Poustevnický prostor

V matematice , je Hermitian prostor je vektorový prostor na komutativním poli z komplexů z konečných rozměrů a je opatřen Hermitovské skalární součin . Geometrie takového prostoru je analogická jako u euklidovském prostoru . Mnoho vlastností je společných pro obě struktury.

Proto jsou charakteristické přirážky, jako je Cauchy-Schwarzova nerovnost a trojúhelníková nerovnost, vždy platné, je zajištěna existence konkrétních základen , o nichž se říká, že jsou ortonormální , a kanonický vztah mezi prostorem a jeho dvojím je stejné povahy jako ten euklidovské konfigurace.

Algebraicky uzavřený charakter podkladového tělesa činí Diagonalizace z endomorphisms kompatibilních s skalární součin obecnější. Pojem kompatibilní zde znamená normální , to znamená dojíždění s jeho doplňkem .

A konečně, hermitovský prostor dimenze n je také euklidovským prostorem dimenze 2 n , takže topologické vlastnosti jsou přesně stejné.

Za tuto strukturu vděčí francouzský matematik Charles Hermite ( 1822 - 1901 ) .

Definice a první vlastnosti

Definice

Cílem je zobecnit euklidovskou vesmírnou strukturu na komplexní čísla, což nabízí tu výhodu, že jde o algebraicky uzavřené pole. Na druhou stranu již neexistuje relační řád kompatibilní s operacemi těla a čtverec komplexu je někdy negativní. Abychom překonali tuto obtíž, skalární součin již není bilineární formou, ale hermitskou formou.

Hermitian forma je mapa <⋅, ⋅> od E x E na ℂ taková, že:

pro všechny x v E , na mapě φ x z E v ℂ definován cp x ( y ) = < y , x >, je lineární formu a
pro všechny x a y v E , (kde znamená konjugace ). $\ langle x, y \ rangle = \ overline {\ langle y, x \ rangle}$ ${\ bar {\ cdot}}$

Zejména 〈x , x〉 je reálné a je to kvadratická forma na E vnímaná jako ℝ-vektorový prostor. $x \ mapsto \ langle x, x \ rangle$

Všimněte si také, že hermitiánská forma s touto definicí je sesquilinear vpravo .

Což vede k následujícím definicím:

Definice - dot produkt přes komplexní vektorový prostor je Hermitian forma <⋅, ⋅> tak, že skutečná kvadratická forma je pozitivně definitní . $x \ mapsto \ langle x, x \ rangle$

Za těchto podmínek je skutečná část 〈⋅, ⋅〉 euklidovský skalární součin pro strukturu reálného vektorového prostoru získaného omezením a imaginární část alternativní nedegenerovanou bilineární formu , jinými slovy symplektická forma . ${\ mathfrak {Re}} \ vlevo (\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle \ vpravo)$

Termín hermitovský produkt je synonymem pro tečkový produkt v komplexním vektorovém prostoru.

Definition - Hermitian prostor je komplexní vektorový prostor konečné dimenze a za předpokladu, s skalární součin.

Mapování, které s vektorem x spojuje druhou odmocninu tečkového součinu x , je normou zvanou hermitovská norma ; související vzdálenost , která se dvěma vektory sdružuje normu jejich rozdílu, se nazývá Hermitian vzdálenost .

Ve zbytku článku E označuje komplexní vektorový prostor konečné dimenze, ℂ tělo komplexních čísel, 〈⋅, ⋅〉 skalární součin na E , vybraný lineární vzhledem k první proměnné a pololineární vzhledem k per druhý. Norma je uvedena ║ ∙ ║.

