Sestavitelná část

V algebraické geometrii pojem konstruovatelné součásti zobecňuje otevřené , uzavřené a dokonce lokálně uzavřené části . Konstruktivní sady představil Claude Chevalley a jejich výhodou je flexibilnější manipulace. Například obraz konstruktivu morfismem konečné prezentace je konstruovatelný, takže to neplatí pro otevřené nebo uzavřené části. Ale především v poměrně obecných předpokladů, pokud je morfismus z diagramů , množina bodů X nebo Y , který by splňoval určité typy vlastností je constructible sada (aniž by ani otevřené ani uzavřené obecně). $\ scriptstyle f: X \ až Y$

Definice

Nechť X je topologický prostor. Množina constructible částí X je nejmenší sada dílů X , které obsahují otevřené retrocompacts (tj. Jejichž průsečík některého kvazi-kompaktní otevřený z X je kvazi-kompaktní), stabilní průnikem konečných a přechodem na komplementární.

Charakterizace

O topologickém prostoru X se říká, že je noetheriánský, pokud jakákoli klesající posloupnost uzavřených částí X je stacionární. Topologický prostor, který tvoří základ noetherovského schématu, je noetherian. V noetherianském prostoru je jakákoli část X retrokompaktní. Tedy každá místně uzavřená část je konstruovatelná.

V následujícím se omezujeme na noetherianské prostory.

Tvrzení - V noetherianském prostoru je část konstruovatelná právě tehdy, pokud se jedná o konečné spojení místně uzavřených částí .

Ve skutečnosti je množina místně uzavřených částí stabilní konečným průnikem a doplněk místně uzavřené části je zapsán jako spojení (disjunktní) otevřené a uzavřené. Takže jejich konečná shledání tvoří stabilní množinu konečným průnikem a přechodem k doplňkovému. A je zjevně nejmenší možný.

Vlastnosti

Je snadné si všimnout, že jakákoli konstruovatelná množina je konečným disjunktním shledáním místně uzavřených částí (opětovné spojení dvou lokálně uzavřených je také disjunktním shledáním místně uzavřeného a křižovatky místně uzavřeného s doplňkem a místně uzavřený nebo doplněk místně uzavřeného je disjunktní spojení otevřeného a uzavřeného).
Pokud E je budova, pak obsahuje otevřenou hustotu tkaní U jeho lepidlo E . Pak E je disjunktní sjednocení U (který je lokálně uzavřený v X ), a která je místně uzavřen prázdné interiér v E . Můžeme začít znovu s E ' . Podle noetherianity se proces zastaví po konečném počtu kroků, takže E je konečné disjunktivní shledání menších a menších lokálně uzavřených částí . ${\ displaystyle E ': = E \ cap ({\ overline {E}} \ setminus U)}$
Budova-set pod uzavřené nebo otevřené části X je constructible v X .
Být konstruovatelný je místní vlastnost : v noetherském topologickém prostoru je část E konstruovatelná právě tehdy, když každý bod E má otevřené sousedství v X, ve kterém je E konstruovatelný.
Konstruktivní množiny jsou stabilní na základě vzájemného obrazu spojité mapy (mezi noetherskými topologickými prostory).
V případě, že adheze singleton { x } setkání stavební strany E , pak x patří E .

Příklad

V afinní rovině na těle je spojení počátku (0, 0) s doplňkem přímky y = 0 konstruovatelnou součástí. Není to místně uzavřeno, ale jedná se o spojení uzavřeného (počátek) s otevřeným (rovina minus přímka). Je to obraz morfismu diagramů, který je v bodech definován . Tento příklad ukazuje, že obraz algebraického potrubí morfismem není obecně ani uzavřený, ani otevřený. ${\ displaystyle {\ mathbb {A}} _ {k} ^ {2}}$ $k$ ${\ displaystyle {\ mathbb {A}} _ {k} ^ {2} \ až {\ mathbb {A}} _ {k} ^ {2}}$ ${\ displaystyle (x, y) \ mapsto (xy, y)}$

Reference

Ve druhém vydání EGA I se o takové sadě říká, že je globálně konstruovatelná .

A. Grothendieck a J. Dieudonné , Elements of algebraic geometry , kap. 0, §9 a kap. IV, § 1.8.