Intuicionismus

Tento článek je obrys o matematiku a logiku .

O své znalosti se můžete podělit vylepšením ( jak? ) Podle doporučení příslušných projektů .

Intuicionismus je filozofie matematiky , která LEJ Brouwer vyvinula na počátku XX -tého století . Pro Brouwera je matematika volným výtvorem lidské mysli a všechny objekty, s nimiž manipuluje, musí být přístupné intuici . Intuicionismus vede k hlubokému dotazování matematiky, zejména odmítnutím aktuálního nekonečna: reálné číslo lze reprezentovat pouze jako nekonečnou řadu desetinných míst pod podmínkou, že budou k dispozici účinné prostředky pro výpočet každého z nich. pak mluvíme o konstruktivním reálném .

Logicky intuicionismus nepřijímá uvažování prostřednictvím absurdní nebo vyloučené třetí strany z toho důvodu, že tyto principy umožňují nekonstruktivní demonstraci vlastností: například když chceme demonstrovat existenci čísla skutečného uspokojujícího určitou vlastnost , můžeme absurdně uvažovat, předpokládat, že takový reálný neexistuje, odvodit z něj rozpor a dojít k závěru, že tedy takový reálný existuje, ale tato ukázka neposkytuje žádnou indicii o tom, jak bychom jej mohli vypočítat. Pro intuicionistu jsme právě ukázali, že existence takového reálného není rozporuplná, ale ne to, že tento reálný existuje.

Intuitionistic logika byla vyvinuta Valery Glivenko , Arend Heyting , Kurt Gödel a Andrey Kolmogorov a formalizuje logické principy, které tvoří základ intuicionismu.

Intuicionismus je často považován za formu konstruktivismu , se kterou má mnoho společného, ale odchyluje se od ní, když, stejně jako v případě Brouwerova původního intuicionismu, vede k platným matematickým výrokům, které nejsou klasicky. Logika intuice nám umožňuje pouze demonstrovat platné výroky v klasické logice .

Pravda a důkaz

Základní rozlišovací charakteristikou intuicionismu je jeho interpretace toho, co znamená „být pravdivý“ pro matematický výrok. V Brouwerově původním intuicionismu je pravdou matematického tvrzení subjektivní tvrzení: matematické tvrzení odpovídá mentální konstrukci a matematik může tvrdit pravdivost tvrzení pouze ověřením platnosti této konstrukce intuicí. Vágnost intuicionistického pojetí pravdy často vede k nesprávné interpretaci jejího významu. Kleene formálně definoval intuicionistickou pravdu z realistické pozice, ale Brouwer by pravděpodobně odmítl tuto formalizaci jako bezvýznamnou, vzhledem k jeho odmítnutí realistické (platónské) pozice. Intuicionistická pravda proto zůstává poněkud nedefinovaná. Jelikož je však intuicionistický pojem důkazu přísnější než u klasické matematiky, musí intuicionista odmítnout určitá pravidla klasické logiky, aby zajistil, že vše, co dokážou, je skutečně intuitivně realistické. To vede k intuitivní logice.

Pro intuitivisty je tvrzení, že objekt s určitými vlastnostmi existuje, tvrzení, že lze objekt s těmito vlastnostmi zkonstruovat. Jakýkoli matematický objekt je považován za produkt konstrukce mysli, a proto je existence objektu ekvivalentní možnosti jeho konstrukce. To kontrastuje s klasickým přístupem, kdy lze existenci entity prokázat vyvrácením její neexistence. Pro intuicionisty to není platné; vyvrácení neexistence neznamená, že je možné najít konstrukci domnělého předmětu, jak je nezbytné k potvrzení jeho existence. Intuicionismus jako takový je formou matematického konstruktivismu, ale není jediný.

Interpretace negace se liší v intuitivní a klasické logice. V klasické logice negace výroku tvrdí, že výrok je nepravdivý; pro intuicionisty to znamená, že tvrzení je vyvratitelné (například že existuje protipříklad). V intuicionismu tedy existuje asymetrie mezi pozitivním a negativním výrokem. Pokud je prohlášení prokazatelné, pak je určitě nemožné dokázat, že neexistuje žádný důkaz . Ale i když lze prokázat, že není možné vyvrátit , nemůžeme z této absence usoudit, že existuje důkaz . Takže, je silnější tvrzení než ne ne . $P$ $P$ $P$ $P$ $P$ $P$

