Noetherovo normalizační lema

V komutativní algebře poskytuje lemma Noetherova normalizace kvůli německému matematikovi Emmy Noetherovi popis algebry konečného typu na těle .

Komutativní algebry je pevně konečně A na těleso (komutativní) K .

Státy

Noetherovo normalizační lemma : Algebra obsahuje a je konečná v podřetězci polynomů . $NA$ ${\ displaystyle K [X_ {1}, \ tečky, X_ {d}]}$

Ekvivalentně: Existuje kladné nebo nulové celé číslo d a konečný injektivní homomorfismus K -algebry Jinými slovy, existuje takový, že jakýkoli prvek a z A je psán jako kombinace s polynomy závislými na a . ${\ displaystyle u: K [X_ {1}, \ tečky, X_ {d}] \ hookrightarrow A.}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ dots, a_ {n} \ v A}$ ${\ displaystyle a = u (P_ {1}) a_ {1} + \ cdots + u (P_ {n}) a_ {n}}$ ${\ displaystyle P_ {1}, \ tečky, P_ {n} \ v K [X_ {1}, \ tečky, X_ {d}]}$

Poznámky

Celé číslo d je roven rozměru KRULL části A . Pokud je integrován , je to také stupeň překročit tělo frakce A přes K .
Existuje odstupňovaná verze Noetherova normalizačního lematu: Nechť A je odstupňovaná algebra nad polem K , generovaná konečným počtem homogenních prvků přísně kladných stupňů. Pak existuje kladné nebo nulové celé číslo d a konečný injektivní homomorfismus K- absolvovaných algeber

{\ displaystyle K [X_ {1}, \ tečky, X_ {d}] \ hookrightarrow A.}

Konečné homomorfizmus znamená, že každý prvek z A je celé číslo v průběhu , to znamená, že splňuje vztah polynom typu ${\ displaystyle K [X_ {1}, \ tečky, X_ {d}] \ do A}$ ${\ displaystyle K [X_ {1}, \ tečky, X_ {d}]}$

{\ displaystyle a ^ {n} + P_ {n-1} a ^ {n-1} + \ tečky + P_ {0} = 0}

s . ${\ displaystyle P_ {i} \ v K [X_ {1}, \ tečky, X_ {d}]}$

Náčrt důkazu

Představujeme A jako podíl kruhu polynomů ideálem I, který můžeme předpokládat nenulový. Jsme libovolně volit nenulový prvek v I. . Hledáme změnu proměnných tak, aby v proměnných byla P jednotná . Tato substituce je možná s vhodným když K je nekonečná. Toto byl původní důkaz Noether . Pokud je K konečný (nebo libovolný), Nagatovou myšlenkou je uvažovat o změnách proměnných typu se sekvencí přirozených celých čísel, která roste velmi rychle. Jakmile byla tato změna proměnných nalezena, máme ${\ displaystyle K [T_ {1}, \ tečky, T_ {n}]}$ ${\ displaystyle P (T_ {1}, \ tečky, T_ {n})}$ ${\ displaystyle T_ {1} \ mapsto X_ {1}, \ tečky, T_ {n-1} \ mapsto X_ {n-1}}$ ${\ displaystyle X_ {1}, \ tečky, X_ {n-1}, T_ {n}}$ $T_ {n}$ ${\ displaystyle T_ {i} \ mapsto T_ {i} - \ lambda T_ {n}}$ ${\ displaystyle \ lambda \ v K}$ ${\ displaystyle T_ {i} \ mapsto T_ {i} + T_ {n} ^ {m_ {i}}}$ $střední}$

{\ displaystyle K [X_ {1}, \ dots, X_ {n-1}] / (I \ cap K [X_ {1}, \ dots, X_ {n-1}]) \ to A}

což je injektivní a konečné. Potom skončíme opakováním na n .

