Lokalizace (matematika)

V algebře je lokalizace jednou ze základních operací komutativní algebry . Jedná se o metodu, která vytváří nový kruh z komutativního kruhu. Konstrukce pole frakcí je zvláštním případem lokalizace.

Intuitivní koncept

Lokalizace spočívá v invertovatelnosti prvků části („multiplikativní části“) prstenu. Nejznámějším příkladem je pole zlomků integrálního kruhu, které je konstruováno tak, že jsou všechny nenulové prvky kruhu invertovatelné. Lokalizaci můžeme také vidět jako způsob odeslání prstenu do „většího“ prstence, ve kterém jsme povolili dělení prvky, které dříve nebyly invertovatelné. Například lokalizovaný en je prsten , ve kterém každé celé číslo, které není násobkem, má inverzní. Tento kruh odpovídá diskrétní oceňovací struktuře kruhu, protože je navíc hlavní . $\ mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ setminus 7 \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ left [{\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} {5}}, {\ frac {1} {11}}, {\ frac {1} {13}} ... \ vpravo]}$ $7$

Definice

Nechť A je komutativní (jednotný) kruh. Snažíme se, aby prvky části S z A byly invertovatelné . Pokud se a a b v S stanou invertovatelnými, bude to stejné pro jejich součin, jehož inverzní pak je -1 b -1 . Pracujeme tedy s multiplikativní částí , to znamená množinou stabilní násobením, neobsahující nulu a obsahující 1. $S \ podmnožina A$

Umístění na kruhu A, v části S je pak údaje z kroužku, označený S -1 A a morfismus , jako jsou: ${\ displaystyle l_ {S} \ ,: \, A \ pravá šipka S ^ {- 1} A}$

{\ displaystyle l_ {S} (S) \ podmnožina (S ^ {- 1} A) ^ {*} \ quad \ quad (l_ {S} (s) {\ text {je pro všechno invertibilní}} s \ in S),}

a které uspokojují následující univerzální vlastnost : pro jakýkoli prstencový morfismus , pokud $f: A \ pravá šipka B$

{\ displaystyle f (S) \ podmnožina B ^ {*} \ quad \ quad (f (s) {\ text {je invertibilní pro všechny}} s \ v S),}

pak existuje jedinečný morfismus takový . ${\ displaystyle g \ ,: \, S ^ {- 1} A \ pravá šipka B}$ ${\ displaystyle f = g \ circ l_ {S}}$

Prstenec S -1 je také označován S nebo A [ S -1 ] a je nazýván kruh frakcí z A, spojených s S , nebo jmenovatele S , nebo prstence z frakcí A, s ohledem na S .

Konstrukce

Při konstrukci lokalizovaného prstence postupujeme stejně jako při konstrukci těla zlomků, ale s dalším opatrením, které zohlední skutečnost, že prsten není vždy integrální. Na karteziánském součinu je vztah ekvivalence následující: tehdy a jen tehdy, existuje-li takový prvek . Zbytek konstrukce je stejný jako u zlomkového těla . Použití prvku je zásadní pro tranzitivitu. ${\ displaystyle A \ krát S}$ ${\ displaystyle (a, s) \ sim (a ', s')}$ ${\ displaystyle t \ v S}$ ${\ displaystyle t (s'-sa ') = 0}$ $t$

Důležité příklady

Pravidelné prvky (tj. Neděliče nuly ) tvoří označenou multiplikativní část ; kruh je celková kruh frakcí z ; lokalizační homomorfismus je v tomto případě injektivní. ${\ displaystyle A ^ {\ times}}$ ${\ displaystyle (A ^ {\ times}) ^ {- 1} A}$ $NA$
Doplňkem z primárního ideálu je multiplikativní část, a proto může být použit k nalezení prsten. V tomto případě si povšimneme . Jedná se o místní kruh zvaný lokalizovaný z en . Obecněji řečeno, jeden může trvat násobné části komplement spojením jakékoliv rodiny primárních ideálů A . Pro konečnou rodinu pak získáme pololokální prsten . ${\ displaystyle A \ setminus p}$ $p$ ${\ displaystyle A_ {p} = (A \ setminus p) ^ {- 1} A}$ $NA$ $p$
Když je integrální kruh, první příklad je speciální případ druhého. Nulový ideál je skutečně prvočíslo a jeho doplněk je . V tomto případě je pole nazývá pole frakcí z . $NA$ ${\ displaystyle A ^ {\ times}}$ ${\ displaystyle (A ^ {\ times}) ^ {- 1} A}$ $NA$
Když je integrita, rovná se průsečíku v jeho těle zlomků, jeho lokalizaci v jeho maximálních ideálech. $NA$
Pokud není integrálním prstencem, může doplněk prvočísla obsahovat dělitele nuly. Lokalizační homomorfismus pak není injektivní. Zvažte například prsten vytvořený, když je pole. Má dva maximální ideály a . Dvě místa jsou potom izomorfní a dvě kanonické mapy jsou ve skutečnosti dva projekce. V tomto případě vidíme, že invertující prvky jejich počet nezvyšují, ale naopak snižují. $NA$ $p$ ${\ displaystyle A \ až A_ {p}}$ ${\ displaystyle A = K ^ {2}}$ $K.$ ${\ displaystyle M_ {1} = K \ krát 0}$ ${\ displaystyle M_ {2} = 0 \ krát K}$ ${\ displaystyle A_ {M_ {i}}}$ $K.$
Nechť je prvkem . Spojovací sada {1} a kladných sil ( n > 0) je multiplikativní součástí . Je zaznamenáno umístění s ohledem na tuto multiplikativní část . Všimněte si, že to je nulový prsten, pokud a pouze pokud je nilpotentní. Když je integrální, je množina zlomků, které lze vyjádřit jako kvocient prvku pomocí kladné síly . $F$ $NA$ $S$ $f ^ {n}$ $NA$ $NA$ $A_ {f}$ $A_ {f}$ $F$ $NA$ $A_ {f}$ $NA$ $F$

