Integrace Lebesgue-Stieltjes

V teorii míry Lebesgue-Stieltjesův integrál zobecňuje Riemann-Stieltjes a Lebesgueův integrál , s výhodami první metody v kontextu obecnější teorie míry. Lebesgue-Stieltjesův integrál je klasický Lebesgueův integrál vyrobený podle takzvané Lebesgue-Stieltjesovy míry, kterou lze spojit s funkcí s omezenou variací na reálné ose. Míra Lebesgue-Stieltjes je pravidelná míra Borel a naopak, jakákoli pravidelná míra Borel na reálné linii je takového typu.

Lebesgue - integrály Stieltjes, pojmenované po Henri Lebesgue a Thomasi Joannes Stieltjes , se také nazývají integrály Lebesgue-Radon nebo jednodušeji radonové integrály , pojmenované po Johann Radon , který vytvořil velkou část teorie, na které spočívá. Jejich nejběžnější aplikace jsou v teorii pravděpodobnosti a stochastických procesech a v určitých odvětvích analýzy, včetně teorie potenciálu .

Definice

Integrál Lebesgue - Stieltjes

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} g (x)}

je definován pro Borel - měřitelné a ohraničené a s konečnou variací na $[$ $,$ $b$ $]$ a kontinuální doprava, nebo je-li $f$ pozitivní a $g$ monotónní a kontinuální doprava. Nejprve předpokládáme, že $f je$ kladné a $g se$ zvyšuje a pokračuje doprava. Definujeme $w$ na intervalech: $w$ $(]$ $s$ $,$ $t$ $]) =$ $g$ $($ $t$ $) -$ $g$ $($ $s$ $)$ a $w$ $({$ $a$ $}) = 0$ (je-li $g$ spojité vlevo, můžeme nastavit $w$ $([$ $s$ $,$ $t$ $)) =$ $g$ $($ $t$ $) -$ $g$ $($ $s$ $)$ a $w$ $({$ $b$ $}) = 0$ ). ${\ displaystyle f: [a, b] \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle g: [a, b] \ rightarrow \ mathbb {R}}$

Podle Caratheodoryovy extenzní věty existuje v každém intervalu $I$ jedinečná míra Borelu $μ g$ na $[ a , b ]$ rovná $w$ . Měření $μ$ $g$ vychází z externího měření (ve skutečnosti je to metrické měření definované pomocí

{\ displaystyle \ mu _ {g} (E) = \ inf \ vlevo \ {\ součet _ {i} w (I_ {i}) \: \ E \ podmnožina \ bigcup _ {i} I_ {i} \ vpravo \}}

infimum byla přijata na všech přesahy $E$ podle počitatelných polootevřené intervalech. Tato míra se někdy nazývá Lebesgueova - Stieltjesova míra spojená s $g$ .

Integrál Lebesgue - Stieltjes

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} g (x)}

je definována jako Lebesgueův integrál z $f$ podle klasického $u Stabilizátory$ $g$ opatření . Pokud $g$ klesá, nastavíme

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} g (x): = - \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm { d} (-g) (x),}

a vrátíme se k předchozí definici.

Pokud je $g$ omezená variace a $f$ je omezená, je možné psát

{\ displaystyle \ mathrm {d} g (x) = \ mathrm {d} g_ {1} (x) - \ mathrm {d} g_ {2} (x)}

kde $g 1 ( x ) = V x a g$ je celková změna z $g$ v intervalu $[ , x ]$ , a $g 2 ( x ) = g 1 ( x ) - g ( x )$ . Funkce $g 1$ a $g 2$ rostou monotónně. Pak je Lebesgue-Stieltjesův integrál podél $g$ definován

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} g (x) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} g_ {1} (x) - \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} g_ {2} (x),}

se dvěma integrály definovanými podle předchozích konstrukcí.

Daniellův integrál

Alternativní přístup ( Hewitt a Stromberg 1965 ) se rovná definování integrálu Lebesgue-Stieltjes jako Daniellova integrálu rozšířením obvyklého integrálu Riemann-Stieltjes. Nechť $g$ je pravá pokračující rostoucí funkce na $[ a , b ]$ a označíme $I ( f )$ Riemannovo-Stieltjesův integrál

{\ displaystyle I (f) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} g (x)}

pro jakoukoli spojitou funkci $f$ . Funkční $I$ definuje měření radonu na $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ . Tuto funkci můžeme rozšířit o třídu všech pozitivních funkcí tím, že představíme:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ overline {I}} (h) & = \ sup \ left \ {I (f) \: \ f \ v C [a, b], 0 \ leq f \ leq h \ right \} \\ {\ podtržení {I}} (h) & = \ inf \ left \ {I (f) \: \ f \ v C [a, b], h \ leq f \ right \} . \ end {zarovnáno}}}

Pro Borel-měřitelné funkce máme

{\ displaystyle {\ overline {I}} (h) = {\ podtržení {I}} (h),}

a oba termíny lze použít k definování Lebesgue-Stieltjesova integrálu $h$ . Vnější měření $μ g$ je definováno symbolem

{\ displaystyle \ mu _ {g} (A) = {\ podtržení {I}} (\ chi _ {A})}

kde $χ$ je funkce indikátor z $A$ .

Celá čísla s ohraničenou variací jsou považována za dříve oddělením pozitivních a negativních variací.

