Částečná izometrie

Ve funkční analýze , je částečný isometry je lineární mapa mezi dvěma Hilbertových prostorů , jejichž omezení na ortogonální doplněk jeho jádra je isometry .

Tento ortogonální doplněk jádra se nazývá počáteční podmnožina a jeho obraz se nazývá konečná podmnožina.

Příklady

• Jakýkoli unitární operátor na Hilbertově prostoru je částečná izometrie, jejíž počáteční a konečný prostor je považován za Hilbertův prostor.
• Na hermitovském prostoru C 2 je lineární mapa představovaná maticí částečnou izometrií počátečního a konečného prostoru .(0100){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}{0}⊕VS⊆VS⊕VS{\ displaystyle \ {0 \} \ oplus \ mathbb {C} \ subseteq \ mathbb {C} \ oplus \ mathbb {C}}VS⊕{0}{\ displaystyle \ mathbb {C} \ oplus \ {0 \}}

Jiná definice

Pokud U je isometry definován na uzavřené podprostoru H 1 o Hilbertově prostoru H , pak existuje jedinečná rozšíření W a U na všechny H , která je částečný isometry. Toto rozšíření je definováno rozšířením o 0 na ortogonálním doplňku H 1 .

Jeden tak někdy nazývá parciální izometrii izometrií definovanou v uzavřeném podprostoru Hilberta.

Charakterizace

Dílčí izometrie se také vyznačují tím, zda buď W W * nebo W * W nebo projekce . Pokud k tomu dojde, jsou WW * i W * W projekce. To umožňuje definovat částečnou izometrii pro C * -algebry takto:

Pokud je C * algebry, se říká, že prvek W z A je částečný izometrický pokud W * W nebo WW * je výstupek ( self-adjoint operátor idempotent ) v A . V tomto případě, jak jsou ortogonální projekce , respektive tzv počáteční projekce a konečné projekce W .

Když je algebry operátor , obrazy z těchto výstupků jsou v tomto pořadí počáteční podprostor a konečná podprostor W .

Můžeme také ukázat, že parciální izometrie jsou charakterizovány rovnicí:

Ž=ŽŽ∗Ž.{\ displaystyle W = WW ^ {*} W.}

Dvě projekce, z nichž jedna je počáteční projekce a druhá konečná projekce stejné parciální izometrie, jsou považovány za rovnocenné. Jedná se o vztah ekvivalence, který hraje důležitou roli v K- teorii C * -algeber a v Murray  (en) - von Neumannově teorii projekcí ve Von Neumannově algebře .

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „  Částečná izometrie  “ ( viz seznam autorů ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">