Vysvětlení pojmu lokalizace

Vezměme si kruh polynomů ℂ [X]. Protože ℂ je algebraicky uzavřeno , hlavní spektrum ℂ [X] se identifikuje s ℂ samotným (s dalším bodem odpovídajícím nulovému ideálu). Lokalizovaný v maximálním ideálu generovaném X, (X) = Xℂ [X], se nazývá lokalizovaný v a je to přesně ten kruh polynomů, ve kterém jsme autorizovali všechny divize kromě těch, které jsou podle mizejících polynomů v 0. Tento nový ring je množina racionálních zlomků bez pólu na 0 (tedy holomorfní v sousedství 0). Umožňuje nám to zajímat se o vlastnosti polynomů v sousedství , proto termín lokalizovaný kruh . ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$

Nejlepší spektrum lokalizace

Dovolme být multiplikativní součástí . Pak lze sadu prvotřídních ideálů identifikovat s částí prvotřídních ideálů nesouvislosti . Přesněji řečeno, ať je kanonický morfismus. Za každou primárního ideálu všech , je ukázkovým ideál , který je disjunktní od , a tato korespondence je one-to-one, vzájemné korespondence sdružující nejlepší ideál o ideálu části . Kromě toho kanonický morfismus mezi integrálními kruhy vyvolává izomorfismus mezi jejich poli zlomků. $S$ $NA$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $NA$ $S$ ${\ displaystyle l_ {S}: A \ až S ^ {- 1} A}$ $Q$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ ${\ displaystyle l_ {S} ^ {- 1} (Q)}$ $NA$ $S$ $P$ $NA$ ${\ displaystyle l_ {S} (P) S ^ {- 1} A}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ ${\ displaystyle A / l_ {S} ^ {- 1} (Q) \ až S ^ {- 1} A / Q}$

Všimněte si, že tato korespondence obecně neexistuje pro maximální ideály (zvažte příklad, který se rovná kruhu celých čísel a jeho poli zlomků). $NA$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$

Umístění modulů

Nechť a jak je uvedeno výše . Nechť je -modul. Pak je lokalizovaný je -module obdařena -Lineární morfismu tak, že jakýkoli -lineární morfismus v -module je jedinečně zohledněn ve složení s -Lineární morfismu . Konkrétně, sada modulo je vztah rovnocennosti: tehdy a jen tehdy, pokud existuje v takové, že . Kanonická aplikace spočívá v odeslání třídy . Jeho jádro je podmodulem zrušeného prvkem . Tato lokalizace je izomorfní s tenzorovým součinem a dále . $NA$ $S$ $M$ $NA$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} M}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $NA$ ${\ displaystyle f: M \ až S ^ {- 1} M}$ $NA$ ${\ displaystyle M \ až N}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $NE$ $F$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} M \ to N}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} M}$ ${\ displaystyle M \ krát S}$ ${\ displaystyle (x, s) \ sim (x ', s')}$ $t$ $S$ ${\ displaystyle t (s'x-sx ') = 0}$ ${\ displaystyle M \ až S ^ {- 1} M}$ $X$ $(x, 1)$ $X$ $S$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} M}$ $M$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $NA$

V teorii kategorie , operace označil , že objekt ze třídy -mod (kategorie -modules ) sdružuje předmětové kategorie -mod, je functor přesný . $S ^ {{- 1}}$ $M$ $NA$ $NA$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} M}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$

Poznámky a odkazy

N. Bourbaki , Elementy matematiky , komutativní algebra , kapitola II.
N. Bourbaki, Algebra , kapitola I, str. 107.
N. Bourbaki, Algebra , kapitola I, str. 108.
M.-P. Malliavin , komutativní algebra, aplikace v geometrii a teorii čísel , str. 27-28.
N. Bourbaki, Prvky matematiky , AC II.3.3.
(in) Balwant Singh Basic Commutative Algebra , str. 32, náhled v Knihách Google .