Dokončete Stieltjes

Integrál Stieltjes je zobecněním toho plný obyčejné nebo Riemannův integrál . Uvažujme dvě funkce skutečně ohraničené $f$ a $g$ definované na intervalu uzavřeném $[ a , b ]$ a dělení $a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b$ tohoto intervalu. Pokud Riemannova suma

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} f (\ xi _ {i}) {\ bigl (} g (x_ {i}) - g (x_ {i-1}) {\ bigr) },}

s $ξ i \in [ x i -1 , x i ]$ má sklon k limitu $S,$ když má $maximální$ krok $($ $x$ $i$ $-$ $x$ $i$ $- 1$ $)$ tendenci k 0, pak se $S$ nazývá Stieltjesův integrál (nebo někdy Riemann-Stieltjes integrál ) funkce $f$ vzhledem k $g$ . Bereme to na vědomí

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} g (x)}

nebo jednoduše $\int b a f d g$ .

Vlastnosti

Pokud mají funkce $f$ a $g$ společný bod diskontinuity , pak integrál neexistuje.

Pokud je však $f$ spojité a $g má$ omezenou variaci , je tento integrál dobře definován. Je to také tak, pokud $f$ je pouze Riemannovo integrovatelné, ale $g$ je absolutně spojité , a pak se shoduje s integrálem $fg '$ ve smyslu Lebesgue (nebo Riemanna, pokud je navíc $g'$ Riemannovo integrovatelný):

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} g \, \! (x) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g '( x) \, \ mathrm {d} x.}

Navíc za těchto dostatečných podmínek existence jsou $f$ a $g$ zaměnitelné. Vskutku :

Věta o částečné integraci - Pokud jeden ze dvou Stieltjesových integrálů existuje nebo existuje, pak i druhý a jejich součet se rovná ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f \, \ mathrm {d} g}$ ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} g \, \ mathrm {d} f}$ ${\ displaystyle \ left [fg \ right] _ {a} ^ {b}: = f (b) g (b) -f (a) g (a).}$

Demonstrace

Předpokládejme například, že druhá existuje. Přidáním bodů a do „označeného dělení“ výše zjistíme: ${\ displaystyle \ xi _ {n + 1} = b}$ ${\ displaystyle \ xi _ {0} = a}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} f (\ xi _ {i}) {\ bigl (} g (x_ {i}) - g (x_ {i-1}) {\ bigr) } = f (b) g (b) -f (a) g (a) + \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ bigl (} f (\ xi _ {i}) - f (\ xi _ {i + 1}) {\ bigr)} g (x_ {i}).}$ Uzavřeme to tak, že $max ( ξ j - ξ j - 1 ) \leq 2 max ( x i - x i - 1 )$ .

Formule střední - li $f$ je kontinuální přes $[ , b ]$ a pokud $g$ je monotónní , existuje reálné $c$ o $[ , b ],$ tak, že

První vzorec :

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f ~ \ mathrm {d} g = f (c) {\ bigl (} g (b) -g (a) {\ bigr)}.}

Druhý vzorec :

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} g ~ \ mathrm {d} f = g (a) \ int _ {a} ^ {c} \ mathrm {d} f + g (b) \ int _ {c} ^ {b} \ mathrm {d} f.}

První vzorec je demonstrován jako v případě, že $g$ je spojitě diferencovatelné . Druhý je z toho odvozen díky integraci pomocí věty o částech. Důsledkem tohoto druhého vzorce je: jestliže $h$ je integrovatelné na $[ a , b ]$ a je-li $g$ monotónní, existuje $c \in [ a , b ]$ takové, že

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} g (x) h (x) ~ \ mathrm {d} x = g (a) \ int _ {a} ^ {c} h (x) ~ \ mathrm {d} x + g (b) \ int _ {c} ^ {b} h (x) \ mathrm {d} x.}

Pokud $g$ je nejen monotónní, ale stále méně pozitivní, můžeme dělat to zaměřit $b$ Před použitím této důsledek k ní (to nemění hodnotu $\int b a g ( x ) h ( x ) d x$ ).

Poznámky a odkazy

(in) Einar Hille a Ralph S. Phillips (in) , Functional Analysis and Semi-groups , sv. 1, AMS ,1996( 1 st ed. 1957) ( číst čára ) , str. 62.
(in) Jie Xiao, Integral and Functional Analysis , Nova Science Publishers ,2008, 287 s. ( ISBN 978-1-60021-784-5 , číst online ) , s. 54.
(in) Hugh L. Montgomery a RC Vaughan , Multiplicative Number Theory I: Classical Theory , Cambridge (UK), CUP,2007, 552 s. ( ISBN 978-0-521-84903-6 , číst online ) , „Dodatek A: Riemannův - Stieltjesův integrál“ , s. 1. 486.
(in) Norman B. Haaser a Joseph A. Sullivan, Real Analysis , Dover ,1991( číst online ) , s. 255.
Hille a Phillips 1996 , str. 63.
Xiao 2008 , s. 60.

Podívejte se také

Související články

Bibliografie

(en) H. Jeffreys a BS Jeffreys, Methods of Mathematical Physics , CUP ,1988, 3 e ed. , 718 s. ( ISBN 978-0-521-66402-8 , číst online ) , kap. 1, § 10 („Integrace: Riemann, Stieltjes“) , s. 1 26-36
(en) H. Kestelman, Riemann-Stieltjes Integration , Modern Theories of Integration, New York, Dover Publications , 1960, kap. 11, s. 247–269