Riemannův integrál

V reálném analýze je Riemann integrál je způsob definování integrál , přes segmentu , z ohraničené a téměř všude kontinuální skutečnou funkci . V geometrických pojmech je tento integrál interpretován jako plocha domény pod křivkou představující funkci, počítaná algebraicky.

Obecnou metodou používanou k definování Riemannova integrálu je aproximace pomocí schodišťových funkcí , pro kterou je snadné definovat oblast pod křivkou. O funkcích (definovaných na segmentu), pro které je tato definice možná, se říká, že jsou integrovatelné ve smyslu Riemanna. To platí zejména pro spojité , po částech spojité nebo dokonce pouze regulované funkce .

Definice

Integrace funkce schodiště

Pro jakoukoli charakteristickou funkci $χ [ c , d ]$ intervalu $[ c , d ]$ (s $a \leq c \leq d \leq b )$ nastavíme

\ int \ chi _ {{[c, d]}} (x) \, {\ mathrm d} x = dc.

Plocha pod křivkou této funkce se rovná ploše obdélníku se základnou $[ c , d ]$ a výškou 1.

Rozšiřujeme tuto definici by linearitou do schodišťových funkcí, to znamená, že na lineární kombinace z ukazatelů $f k$ intervalů (ne nutně disjunktních):

\ int (a_ {1} f_ {1} + a_ {2} f_ {2} + \ dots + a_ {n} f_ {n}) = a_ {1} \ int f_ {1} + a_ {2} \ int f_ {2} + \ dots + a_ {n} \ int f_ {n}

(pokud jsou některé z $a k$ záporné, znamená to, že oblasti pod osou x se počítají se znaménkem mínus ).

Dokazujeme, že tato definice je koherentní, to znamená, že všechny rozklady funkce schodiště v lineární kombinaci intervalových indikátorů poskytují stejnou hodnotu pro její integrál.

Dolní a horní integrály

Takže podmínka růstu

{\ Displaystyle \ varphi \ leq f \ Rightarrow \ int \ varphi \ leq \ int f}

se provádí pro jakoukoli funkci $φ$ na schodišti, je nutné přiřadit integrálu $f$ hodnotu větší nebo rovnou všem „nižším součtem $f$ “ (integrály funkcí na schodišti, které nižší $f$ ), tj. říci řekni větší než nebo rovný jejich horní hranici , někdy nazývané „dolní integrál $f$ “:

{\ displaystyle I _ {-} (f): = \ sup _ {\ varphi \ leq f} \ int \ varphi \ leq \ int f.}

Stejně tak

{\ displaystyle \ psi \ geq f \ pravá šipka \ int \ psi \ geq \ int f}

platí pro jakoukoli funkci schodiště $esc$ , je to nutné a dostačující

{\ displaystyle I _ {+} (f): = \ inf _ {\ psi \ geq f} \ int \ psi \ geq \ int f}

a tato dolní mez (přijatá na $ψ$ schodišti, které zvyšují $f$ ) „jsou vyšší než $f$ “ se nazývá „horní integrál $f$ “.

Dolní integrál $f$ je vždy omezen jeho horním integrálem, ale mohou být odlišné. Například, jsou v tomto pořadí se rovnají $-\infty$ a $+ \infty$ , pokud $f$ je ani snížena ani zvýšená, a na 0 ° C a $B - A$ , pokud $f$ je funkce indikátor množiny racionálních segmentu $[ , b ]$ s $<$ $b$ .

Definice - Funkce $f$ definovaná na segmentu je integrovatelná (ve smyslu Riemannova) nebo Riemann-integrovatelná, když jsou její dolní integrál a její horní integrál stejné a tato společná hodnota se pak nazývá Riemannův integrál $f$ .

Přímá definice

Riemannova původní definice jeho integrálu používala Riemannovy součty , ale zde uvádíme následný, ekvivalentní, Darbouxův součet .

