j (komplexní číslo)
V matematice definujeme komplexní číslo j jako jedinečný kubický kořen 1, jehož imaginární část je přísně pozitivní.
kde exp označuje komplexní exponenciál .
Číslo j by nemělo být zaměňováno s imaginární jednotkou i, která je ve fyzice často označována jako j (pro lepší rozlišení od elektrické intenzity, jejíž symbol je i ).
Vlastnosti
Číslo j má některé pozoruhodné vlastnosti:
- jako každý kořen jednoty , jeho modul se rovná 1, jinými slovy: jeho konjugát se rovná jeho inverzi (tedy k j 2 );
- kubické kořeny jednoty jsou 1, j a j 2 ; jejich součet je nula, protože j je kořen polynomu X 3 - 1 = ( X - 1) ( X 2 + X + 1) ;
- v komplexní rovině , tři body přípon 1, j a j 2 tvoří rovnostranný trojúhelník ;
- výpočet j 3 se podle definice snižuje na j 3 = 1 .
Aplikace na výpočet kubických kořenů
Jakékoli nenulové komplexní číslo má přesně tři kubické kořeny . Pokud z je jedním z nich, pak další dva jsou j z a j 2 z .