čísla, často psaná pomocí jedné nebo více číslic , interagují prostřednictvím operací, které jsou shrnuty podle pravidel výpočtu . Vlastnosti těchto vztahů mezi čísly jsou předmětem studia aritmetiky , která rozšiřuje teorii čísel .
Při absenci uspokojivé obecné definice tohoto pojmu navrhuje matematika několik typů čísel k vyjádření fyzikálních měr , k řešení rovnic , dokonce k zadržení nekonečna .
Ve fyzice se bezrozměrné veličiny často nazývají „čísla“, například Reynoldsovo číslo v mechanice tekutin nebo kvantová čísla .
Kromě jejich vědeckého použití získala určitá čísla v různých kulturách také silný symbolický náboj . To je například případ čísla tři pro křesťany nebo čísla deset pro Pythagorejce .
Koncept čísla vychází z myšlenky párování , tj. Párování sad (např. Lidí na jedné straně a koní na straně druhé). Pokusíme-li se rozdělit všechny prvky do dvojic, které obsahují jeden prvek každé sady, je možné, že některé prvky sady zůstanou příliš mnoho, nebo že některé chybí, nebo že jich jen několik stačí. Zkušenost ukazuje, že způsob distribuce nemění výsledek, tedy pojem kvantity , vnitřního charakteru a který lze srovnávat.
Toto množství ještě není číslo, ale někdy se označuje jako „počet“. Číslo jako takové nemá žádnou měrnou jednotku . Je to podle Euklida „sestava složená z jednotek“, kde „jednotka je ta, podle které se o každé ze stávajících věcí říká, že je jedna. "
Spolu s pojmem množství spojeným s „kardinálním“ aspektem vede pojem identifikace v seznamu k definici „ordinálního“ čísla: za prvním číslem následuje druhé, samo za sebou další atd. "do nekonečna".
Bez výpočtu jsou čísla omezena na množství použitelných symbolů. Objev základních numerických operací (zejména sčítání a násobení) umožní matematice usnadnit popis mnohem větších čísel pomocí různých systémů číslování . Tyto babylonské civilizace zjišťuje, včetně polohový zápis v III th tisíciletí před naším letopočtem a pak praktikovat výpočtu s čísly s desetinnou část .
Tyto frakce jsou navrženy ve starověkém Egyptě v podobě „čísla Day“, který má říkat, inverzní čísel. Jejich manipulace je poté vystavena určitým omezením, která budou překonána pouze geometrickým výkladem, jako je poměr délek (celku). Avšak ani zlomky, ani jiné geometrické proporce, jako je pí , zlatý řez nebo úhlopříčka čtverce, nebudou matematiky starověkého Řecka , pro které jsou jedinými čísly celá čísla, skutečně považovány za čísla .
Přestože se počet „0“ se používá v některých polohových číslování systémů několika starověkých civilizací je číslo nula je zobrazen jako takový při VII th století v indické matematiky . To zabírá civilizaci islámu do Evropy dovezen v X -tého století. Pod kvalifikací „absurdní“ jsou záporná čísla studována již v XVI . Století E, ale jejich aritmetické vlastnosti jsou na počátku XIX . Století stále kontroverzní .
Algebraická čísla v reálném pozitivní jsou studovány s vývojem algebry od arabských matematiků . Ty výpočetních přibližné hodnoty v desítkové soustavě z XII th století. Tato stejná algebra vedou někteří italští matematici vynalezli XVI th čísel století „pomyslné“ první přiblížení komplexních čísel , které budou definovány uspokojivě na XVIII th století. Jejich geometrická konstrukce bude během následujícího století také rychle následována konstrukcí čtveřic a poté dalšími hyperkomplexními čísly .
Paradoxně, to nebylo až do XIX th století, která uznala existenci transcendentních čísel , těsně před nebo formalizované ponětí o skutečném bez ohledu na geometrii. Tento postup dokončení čísla racionální bude napodobován na počátku XX th století stavět čísla p -adic .
Tyto čísla transfinitní jsou zavedeny různými způsoby od konce XIX th století, kdy Georg Cantor definuje řadové a kardinála . Ve druhé polovině XX th století a nestandardní analýza využívá čísel hyperreal pak superréels zatímco Conway má čísla a neskutečný pseudo-Real .
Různé experimenty zkoumají digitální schopnosti u batolat.
Ve vzdělávání začíná osvojování číslování osvojením „ digitálního řetězce “, zejména pomocí říkanek : „jedna, dvě, tři ...“ Tento seznam bude postupně rozšiřován, aby umožnil dítěti výčet objekty, se kterými manipuluje, aby je spočítal (přidružením této veličiny k poslednímu termínu výčtu), ale také aby lokalizoval pozici v uspořádané sérii.
Během školní docházky je dítě vedeno k zvažování různých typů čísel seřazených v rostoucím pořadí sad:
Myšlenka kvantity a její vizuální kodifikace pravděpodobně předcházela vzniku písma. Postupně se vyvíjí několik metod počítání, které popisují velikost stáda a řídí jeho vývoj, sledují kalendář nebo měří úrodu.
V IV th tisíciletí BC, mezopotamských civilizací a použití jílu dutých kuliček, které obsahují tokeny a jílové police se značkami. Pro označení diskrétních veličin se používá systém zápisu (známý jako „systém S“), zatímco oblasti a další veličiny jsou reprezentovány podle svého vlastního systému zápisu. To nebylo až do sloučení těchto systémů, na konci III ročníku tisíciletí před naším letopočtem, aby zjistili, zda skutečně tvoří koncept abstraktní čísla, nezávisle na jeho konkrétních úspěchů.
