j -invariant

J -invariant , někdy nazývá j funkce , je funkce zavedený Felix Klein pro studium eliptických křivek , která je od zjištěné aplikace než jen algebraické geometrii , například ve studii o modulární funkcí , z teorie třídy těles a monstrózního měsíčního svitu .

Motivace: křížový poměr a j -invariant

Pracujeme ve složité projektivní rovině (en) . Uvažujme o čtyřech odlišných bodech , jejichž křížový poměr je: ${\ mathbb C} P ^ {1}$ $abeceda$

{\ displaystyle (a, b, c, d) = {\ frac {ac} {ad}} \ cdot {\ frac {bd} {bc}}}

Toto množství je neměnné podle homografií letadla , ale závisí na pořadí čtyř uvažovaných čísel.

Například křížový poměr může mít hodnotu v závislosti na uvažovaném pořadí: ${\ displaystyle (m, 1,0, \ infty)}$

{\ Displaystyle m, 1 / m, 1-m, 1-1 / m, 1 / (1-m), m / (m-1)}

Pokud se pokusíme tento výraz symetrizovat, získáme veličinu, která zůstává invariantem projektivních transformací, ale již nezávisí na pořadí čísel:

{\ displaystyle j (m) = {\ frac {4} {27}} {\ frac {(1-m + m ^ {2}) ^ {3}} {m ^ {2} (1-m) ^ {2}}}}

které nazýváme j -variant. Tato invariance je prvním indexem spojení mezi j -invariantem a modulární skupinou .

Nechť X je non-singulární eliptické křivky na , z Weierstrassovy formě : ${\ mathbb C} P ^ {1}$

{\ displaystyle X: y ^ {2} = x ^ {3} + q_ {2} x + q_ {3}}

pro diskriminační . ${\ displaystyle \ Delta = -4q_ {2} ^ {3} -27q_ {3} ^ {2} \ neq 0}$

Spojená j -invariant je

{\ displaystyle j = 1728 {\ frac {-4q_ {2} ^ {3}} {\ Delta}}}

J -invariant je surjektivní mapa, která dává bijection mezi izomorfismu třídy eliptických křivek na komplexní rovině a komplexní čísla.

Pojem j -invariant se zobecňuje na trigonální křivky .

( fr ) John Horton Conway a Simon Norton , „ Monstrous Moonshine “ , Bulletin of London Mathematical Society , sv. 11, n o 3,1979, str. 308–339 ( DOI 10.1112 / blms / 11.3.308 , matematické recenze 0554399 )
(it) Felix Klein , „ Sull 'equazioni dell' Icosaedro nella risoluzione delle equazioni del quinto grado [per funzioni ellittiche]. » , Reale Istituto Lombardo, Rendiconto, Ser , roč. 10, n O 21877
(de) Felix Klein , „ Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades “ , Math. Ann. , sv. 14, 1878-1879, str. 111-172
(en) Andrew Ogg , „Modular Functions“, v The Santa Cruz Conference on Finite Groups 1979 , Amer. Matematika. Soc.,1980, str. 521-532
(en) Tito Piezas III a Eric Weisstein. j-funkce , MathWorld