Podobně tvrdit, že nebo je platné pro intuicionistu, znamená tvrdit, že nebo může být prokázáno. Zejména právo vyloučené třetí strany není či není přijato jako platná zásada. Například pokud jde o matematické tvrzení, které intuicionista dosud neprokázal nebo nevyvrátil, pak tento intuicionista nebude prosazovat pravdu nebo ne . Intuicionista to však přijme a nic nemůže být pravda. Spojky „a“ a „nebo“ intuitivní logiky tedy neuspokojují Morganovy zákony, jako tomu je v klasické logice. $NA$ $B$ $NA$ $B$ $NA$ $NA$ $NA$ $NA$ $NA$ $NA$ $NA$

Intuicionistická logika nahrazuje konstruovatelnost abstraktní pravdy a je spojena s přechodem od důkazu teorie modelu k abstraktní pravdě v moderní matematice. Logický kalkul zachovává ospravedlnění, spíše než pravdu, prostřednictvím transformací produkujících odvozené výroky. On byl viděn jako poskytování filozofickou podporu několika škol filozofie, nejvíce pozoruhodně Michael Dummett je proti - realismu . Na rozdíl od prvního dojmu, který by jeho název mohl sdělit, je intuitivní matematika, jak je realizována v konkrétních přístupech a disciplínách (např. Fuzzy množiny a systémy), přísnější než konvenční matematika, kde se ironicky základní prvky, které se intuicionismus pokouší konstruovat / vyvrátit / refound jsou považovány za podané intuitivně.

Nekonečný

Mezi různými formulacemi intuicionismu existuje několik různých pozic ve smyslu a realitě nekonečna.

Termín potenciální nekonečno označuje matematický postup, ve kterém existuje nekonečná řada kroků. Po dokončení každého kroku je vždy třeba udělat další krok. Zvažte například proces počítání: 1, 2, 3, ...

Termín skutečné nekonečno označuje dokončený matematický objekt, který obsahuje nekonečné množství prvků. Příkladem je množina přirozených čísel, N = {1, 2, ...}.

Ve formulaci teorie množin Georga Cantora existuje mnoho různých nekonečných množin, z nichž některé jsou větší než jiné. Například sada všech reálných čísel R je větší než N, protože jakýkoli postup, který se pokusíte použít k vytvoření přirozených čísel jedna ku jedné ( bijekce ) se skutečnými čísly, vždy selže: vždy bude existovat nekonečný počet „ zbývající "reálná čísla. Jakákoli nekonečná množina, kterou lze umístit do korespondence 1: 1 s přirozenými čísly, je považována za „spočetnou“. Nekonečné sady větší než toto by byly „nespočetné“.

Cantorova teorie množin vedla k axiomatickému systému Zermelo - Fraenkelova teorie množin (ZFC), dnes nejběžnější základ moderní matematiky. Intuicionismus byl zčásti vytvořen jako reakce na Cantorovu teorii množin.

Moderní teorie konstruktivních množin zahrnuje nekonečný axiom ZFC (nebo revidovanou verzi tohoto axiomu) a množinu N přirozených čísel. Většina moderních konstruktivních matematiků přijímá realitu nespočetných nekonečných množin (protiklad viz Alexander Esenin-Volpin).

Brouwer odmítl koncept skutečného nekonečna, ale připustil myšlenku potenciálního nekonečna.

Podle Weyla 1946 „Brouwer objasnil, jak si myslím nade vší pochybnost, že neexistují žádné důkazy podporující víru v existenciálnost souhrnu všech přirozených čísel ... posloupnost čísel, která roste nad jakoukoli již dosaženou fázi přechodem k dalšímu číslu je spousta možností otevřených do nekonečna; zůstává navždy ve stavu stvoření, ale není uzavřenou doménou věcí, které v nich existují, které jsme slepě konvertovali do sebe, je skutečným zdrojem našich obtíží, včetně antinomií - zdroj zásadnější povahy než Russellův princip bludného kruhu. Brouwer nám otevřel oči a ukázal nám, kam až jde klasická matematika, vyživovaná vírou v absolutno, které přesahuje všechny lidské možnosti realizace. mimo výroky, které si mohou nárokovat skutečný význam a pravdu založenou na důkazech. (Kleene (1952): Úvod do matematiky, str. 48-49)

Dějiny

Dějiny intuicionismu lze vysledovat ke dvěma sporům v matematice v 19. století.

Prvním z nich byl vynález transfinitní aritmetiky od Georga Cantora a jeho následné odmítnutí řadou významných matematiků, včetně nejslavnějšího z jeho učitele Leopolda Kroneckera - potvrzeného finitisty.