Příklady

Vektorový prostor ℂ n , obdařený kanonickým skalárním součinem a související normou, definovanou pro x = ( x 1 , ..., x n ) a y = ( y 1 , ..., y n ), $\ langle x, y \ rangle = x_ {1} \ overline {y_ {1}} + x_ {2} \ overline {y_ {2}} + \ ldots + x_ {n} \ overline {y_ {n}} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} x_ {i} \ overline {y_ {i}} {\ text {et}} \ | x \ | = {\ sqrt {\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} | x_ {i} | ^ {2}}},$ je hermitovský prostor zvaný kanonický hermitovský prostor dimenze n .
Na vektorovém prostoru M n (ℂ) čtvercových matic řádu n , identifikovaných s ℂ ( n 2 ) , je proto přepsán kanonický skalární součin: $\ langle A, B \ rangle = \ sum _ {{i, j \ in \ {1, \ ldots, n \}}} A _ {{ij}} \ overline {B _ {{ij}}} = { \ mathrm {tr}} (AB ^ {*})$ kde $tr$ označuje stopu a B * označuje adjunktní (nebo transkonjugovanou) matici B (tj. transpozici matice, jejíž koeficienty jsou konjugáty koeficientů B ). Přidružená norma se nazývá „ Frobeniova norma “.
Vektorový prostor složitých polynomů stupně menšího nebo rovného n ,
- dodáván se skalárním součinem $\ left \ langle \ sum _ {{i = 0}} ^ {{n}} a_ {i} X ^ {i}, \ sum _ {{i = 0}} ^ {{n}} b_ {i} X ^ {i} \ right \ rangle = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} a_ {i} \ overline {b_ {i}}$ je hermitovský prostor, triviálně izomorfní s kanonickým hermitovským prostorem dimenze n + 1.
- s jiným skalárním součinem: $\ langle P, Q \ rangle = \ int _ {0} ^ {1} P (t) \ overline {Q (t)} \ {{\ rm {d}}} t$ je také hermitovský prostor. Tento skalární součin je produktem Hilbertova prostoru $L 2 ([0, 1])$ (nekonečné dimenze), omezeného na podprostor polynomiálních funkcí (identifikovaných jako polynomy) stupně menšího nebo rovného n .
- dodávané se skalárním součinem (odlišné od předchozích dvou): $\ langle P, Q \ rangle = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} P (x_ {i}) \ overline {Q (x_ {i})}$ (kde x 0 ,…, x n jsou n + 1 odlišných komplexů) je izomorfní s kanonickým hermitovským prostorem dimenze n + 1, pomocí mapy P ↦ ( P ( x 0 ),…, P ( x n )).

Nerovnosti a identity

Následující vlastnosti jsou ověřeny v jakémkoli složitém prehilbertianském prostoru , dimenze nemusí být nutně konečná. Některé jsou pouze opakováním vlastností skutečného $tečkového$ produktu $Re$ (〈⋅, ⋅〉), který má stejnou přidruženou normu jako 〈⋅, ⋅〉.

Stejně jako ve skutečné situaci jsou vždy ověřovány dva klasické příplatky. Pokud x a y označují dva vektory E :

Cauchy-Schwarz : ; $| \ langle x, y \ rangle | \ leq \ | x \ | \ | y \ |$
trojúhelník nerovnost : Druhé ukazuje, že třetí axiom definice standardu , uvedené Subadditivity je kontrolována. Ostatní dva (separace a homogenita) jsou zjevně tak. $\ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ |.$
Vývoj čtverce normy součtu, $\ | x + y \ | ^ {2} = \ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2} +2 {{\ rm {Re}}} \ left (\ langle x, y \ rangle \ right),$ nám umožňuje stanovit Pythagorovy věty : Je-li x a y jsou ortogonální , pak rozdíl od euklidovské situaci hovořit už není pravda, protože skalární součin může zde být nenulový čistý imaginární . $\ | x + y \ | ^ {2} = \ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2}.$
Vývoj čtverce normy součtu dvou vektorů ukazuje pravidlo rovnoběžníku , které charakterizuje normy vyplývající z tečkového součinu : $\ | x + y \ | ^ {2} + \ | xy \ | ^ {2} = 2 \ | x \ | ^ {2} +2 \ | y \ | ^ {2},$
stejně jako polární identita: $\ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} = 2 \ langle x, y \ rangle +2 \ langle y, x \ rangle.$
Polarizace identita (zde formulovány pro správnou formu sesquilinear ), přesnější, ukazuje, že skalární součin je úplně určen normou: $\ langle x, y \ rangle = {\ frac 14} \ sum _ {{k = 0}} ^ {3} {{\ rm {i}}} ^ {k} \ | x + {{\ rm {i }}} ^ {k} y \ | ^ {2}.$

