Landsberg-Schaarova identita

V matematiky , a přesněji v počtu teorie a harmonické analýzy je Landsberg-Schaar identita je následující vztah, platí pro libovolný kladná celá čísla p a q :

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {p}}} \ sum _ {n = 0} ^ {p-1} \ exp \ left ({\ frac {2 \ pi \ mathrm {i} n ^ {2} q} {p}} \ right) = {\ frac {1+ \ mathrm {i}} {2 {\ sqrt {q}}}} \ sum _ {n = 0} ^ {2q-1} \ exp \ left (- {\ frac {\ pi \ mathrm {i} n ^ {2} p} {2q}} \ right)}

Ačkoli dva členové rovnosti jsou pouze konečné částky, dosud nebyl objeven žádný důkaz pomocí konečných metod. Aktuální důkaz spočívá v pózování (s ) v následující identitě (kvůli Jacobi , což je v podstatě konkrétní případ součtu Poissonova vzorce v harmonické analýze ): ${\ displaystyle \ tau = {\ frac {2 \ mathrm {i} q} {p}} + \ varepsilon}$ $\ varepsilon> 0$

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ pi n ^ {2} \ tau} = {\ frac {1} {\ sqrt {\ tau }}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ pi n ^ {2} / \ tau}}

pak inklinovat k 0. $\ varepsilon$

Vezmeme-li q = 1, identita se redukuje na vzorec poskytující hodnotu Gaussových kvadratických součtů .

Pokud je pq sudé, můžeme identitu přepsat symetrickější formou

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {p}}} \ sum _ {n = 0} ^ {p-1} \ exp \ left ({\ frac {\ pi \ mathrm {i} n ^ { 2} q} {p}} \ right) = {\ frac {e ^ {\ pi i / 4}} {\ sqrt {q}}} \ sum _ {n = 0} ^ {q-1} \ exp \ left (- {\ frac {\ pi \ mathrm {i} n ^ {2} p} {q}} \ right)}

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „ Landsberg - Schaarův vztah “ ( viz seznam autorů ) .

(in) Harry Dym (in) a Henry P. McKean (in) , Fourier Series and Integrals , Academic Press ,1972.