Příklad

Předpokládejme, že $γ$ $: [$ $,$ $b$ $] \to$ $R$ $2$ opravitelný oblouku v rovině a $p$ $:$ $R$ $2$ $\to [0, \infty [$ Borel-měřitelný funkce. Pak můžeme definovat délku $γ$ podle euklidovské metriky vážené $ρ$ o

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ rho (\ gamma (t)) \, \ mathrm {d} \ ell (t),}

s délkou omezení $γ$ na $[$ $a$ $,$ $t$ $]$ . Tato hodnota se někdy nazývá $ρ-$ délka $γ$ . Tato představa je užitečná pro několik aplikací: například v blátivém terénu je rychlost, jakou může člověk záviset na hloubce bahna. Pokud $ρ$ $($ $z$ $)$ označuje inverzní rychlost chůze blízkou $z$ , pak $ρ-$ délka $γ$ je doba potřebná k překročení $γ$ . Koncept extrémní délky (in) využívá tento pojem $ρ-$ délky křivek a používá se při studiu konformních aplikací . ${\ displaystyle \ ell (t)}$

Integrace po částech

Funkce $f$ se říká, že „normální“ v bodě $A,$ v případě, že levé a pravé hranice $f$ $($ $a$ $+)$ a $f$ $($ $a$ $-)$ existují, a funkce pak vezme $na$ střední hodnotu

{\ displaystyle f (a) = {\ frac {f (a -) + f (a +)} {2}}.}

Nechť $U$ a $V$ jsou dvě funkce konečné variace, pokud je v kterémkoli bodě alespoň jedna ze dvou funkcí mezi $U$ a $V$ spojitá nebo $U$ a $V$ jsou pravidelné, pak můžeme definovat integraci po částech pro Lebesgue-Stieltjesův integrál

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} U \, \ mathrm {d} V + \ int _ {a} ^ {b} V \, \ mathrm {d} U = U (b +) V ( b +) -U (a-) V (a -), \ qquad - \ infty <a <b <+ \ infty.}

Zde jsou příslušná opatření Lebesgue - Stieltjes spojena se správnými spojitými verzemi $U$ a $V$ ; a to buď s použitím , a podobně, ohraničené interval $($ $,$ $b$ $)$ může být nahrazen neomezené intervalu $] °°,$ $b$ $)$ , $($ $, + \infty [$ nebo $] -\infty, + \infty [$ , pokud $U$ a $V$ jsou konečné variace na tomto neomezeném intervalu Můžeme se dokonce rozšířit na funkce s komplexní hodnotou. ${\ displaystyle {\ widetilde {U}} (x) = \ lim _ {t \ až x +} U (t)}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {V}} (x).}$

Ve stochastickém počtu máme také alternativní výsledek významného významu : pro dvě funkce $U$ a $V$ konečných variací, obě spojité vpravo a mají limity vlevo (mluvíme o funkcích càdlàg ), pak máme

{\ displaystyle U (t) V (t) = U (0) V (0) + \ int _ {(0, t]} U (s -) \, \ mathrm {d} V (s) + \ int _ {(0, t]} V (s -) \, \ mathrm {d} U (s) + \ součet _ {u \ in (0, t]} \ Delta U_ {u} \ Delta V_ {u} ,}

s $Δ U t = U ( t ) - U ( t -)$ .

Tento výsledek lze považovat za předchůdce Itôova lemmatu a nachází uplatnění v teorii stochastické integrace. Konečný termín je $Δ U ( t ) Δ V ( t ) = d [ U , V ]$ , který se objeví v kvadratické kovariace $U$ a $V$ . (Předchozí výsledek lze chápat jako návrh před úplným Stratonovichem (v) ).

Související pojmy

Integrace Lebesgue

S $g ( x ) = x$ pro všechny skutečné $x$ , pak $μ g$ je míra Lebesgue a Lebesgueův - Stieltjes integrál $f$ podle $g$ redukuje na Lebesgueův integrál z $f$ .

Riemann-Stieltjesova integrace a teorie pravděpodobnosti

Nechť $f$ je reálná funkce se spojitými reálnými hodnotami a $Φ$ rostoucí skutečná funkce, Lebesgueův-Stieltjesův integrál je ekvivalentní Riemannovu-Stieltjesovu integrálu , kde často píšeme

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} \ Phi (x)}

pro Lebesgue-Stieltjesův integrál, přičemž míra $μ Φ$ zůstává implicitní. Tento výsledek je běžné v teorii pravděpodobnosti , kde $Φ$ je distribuční funkce reálného náhodné veličiny $X$ , pak

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \, \ mathrm {d} \ Phi (x) = \ mathbb {E} [f (X)].}

Poznámky

(en) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „ Lebesgue - Stieltjes integration “ ( viz seznam autorů ) .

Halmos (1974), Sec. 15
(in) Edwin Hewitt, „ Integration by Parts for Stieltjes Integrals “ , American Mathematical Monthly , sv. 67, n o 5,Květen 1960, str. 419–423 ( DOI 10.2307 / 2309287 , JSTOR 2309287 )

Reference

(en) Paul R. Halmos, Teorie měření , Berlín, New York, Springer-Verlag ,1974( ISBN 978-0-387-90088-9 , číst online )
(en) Edwin Hewitt a Karl Stromberg, Reálná a abstraktní analýza , Springer-Verlag,1965.
(en) Stanislaw Saks, Teorie integrálu ,1937( číst online )
(en) GE Shilov a BL Gurevich, Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach , Richard A. Silverman, trans. Publikace Dover,1978( ISBN 0-486-63519-8 ).