Vlastnosti

Ortonormální základ

Situace je přesně stejná jako v euklidovském prostoru:

jakákoli ortonormální rodina je zdarma ;
pokud E je Hermitian prostoru dimenze n a B orthonormal základ E pak, pro všechny vektory u a v z E , souřadnic x a y v B , skalární součin < u , v > je rovna skalárního součinu < x , y〉 v kanonickém hermitovském prostoru dimenze n . Jinými slovy, lineární bijekce z E do ℂ n, která spojuje s jakýmkoli vektorem jeho souřadnice v B, respektuje dva skalární produkty a představuje tak izomorfismus hermitovských prostorů;
důkaz Bessel nerovnost ukazuje, že pokud ( f i ) je ortonormální báze z vektoru podprostoru F z E , jakýkoliv vektor x z E připustí kolmý průmět na F , jejichž poloha v ( f i ), nazývané Fourierovy koeficienty, jsou 〈X , f i〉 a ověřte $\ sum | \ langle x, f_ {i} \ rangle | ^ {2} \ leq \ | x \ | ^ {2} ~;$
odvozujeme Gram-Schmidtův algoritmus , který zajišťuje existenci ortonormálního základu.

Duální, doplněk a tenzorový produkt

Připomeňme, že v tomto článku je hermitovská forma pravá seskvilineární forma s hermitovskou symetrií.

Konfigurace je opět analogická s konfigurací euklidovských prostorů. Tečkový produkt poskytuje kanonickou mapu φ E v jeho dvojím E *:

{\ displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad \ varphi _ {x}: E \ rightarrow \ mathbb {C} \ quad y \ mapsto \ varphi _ {x} (y) = \ langle y, x \ rangle .}

Pořadí je zde obrácené ve srovnání s konvencí zvolenou v článku o euklidovském prostoru. Ve skutečnosti by φ x bylo jinak semi-lineární a my bychom získali lineární bijekci E v jeho antidualu (vektorový prostor semi-lineárních forem).

Při zvoleném pořadí máme pololineární bijekci φ z E do jeho duální E *. Když je E * obdařen dvojí normou , je tato bijekce dokonce izometrií (podle Cauchy-Schwarzovy nerovnosti ), což dokazuje, že tato norma je hermitská, to znamená spojená se skalárním součinem: ta definovaná 〈φ ( x ), φ ( y )〉 = 〈y , x〉.

Z φ odvodíme dvě bijekce ψ 1 a ψ 2 , z prostoru L ( E ) endomorfismy E v prostoru L 3/2 ( E ) ze sesquilineárních forem vpravo:

\ forall a \ in {{\ rm {L}}} (E) ~ \ forall x, y \ in E \ quad \ psi _ {1} (a) (x, y) = \ langle a (x), y \ rangle {\ text {and}} \ psi _ {2} (a) (x, y) = \ langle x, a (y) \ rangle.

ψ 1 je lineární a ψ 2 je pololineární , takže složená bijekce ψ 2 −1 ∘ψ 1 je pololineární . S endomorfismem a spojuje endomorfismus s názvem * adjunct a je definován následující rovností:

\ forall x, y \ in E \ quad \ langle a (x), y \ rangle = \ langle x, a ^ {*} (y) \ rangle.

Endomorfismy rovnocenné (resp. Oponované) s jejich doplňkem jsou považovány za Hermitians nebo self-spolupracovníci (resp. Antihermitians nebo anti-self-spolupracovníci).