V systémech číslování aditiv představují určité symboly (proměnlivé v závislosti na plodině) přesná množství a jsou umístěny vedle sebe, aby označily všechna užitečná čísla.
Abecední systémy spojují seznam písmen abecedy (posílení neobvyklých, zastaralých nebo vynalezených písmen) s devíti, devíti desítkami a devíti stovkami, aby každé číslo napsalo mezi 1 a 999 až třemi znaky. Pro zápis vyšších hodnot je nalevo umístěna nová skupina až tří písmen označujících tisíce oddělená apostrofem.
Tento systém je blízký šifrovanému pozičnímu zápisu, ve kterém každá pozice obsahuje (maximálně) pouze jednu číslici.
Číslice desetinného čísla odpovídají prvním deseti celým číslům: nula , jedna , dvě , tři , čtyři , pět , šest , sedm , osm a devět .
Protože jsou veličiny reprezentovány symboly, manipulace s veličinami musí být přeložena operacemi na číslech. Spojení dvou veličin tedy definuje operaci sčítání a opakování určité veličiny vede k násobení . Tyto dvě přímé operace připouštějí vzájemné operace : odčítání a dělení , které umožňují najít jeden z operandů z výsledku a druhý operand.
Každá z těchto operací se provádí pomocí různých výpočtových technik . Ale na rozdíl od přímých operací, které jsou definovány bez omezení, jsou vzájemné operace úspěšné pouze za určitých podmínek. Před použitím záporných čísel lze tedy číslo odečíst pouze od většího čísla. Podobně pojem dělitelnosti popisuje proveditelnost rozdělení. Euklidovský proces dělení má však tu výhodu, že poskytuje výsledek i bez předpokladu dělitelnosti. To je pak vyjádřeno absencí zbytku .
Od okamžiku, kdy se násobení jeví jako čistě číselná operace, její opakování definuje mocniny čísla, jehož vzájemné operace se nazývají kořeny . Další operace, jako je faktoriál, jsou vyvíjeny v rámci kombinatoriky .
V tomto odstavci jsou uvažovaná čísla nenulová přirozená celá čísla .
Vzhledem k tomu, čísla, soubor jeho násobky je nekonečný , ale pravidelně distribuovány a snadno popsat pomocí aritmetické posloupnosti . Například násobky 2 jsou sudá čísla , která se mezi všemi celými čísly střídají s lichými čísly.
Naopak, množina dělitelů čísla je vždy konečná a její rozdělení vůbec nemá stejný druh pravidelnosti. Určitě vždy obsahuje číslo, které má být rozděleno, a číslo 1, všechny další dělitele ležící mezi těmito dvěma extrémy. Je však obecně obtížné vypsat tyto další dělitele od zápisu čísla v dané základně .
Tento problém je částečně způsoben nedostatkem jednoduchých kritérií pro určení bez výpočtu, zda je jedno číslo dělitelné druhým. V desítkovém systému pozičních čísel je známo několik kritérií dělitelnosti pro malé dělitele (zejména pro 2, 3, 5, 9 a 10), ale kromě těchto několika případů je to v podstatě euklidovské dělení, které nám umožňuje odpovědět na tuto otázku.
Kromě čísla 1, které je jeho jediným dělitelem, jakékoli číslo tedy připouští alespoň dva odlišné dělitele. Ti, kteří připouštějí přesně dvě, se nazývají prvočísla . Jsou jediní, kdo dokáže snížit další počty dělením, aniž by se sami rozložili na produkty striktně menších počtů. Existuje nekonečno z nich a každé číslo je jedinečným způsobem rozloženo na produkt prvočísel. Tento rozklad umožňuje mimo jiné pochopit strukturu množiny rozdělovačů.
Aritmetika je doslova věda celá čísla, zahrnující definici elementárních operací navíc a násobení , jejich inverzní operace, vztah dělitelnost a vlastnosti, které jsou odvozeny, což umožňuje léčbu Diophantine rovnic . Od XIX th století, teorie čísel rozšiřuje tyto pojmy pomocí nástroje algebry a analýzy v sadách čísel real , složitých nebo p -adic .
Vyhodnocení množství objektů se provádí víceméně rychle v závislosti na způsobu, jakým jsou objekty uloženy. Například šestnáct čítačů je mnohem snazší spočítat, pokud jsou uspořádány do čtverce, než když jsou vyhozeny nepořádkem na stůl. Stejně tak tetraktys těchto Pythagoreans je uspořádání deseti bodů v trojúhelníku . Další tvary se studují z tohoto úhlu v rovině ( například šestiúhelníky ) nebo v prostoru pomocí hromádek obrazců.
Tato vize čísel jako geometrických konfigurací umožňuje mimo jiné interpretovat součin dvou čísel, jako je obdélník, jehož strany jsou popsány těmito dvěma čísly, tedy nutnou komutativitou násobení, to znamená, že pořadí v které se provádí násobení, nemá žádný vliv na výsledek. Další aritmetické vlastnosti lze určit geometricky. Číslo je tedy i v případě, že je reprezentovatelné obdélníkem na dvou řádcích; je prvočíslo, pokud jediným způsobem, jak jej reprezentovat jako obdélník, je řada několika bodů.
Některá čísla pocházejí z geometrických poměrů, jako je pí , poměr obvodu kruhu k jeho průměru nebo zlatý řez , vzniklý z problému dělení „v extrémním a průměrném důvodu“.
The Empire of Numbers , DVD vydané vydáním Arte.
Jean-Pierre Dedieu, „ The Words of Numbers “ ( Archiv • Wikiwix • Archive.is • Google • Co dělat? ) ,7. února 2007