Nechť $f$ je omezená funkce na $[ a , b ]$ . K jakémukoli členění $σ = ( a = x 0 < x 1 < x 2 <\dots < x n = b )$ přiřadíme jeho „krok“ $δ ( σ ) = max { x i - x i - 1 | i = 1,\dots, n }$ , který měří jeho „plynulost“, stejně jako 2 skutečné n

${\ text {for}} i = 1, \ dots, n, \ quad m_ {i} = \ inf _ {{x \ in [x _ {{i-1}}, x_ {i}]}} f (x) {\ text {and}} M_ {i} = \ sup _ {{x \ v [x _ {{i-1}}, x_ {i}]}} f (x)$

pak spodní a horní část Darboux

$S _ {-} (f, \ sigma) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} m_ {i} (x_ {i} -x _ {{i-1}}) {\ text { a}} S _ {+} (f, \ sigma) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} M_ {i} (x_ {i} -x _ {{i-1}}).$

Můžeme tedy (znovu) definovat dolní a horní integrály $f$ podle

$I _ {-} (f) = \ sup _ {{\ sigma}} S _ {-} (f, \ sigma) {\ text {et}} I _ {+} (f) = \ inf _ {{ \ sigma}} S _ {+} (f, \ sigma)$

a (znovu) dokázat, že $I - ( f ) \leq I + ( f ),$ a opět říkáme, že $f$ je Riemannovo integrovatelné, když jsou tato dvě čísla stejná. Dokazujeme, že tato podmínka je ekvivalentní s

$\ lim _ {{\ delta (\ sigma) \ to 0}} S _ {+} (f, \ sigma) -S _ {-} (f, \ sigma) = 0.$

Vlastnosti

Aby byla funkce integrovatelná, musí být nejprve ohraničena. Pokud je $f$ ohraničeno na $[ a , b ]$ a integrovatelné na libovolném segmentu $[ c , d ]$ tak, že $a < c < d < b$ , pak je integrovatelné na $[ a , b ]$ .

Pokud je $f$ , definované na $[ a , b ]$ , integrovatelné, označíme ∫b
af jeho integrál, a máme:

$f$ je integrovatelný na jakýkoli segment zahrnutý v $[ a , b ]$ ;
pokud $a \leq x \leq y \leq z \leq b,$ pak $\int y x f + \int z y f = \int z x f$ ( Chaslesův vztah );
aplikace $x \mapsto \int x a f$ je Lipschitzian .

Věta 1 - K integrovatelné funkce na $[ , b ]$ tvoří ℝ- Banach algebry (pro normu o stejnoměrné konvergence ), na kterém se mapa je pozitivní lineární tvar a tedy kontinuální. $I: f \ mapsto \ int f$

Jinými slovy (na $[ a , b ]$ ):

jakýkoli produkt, lineární kombinace nebo jednotný limit integrovatelných funkcí je integrovatelný;
integrál lineární kombinace je lineární kombinace integrálů;
$I$ roste;
integrál jednotného limitu je limit integrálů.

Důsledek - Jakákoli funkce nastavená na $[ a , b ]$ je Riemannově integrovatelná.

Zejména jakákoli spojitá funkce na $[ a , b ]$ (nebo dokonce pouze omezená a spojitá kromě konečného počtu bodů) je integrovatelná, stejně jako jakákoli monotónní funkce (nebo dokonce jen po částech monotónní).

Lebesgueovo kritérium pro Riemannovu integrovatelnost - Ohraničená funkce na $[ a , b ]$ je Riemannově integrovatelná právě tehdy, pokud je Lebesgueova míra množiny jejích diskontinuit nulová.

Tato zanedbatelná množina však může být nepočítatelná , pokud jde o charakteristickou funkci Cantorovy množiny , která proto není regulovaná.

Předpoklady výše uvedené věty o jednotném limitu posloupnosti integrovatelných funkcí jsou v následující větě oslabeny, ale pro získání stejného závěru je nutné předpokládat, že $f$ je integrovatelná (zatímco v dominantní konvergenční větě pro Lebesgueův integrál , tento další předpoklad není nutný).