Druhým z nich byla snaha Gottlob Frege redukovat veškerou matematiku na logickou formulaci pomocí teorie množin a její vykolejení mladým Bertrandem Russellem , objevitelem Russellova paradoxu . Frege naplánoval definitivní třídílné dílo, ale právě když se měl objevit druhý díl, Russell poslal Fregeovi dopis popisující jeho paradox, který prokázal, že jedno z pravidel Fregeových referencí bylo rozporuplné. V příloze svazku 2 Frege uznal, že jeden z axiomů jeho systému ve skutečnosti vedl k Russell Paradox.

Frege upadl do deprese a nezveřejnil třetí díl své práce tak, jak plánoval. Další informace viz „Davis (2000), kapitoly 3 a 4: Frege: Od průlomu k zoufalství a Cantor: Detour through Infinity“. Viz van Heijenoort pro původní díla a komentář van Heijenoort.

Tyto spory spolu úzce souvisejí, protože logické metody, které Cantor používá k prokázání svých výsledků v transfinitní aritmetice, jsou v zásadě stejné jako metody, které použil Russell k vytvoření svého paradoxu. Způsob, jakým se člověk rozhodne vyřešit Russellův paradox, má tedy přímé dopady na stav přiznaný Cantorově transfinitní aritmetice.

Na počátku 20. století představoval LEJ Brouwer intuitivní pozici a David Hilbert formalistickou pozici - viz van Heijenoort. Kurt Gödel nabídl názory zvané platonisté (viz různé zdroje týkající se Gödela). Alan Turing uvažuje: „nekonstruktivní logické systémy, s nimiž nejsou všechny fáze důkazu mechanické, některé jsou intuitivní“. (Turing 1939, přetištěno v Davisovi 2004, s. 210) Později Stephen Cole Kleene ve svém Úvodě do metamatematiky (1952) představil racionálnější úvahy o intuicionismu .

Bibliografie

(en) Arend Heyting , Intuitionism: An Introduction , Amsterdam, North-Holland Pub. Co,1971, 3 e ed. ( 1 st ed. 1956), 145 str. ( ISBN 0-7204-2239-6 )
(en) Rosalie Iemhoff, „Intuicionismus ve filozofii matematiky“, 2008, „ Intuicionismus “ , ve Stanfordské encyklopedii filozofie .
(en) Jean van Heijenoort , From Frege to Gödel, A Source Book in Mathematical Logic , 1879-1931 , Harvard University Press, Cambridge, MA, 1967. 2 z vydání z roku 1977. Obsahuje mimo jiné (s komentáři van Heijenoorta):
- LEJ Brouwer , 1923, O významu principu vyloučeného středu v matematice, zejména v teorii funkcí , s. 334
- Andrei Nikolaevich Kolmogorov , 1925, Na principu vyloučeného středu , str. 414
- LEJ Brouwer, 1927, O doménách definic funkcí , str. 446
- LEJ Brouwer, 1927 (2), intuitivní úvahy o formalismu , str. 490
(en) Hilary Putnam a Paul Benacerraf , Philosophy of Mathematics: Selected Readings , Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1964. 2. vydání, Cambridge: Cambridge University Press, 1983 ( ISBN 0-521-29648-X )
Část I. Základy matematiky , Symposium o základech matematiky ; který začíná texty nechronologicky sestavenými:
- Rudolph Carnap , Logické základy matematiky , str. 41
- Arend Heyting , Intuicionistické základy matematiky , str. 52
- Johann von Neumann , Formalistické základy matematiky , str. 61
- Arendt Heyting, spor , str. 66
- LEJ Brouwer, Intuitionnism and formalism , str. 77
- LEJ Brouwer, Vědomí, filozofie a matematika , str. 90
Jean Largeault , intuicionismus , Paříž, PUF , kol. QSJ? 1992
Jean Largeault , intuice a teorie demonstrací , Paříž, J. Vrin,1992, 566 s. ( ISBN 2-7116-1059-4 , online prezentace ) Texty Bernays , Brouwer , Gentzen … [et al.] Shromáždil, přeložil a představil Jean Largeault.
Jacques Harthong a Georges Reeb , Intuitionnisme 84 (původně publikováno v kolektivní práci La Mathematics Nestandard , edice CNRS)

Reference

Glivenko, V., 1928, „O logice M. Brouwera“, Královská akademie v Belgii, Bulletin de la classe des sciences , 14: 225–228.
Kurt Godel, Collected Works, sv. III , Oxford: Oxford University Press (1995).
Andreï Kolmogorov , „ Na principu vyloučeného středu “ (1925), Jean van Heijenoort , 1967, Zdrojová kniha v matematické logice, 1879–1931 , Harvard Univ. Tisk : 414–37.