Motivační integrace

Motivální integrace je pojem algebraické geometrie představený Maximem Kontsevichem v roce 1995 a vyvinutý Janem Denefem a Françoisem Loeserem . Od svého zavedení se tento pojem osvědčil jako velmi užitečný v různých odvětvích algebraické geometrie , zejména v birační geometrii a teorii singularit . Zobrazeno obecně připisuje motivic integrace do podmnožin prostoru oblouků algebraické odrůdy objem v kruhu o Grothendieck z algebraických variet . Označení „motivický“ odráží skutečnost, že na rozdíl od běžné integrace , pro kterou jsou hodnoty reálnými čísly , mají v motivické integraci hodnoty geometrickou povahu.

Popis

Motivační integrace se vyvíjela „zběsilým tempem“ od doby, kdy Maxime Kontsevich přednesl první přednášku na toto téma v Orsay v prosinci 1995. Motivální opatření se odlišuje dvěma způsoby od obvyklých opatření; první je, že nemá žádné skutečné hodnoty. Spíše to bere hodnoty ve skupině pitev . Druhá vlastnost spočívá v tom, že místo abychom pracovali v booleovské algebře měřitelných množin, pracujeme přímo se základními booleovskými vzorci, které tyto množiny definují.

Polygonová disekční skupina je definována jako volná abelianská skupina, na kterou se vztahují dvě rodiny vztahů, disekční a kongruenční vztahy. Můžeme ukázat, že tato skupina je izomorfní vůči aditivní skupině reálných čísel. V tomto izomorfismu je skutečným číslem připojeným ke třídě polygonů jeho oblast.

Obvykle uvažujeme míru množiny X = {x | φ (x)} (řekněme podmnožinu lokálně kompaktního prostoru) definovanou vzorcem φ, ale ne míru vzorce φ definující společně. V případě motivické míry definujeme míru přímo na vzorci. Konkrétně rovnice

x ^ 2 + y ^ 2 = 1

definuje kruh

{\ displaystyle \ {(x, y) \ střední x ^ {2} + y ^ {2} = 1 \}}

S motivickým měřením uvažujeme spíše míru rovnice kruhu než míru samotného kruhu. Pozornost se přesouvá od množin k vzorcům. Měření vzorců spíše než podmnožin definuje univerzální měřítko v tom, že hodnota, kterou přikládá vzorci, nezávisí na konkrétní doméně, protože každý vzorec definuje nekonečnou kolekci sad v závislosti na doméně, ve které se nachází.

Poznámky a odkazy

(en) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z anglického článku Wikipedie s názvem „ Motivační integrace “ ( viz seznam autorů ) .

Thomas Callister Hales 2005 .

Bibliografie

Thomas Callister Hales, „ Co je to motivační opatření? ”, Bulletin of the American Mathematical Society , vol. 42,2005( číst online , konzultováno 27. dubna 2020 ).
Alastair Craw, „ Úvod do motivické integrace “, Arxiv ,27. září 2001( arXiv math / 9911179 ).
François Loeser, „ Seattle lecture notes on motivic integration “ ,2008(zpřístupněno 27. dubna 2020 ) .
Willem Veys, „ Obloukové prostory, motivická integrace a strnulé invarianty “ ,2006(zpřístupněno 27. dubna 2020 ) .
Manuel Blickle, „Krátký kurz geometrické motivické integrace“ , R. Cluckers, J. Nicaise a J. Sebag (eds), Motivic Integration and its Interactions with Model Theory and Non-Archimedean Geometry , Cambridge University Press, kol. "Londýn matematická společnost Pozn Play Series" ( n o 383)2011( DOI 10.1017 / CBO9780511667534.006 , arXiv math / 0507404 ) , s. 189-243
François Loeser a Dimitri Wyss, „ Motivic Integration on the Hitchin Fibration “, Arxiv , 25. prosince 2019 ( arXiv 1912.11638 ).
Tommaso de Fernex a Roi Docampo, „ Diferenciály v prostoru oblouku “, vévoda Math. J. , sv. 169, n O 22020, str. 353-396 ( zbMATH 07180379 ).