Věta 2 - Pokud $( f k )$ je posloupnost integrovatelných funkcí na $[ a , b ]$ , jednoduše konverguje k funkci $f$ a pokud všechny $| f k |$ jsou ohraničeny stejnou konstantou, pak konverguje posloupnost integrálů . Pokud je navíc $f$ integrovatelné, pak jeho integrál je limitem těch z $f$ $k$ . $\ textstyle \ int f_ {k}$

Srovnání s jinými integračními metodami

Dalším aspektem Riemannova integrálu je, že se zpočátku týká pouze omezených funkcí, přes omezený interval. Pokud není ověřena jedna z těchto podmínek, je zapotřebí druhá definice: viz Nesprávný integrál . V rámci integrace ve smyslu Lebesgue existuje pouze jedna definice a je to například Lebesgueův integrál v užším slova smyslu, zatímco jako Riemannův integrál jde o nesprávný integrál. Totéž pro . Integrály ve smyslu Lebesgue jsou však vždy automaticky naprosto konvergentní. Integrál tedy není ani Riemannovým integrálem ve správném smyslu, ani Lebesgueovým integrálem, ale je zobecněným Riemannovým (nebo Lebesgueovým) integrálem a jeho hodnota je $π / 2$ . Označením pozitivních racionálů součtem a funkce indikátoru vidíme, že dává příklad zobecněného Lebesgueova integrálu, který neexistuje jako Riemannův integrál. Jeho hodnota je stále $π / 2$ . Obecnější a uspokojivější integrační proces se získá, zejména s ohledem na přechod k limitu, zavedením integrálu Lebesgue nebo integrace Kurzweil-Henstock . $\ textstyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {{- x}} \, {\ mathrm d} x$ $\ textstyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac 1 {{\ sqrt x}}} \, {\ mathrm d} x$ $\ textstyle \ int _ {0} ^ {{+ \ infty}} {\ frac {\ sin (x)} x} \, {\ mathrm d} x$ $f (x)$ ${\ frac {\ sin (x)} x}$ $\ textstyle \ int _ {0} ^ {{+ \ infty}} f (x) \, {\ mathrm d} x$

Důležitým rozdílem mezi Riemannovým integrálem a Lebesgueovým integrálem je to, že v posledně jmenovaném nahradíme stupňovité funkce stupňovitými funkcemi, což jsou konečné lineární kombinace funkcí označujících množiny, které nemusí být nutně intervaly. Délka intervalu je nahrazena mírou celku.

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „ Riemannův integrál “ ( viz seznam autorů ) .

Riemannův integrál byl představen v článku Bernarda Riemanna „ Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe “ (O reprezentovatelnosti funkce trigonometrickou řadou ). Riemann představil tuto práci na univerzitě v Göttingenu v roce 1854 jako kvalifikační práci . To bylo vydáno v roce 1868 ve sborníku Královské vědecké společnosti v Göttingenu , sv. 13, s. 87-132, náhled v Knihách Google . Pro Riemannovu definici jeho integrálu viz oddíl 4, „ Über der Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gültigkeit “ (O konceptu určitého integrálu a doméně jeho platnosti), s. 4. 101-103.
Jean-Pierre Ramis , André Warusfel a kol. „ All-in-one Mathematics for License 2 , Dunod ,2014, 2 nd ed. ( číst online ) , s. 553, definice 3.
Poznámky z kurzu DEUG na univerzitě v Lille, které reprodukují Riemannov text.
G. Darboux, „ Monografie o nespojitých funkcích “, Ann. Sci. ENS , sv. 4, 1875, s. 57-112.
Ramis, Warusfel a kol. 2014 , s. 562 (bod 20).
Ramis, Warusfel a kol. 2014 , s. 553 (bod 7).
Ramis, Warusfel a kol. 2014 , s. 562 (prop. 19).
Ramis, Warusfel a kol. 2014 , s. 601 (prop. 85).
Henri-Léon Lebesgue, „ Lekce o integraci a hledání primitivních řešení “ , na gallica.bnf.fr ,1904, str. 29
Tento „ patologický “ příklad je celkové: všechna set F σ (to znamená, že jakékoliv spojení o řadě z uzavřené ) o $[ a , b ],$ je množina bodů nespojitosti určité omezené mapy $[ a , b ]$ v ℝ.
Jean-François Burnol, „ The Dominated Convergence Theorem for Riemann-integrable functions “ ,listopadu 2009.

Související články