Příklady

Algebra je dokončena na sub-polynomiální algebře , generované jako modul 1 a Y . ${\ displaystyle K [X, Y] / (Y ^ {2} -X ^ {3} -1)}$ $K [X]$
Algebra je konečná nad subalgebrou polynomů (generuje se jako modul 1 a X ). ${\ displaystyle K [X, 1 / X] = K [X, Y] / (XY-1)}$ ${\ displaystyle K [X + 1 / X]}$
Buď . Pak je homomorfismus , který posílá T přes x + y (obraz X + Y v kvocientu A ), injektivní a konečný. ${\ displaystyle A = K [X, Y] / (XY)}$ ${\ displaystyle K [T] \ do A}$

Geometrický význam

Jakékoli afinní algebraické potrubí nad K je konečným (rozvětveným) pokrytím afinního prostoru (tj. Existuje afinní prostor surjektivního konečného morfismu ). ${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {K} ^ {d}}$
Výše uvedené tvrzení připouští projektivní analogii: jakékoli projektivní potrubí dimenze d nad K je konečné (rozvětvené) pokrytí projektivního prostoru . ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {K} ^ {d}}$

Oddělitelný nástavec

Předpokládáme, že A je integrální. Injekce daná normalizačním lemmatem indukuje konečné rozšíření polí zlomků . Když K má nulovou charakteristiku, rozšíření je automaticky oddělitelné . V obecném případě máme: ${\ displaystyle K [X_ {1}, \ tečky, X_ {d}] \ hookrightarrow A}$ ${\ displaystyle K (X_ {1}, \ tečky, X_ {d}) \ to \ mathrm {Frac} (A)}$

Vždy existuje injektivní konečný homomorfismus, který indukuje oddělitelné konečné rozšíření (za nezbytné podmínky, kterou je oddělitelné (transcendentní) rozšíření K ). ${\ displaystyle K [X_ {1}, \ tečky, X_ {d}] \ hookrightarrow A}$ ${\ displaystyle K (X_ {1}, \ tečky, X_ {d}) \ to \ mathrm {Frac} (A)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Frac} (A)}$

V geometrických podmínkách, jakýkoliv afinní algebraické odrůda V včlení geometricky sníží rozměr d připouští morfizmus finální surjektivní , že je obecně oddělitelná (to znamená, že existuje otevřený hustotu tkaní U a tak, že omezení je povlak pomazánky (v) ). ${\ displaystyle f: V \ to \ mathbb {A} _ {K} ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {K} ^ {d}}$ ${\ displaystyle f: f ^ {- 1} (U) \ do U}$

Stejné tvrzení zůstává v platnosti nahrazením V projektivní odrůdou (integruje a geometricky redukuje) a afinní prostor projektivním prostorem.

Zobecnění

Pokud je A konečného typu na komutativním kruhu integruje R a obsahuje R , pak existuje f v R , nenulové a konečný injektivní homomorfismus R- algeber po lokalizacích

{\ displaystyle R_ {f} [X_ {1}, \ tečky, X_ {d}] \ hookrightarrow A_ {f}}

Takový homomorfismus obecně na R neexistuje (uvažujme například a ). ${\ displaystyle R = K [X]}$ ${\ displaystyle A = R_ {X} = R [1 / X]}$

Příklady aplikací

Předpokládejme, že být i tělo, pak je konečný rozšíření z K . Je to forma Hilbertovy nulové věty . Podle výše uvedené prezentace skutečně snadno vidíme, že K [ X 1 ,…, X d ] je také pole. To znamená, že d = 0, a proto je A na K dokončeno .
Předpokládejme, že A bude integrováno. Potom pro libovolné primárního ideálu z A , my máme: ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle \ dim (A / {\ mathfrak {p}}) + \ dim A _ {\ mathfrak {p}} = \ dim A.}$ Zejména pro každou maximální ideál z A je místní kruh je dimenze . ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ displaystyle A _ {\ mathfrak {m}}}$ ${\ displaystyle \ dim A}$
Předpokládejme, že je Cohen-Macaulay , pak je bez konečného postavení na prstenec z polynomů K [ X 1 , ..., X d ]. To vyplývá ze skutečnosti, že A je pak lokálně prosté konečné pozice na K [ X 1 ,…, X d ] a z Quillen-Suslinovy věty .
Pojďme být morfismem konečného typu mezi noetherskými schématy . Předpokládáme, že f dominantní ( tj. F ( X ) je v Y husté ). Pak se obraz f obsahuje otevřenou hustou část Y . $f: X \ až Y$

Ve skutečnosti, se snadno redukuje na případ, kdy X, Y odpovídají integrální domény A, R s R subring A . Podle zobecněné formy normalizačního lematu existuje h v R nenulové a konečný injektivní homomorfismus . Odvozujeme pak snadněji než obraz f obsahuje hlavní otevřené (neprázdná) D ( h ) z Y . Tento výsledek vede k důkazu Chevalleyho věty o obrazu konstruovatelných částí .