Pololineární - tedy ℝ-lineární - mapa L ( E ) → L ( E ), a ↦ a * je nejen bijektivní (poloizomorfismus), ale involutivní (( a *) * = a ). V L ( E ) považovaném za vector-vektorový prostor je to tedy symetrie s ohledem na ℝ -prostor hermitovských endomorfismů, s ohledem na další z antihermitiánů.

Hermitovský skalární součin na tenzorovém součinu , zejména na L ( E ) ≃ E * ⊗ E , je definován podobným způsobem jako euklidovský případ. Získáváme

\ langle a, b \ rangle = {\ mathrm {Tr}} (a \ circ b ^ {*}).

Semi-lineární symetrie a ↦ a * zachovává přidruženou normu, proto také přidružený euklidovský skalární součin $Re$ (〈⋅, ⋅〉) (srov. § „Definice“ ).

Příklady

Máme ( $i$ a ) * = - $i$ ( a *). Pokud je Hermitian, $i$ je antihermitian.
Pokud A je matice a s ohledem na ortonormální bázi, je maticí adjunktu doplňková matice A *.
Když jsou endomorfismy reprezentovány maticemi na pevné ortonormální bázi, najdeme tedy kanonický hermitovský součin na M n (ℂ) .

Euklidovský prostor, hermitovský prostor

Nechť E je hermitovský prostor. Skutečný vektorový prostor E ℝ, který se z něj odvodí omezením skalárů (en), je přirozeně obdařen euklidovským skalárním součinem 〈⋅, ⋅〉ℝ = $Re$ (〈⋅, ⋅〉). Jestliže B = ( e 1 , ..., e n ) je základem E a pokud $i$ označuje imaginární jednotku , pak B ℝ = ( e 1 , ..., e n , $i$ e 1 ,…, $i$ e n ) je základ E ℝ , který je tedy dimenze 2 n . Navíc, pokud B je ortonormální pro 〈⋅, ⋅〉, pak B ℝ je ortonormální pro 〈⋅, ⋅〉ℝ .
Naopak, nechť F je euklidovský prostor dimenze n , je možné ponořit F do hermitovského prostoru dimenze n : složitý F ℂ : = ℂ⊗ F z F , obdařený hermitovským skalárním součinem získaným tenzorizací prostoru ℂ euklidovským skalárním součinem F : ${\ displaystyle \ forall \ lambda \ otimes x, \ mu \ otimes y \ in F _ {\ mathbb {C}} \ quad \ langle \ lambda \ otimes x, \ mu \ otimes y \ rangle _ {F _ {\ mathbb {C}}} = \ lambda {\ overline {\ mu}} \ langle x, y \ rangle _ {F}.}$ Pokud ( f 1 , ..., f n ) je ortonormální základ F, pak (1⊗ f 1 , ..., 1⊗ f n ) je ortonormální základ F ℂ . Je běžné identifikovat vektory f i a 1⊗ f i .

Tyto dvě konstrukce zasahují do rámce prehilbertiánských prostorů dimenze, která nemusí být nutně konečná.

Poznámky

Dvě konvence (levé a pravé) existují společně. Tento článek přebírá správnou konvenci; články Složitá seskvilineární forma a Identita polarizace upřednostňují levici.
Zde zveřejněná metoda se často používá, když si autor díla přeje být formálně důsledný. Formalizace zaměřená na fyziku je uvedena v C. Semay a B. Silvestre-Brac, Úvod do výpočetní techniky, aplikace à la physique , Dunod, 2007 ( ISBN 978-2-10-050552-4 ) .

Podívejte se také

externí odkazy

Tečkový produkt za ℂ n , Gram-Schmidtova metoda, hermitovské matice, unitární a diagonalizace od Véronique Hussin a Aliny Stancu z University of Montreal
Hermitovské prostory od C. Antonini et al. , 2001, na les-mathematiques.net

Bibliografie

Serge Lang , Algebra [ detail vydání ]