K3 (geometrie)

V diferenciální nebo algebraické geometrii , jsou K3 povrchy jsou Calabi-Yau odrůdy menší rozměr se liší od tori . Jedná se o komplexní škálu komplexních dimenzí 2 compact a Kähler .

Povrchy K3 mají také tu vlastnost, že jsou jediným rozdělovačem Calabi-Yau odlišným od 4 torusu T 4 z topologického nebo diferenciálního hlediska . Jako složité potrubí však existuje nekonečné množství neizomorfních povrchů K3. Zmínku lze odlišit zejména morfismem Torelli (en) .

André Weil (1958) je pojmenoval na počest tří algebraických geometrů Kummer , Kähler a Kodaira a hory K2 v Karakoramu .

Geometrické charakteristiky

Většina povrchů K3 nejsou algebraické varianty . To znamená, že je obecně nemožné je realizovat jako soubor řešení polynomiálních rovnic v projektivním prostoru .

Tyto povrchy se však poprvé objevily v algebraické geometrii a jejich název pochází od tří geometrů Kummer , Kähler a Kodaira .

Skupina kohomologie je volná abelianská skupina hodnosti 22. Je poskytována (produktem v kohomologii) nedegenerovanou kvadratickou formou podpisu (3,19). Jako síť obsahuje tato kohomologická skupina dva faktory typu E8 . Můžeme explicitně popsat ortogonální základ pro tuto kvadratickou formu zvážením Hodgeova diamantu pro K3, který je napsán $H ^ {2} (X, {\ mathbb {Z}})$

{\ begin {matrix} && h _ {{0,0}} && \\ & h _ {{1.0}} && h _ {{0.1}} & \\ h _ {{2.0,}} && _ {1, 1}} && h _ {{0.2}} \\ & h _ {{2,1}} && h _ {{1,2}} & \\ && h _ {{2,2}} && \\\ end {matrix}} = {\ begin {matrix} && 1 && \\ & 0 && 0 & \\ 1 && 20 && 1 \\ & 0 && 0 & \\ && 1 && \\\ end {matrix }}

kde jsou rozměry Dolbeaultových cohomologických prostorů . Navíc mezi 20 (1,1) formami je 19 selfdualů s pozitivní normou, zatímco zbývající (1,1) forma doprovázená (2,0) a (0,2) formami jsou anti-selfduales a mají negativní normu. $h _ {{i, j}}$

Jako všichni netriviální Calabi-Yau, zatím nevíme o explicitní metrice Ricciho (en) desky (en), i když její existenci zajišťuje Yau (en) věta .

Použití v teorii strun

Tento prostor se v teorii superstrun často používá jako kompaktní prostor . V této souvislosti povrch K3 vykazuje pozoruhodný vzhled v dualitě řetězec-řetězec, který tvrdí, že teorie typu IIA zhutněná na povrchu K3 je ekvivalentní k heterotickému řetězci zhutněnému na čtyřrozměrném torusu.

Bibliografie

(en) Paul S. Aspinwall, „K3 Surfaces and String Duality“. „ Hep-th / 9611137 “ , volně přístupný text, na arXiv .
(en) David R. Morrison, Geometrie povrchů K3 [PDF]

Poznámky

Proto je povrch názvu . Jako skutečná odrůda má rozměr 4

Podívejte se také