{\ displaystyle R_ {h} [X_ {1}, \ tečky, X_ {d}] \ do A_ {h}}

Nechť A je Jacobsonův prsten . Nechť B je A- algebra konečného typu. Pak pro každou maximální ideál z B , inverzní obraz je maximální ideál A . Je snadno redukuje na případ, kdy B je konečná typu o (a obsahuje) . Z toho se odvodí hotová injekce . Takže $A$ $f$ $[$ $X$ $1$ $,\dots,$ $X$ $d$ $]$ je pole ad = 0. Z toho vyplývá, že $A$ $f$ je pole. Protože $A$ je Jacobsonovo, zjišťujeme, že $f$ je invertibilní, a proto $A$ je pole. ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ displaystyle A \ cap {\ mathfrak {m}}}$
${\ displaystyle A_ {f} [X_ {1}, \ tečky, X_ {d}] \ až B_ {f} = B}$
Z výše uvedené vlastnosti můžeme snadno odvodit, že jakákoli algebra konečného typu nad Jacobsonovým prstenem je Jacobsonova.
Jakékoli geometricky integrální algebraické potrubí X je birational k hyperplochy afinního prostoru. To znamená, že X obsahuje neprázdný otvor, který je izomorfní s otvorem hyperplochy afinního prostoru.

Dějiny

Někteří autoři toto lemma připisují Hilbertovi . Podle Judith D. Sally , ten dal pouze odstupňovanou verzi, která pochází z algebraické geometrie, a případ jakýchkoli algeber konečného typu nad nekonečným polem se poprvé objevuje v důkazu v článku z roku 1926. Noether .

Poznámky a odkazy

(De) E. Noether , „ Der Endlichkeitsatz der Invarianten endlicher linearer Gruppen der Charakteristik p “ , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen , sv. 1926,1926, str. 28–35 ( číst online ).
(en) Serge Lang , Algebra , Addison-Wesley ,1984, 2 nd ed. „„ X, §4 “ [ detail vydání ] .
(in) David J. Benson , Polynomiální invarianty konečných skupin , al. "Londýn matematická společnost Pozn Play Series" ( n o 190)1993, Věta 2.2.7.
(in) Masayoshi Nagata , Místní prsteny , New York, Interscience Publ.,1962, I, § 14.
(in) Irena Swanson a Craig Huneke (de) , Integrální uzavření ideálů, prstenů a modulů , al. "Londýn matematická společnost Pozn Play Series" ( n o 336)2006, Věta 4.2.2.
(in) Kiran Kedlaya (de) , „Více uvolněných obalů afinních prostorů s pozitivní charakteristikou“, J. Algebraic Geom. , let. 14, 2005, s.. 187-192.
Nagata 1962 , I.14.4.
(in) David Eisenbud , komutativní algebra s pohledem na algebraickou geometrii , Springer , al. " GTM " ( n o 150)1995, 785 s. ( ISBN 978-0-387-94269-8 , číst online ), Dodatek 13.4.
(en) Winfried Bruns et Jürgen Herzog, Cohen-Macaulay Rings , al. "Cambridge Studium v pokročilé matematiky" ( n ° 39),1993( číst online ), Návrh 2.2.11.
(in) Judith D. Sally , „Noether Normisation “ v Bhama Srinivasan a Judith D. Sally, ed., Emmy Noether v Bryn Mawr: Sborník sympozia sponzorovaného Asociací pro matematiku žen na počest stého výročí Emmy Noetherové Narozeniny DOI : 10.1007 / 978-1-4612-5547-5_3 .