Modální logika

V matematické logice je logika Modal typem formální logiky, která rozšiřuje výrokovou logiku , logiku prvního řádu nebo logiku vyššího řádu o modality . Modalita určuje vlastnosti pravdy . Například před návrhem jako „prší“ může předcházet modalita:

• Je nutné, aby pršelo;
• Zítra prší;
• Christopher Columbus si myslí, že prší;
• Ukazuje se, že prší;
• Je povinné, aby pršelo.

Existuje celá řada modálních logik, jako jsou časové logiky , epistemická logika (logika znalostí). V informatice se modální logika používá pro svou expresivitu a algoritmické aspekty. Například logika časování se používá k určení programů a jejich následnému ověření .

Aletická modální logika

V aletické modální logice (nebo aristotelské nebo klasické) identifikujeme čtyři modality:

• nezbytné (což nemůže být pravda), uvedeno ;◻{\ displaystyle \ Box}
• kontingent (což může být špatně), uvedeno ;¬◻{\ displaystyle \ neg \ Box}
• možné (což může být pravda), uvedeno ;◊{\ displaystyle \ Diamond}
• nemožné (což se nemůže mýlit), poznamenal.¬◊{\ displaystyle \ neg \ Diamond}

Tyto 4 způsoby jsou propojeny, stačí jen jedna k definování dalších tří.

Intuitivní interpretace (nesdílí ji celá filozoficko-logická komunita) je následující:

• Nutné ≡ nemožné ne;
• Kvóta ≡ není nutná ≡ není možná;
• Možné - ne nemožné.
• Nemožné = nemožné.

Proto rozlišujeme dva unární duální konektory od sebe navzájem:

• Nezbytné  ;◻{\ displaystyle \ Box}
• Možné .◊{\ displaystyle \ Diamond}

◻{\ displaystyle \ Box}p znamená, že p je nutně pravda, zatímco p znamená, že p je možná pravda, to znamená kompatibilní se současnými znalostmi. ◊{\ displaystyle \ Diamond}

Příklady:

• ¬◻{\ displaystyle \ neg \ Box} práce: není nutné, aby žáci pracovali;
• ¬◊{\ displaystyle \ neg \ Diamond} práce: žáci nemohou pracovat;
• ◻¬{\ displaystyle \ Box \ neg} trav: je nutné, aby žáci nepracovali;
• ◊¬{\ displaystyle \ Diamond \ neg} trav: je možné, že studenti nepracují.

V aletické modální logice (nebo aristotelské nebo klasické) můžeme vyjádřit čtyři operátory pomocí pouze jednoho (zde nutnost) a negace. Tak :

• Nemožné je  ;◻¬{\ displaystyle \ square \ neg}
• Možné je .¬◻¬{\ displaystyle \ neg \ čtverec \ neg}

Nutný návrh nemůže být falešný, aniž by naznačoval rozpor , a contrario kontingentního výroku, který může být falešný, aniž by naznačoval rozpor.

Různé modální logiky

Používají se také další typy modální logiky, jejichž režimy jsou:

• epistemická (vztahující se ke znalostem):
  • známý agentovi , poznamenali{\ displaystyle i}VSi{\ displaystyle C_ {i}}
  • sporný
  • vyloučeno
  • přijatelný
  • je známa obecná znalost skupiny agentůG{\ displaystyle G}VSK.G{\ displaystyle CK_ {G}}
  • sdílené znalosti skupiny agentů, uvedeno (každý ví)G{\ displaystyle G}EK.G{\ displaystyle EK_ {G}}
• deontics (morální):
  • povinné , uvedeno O
  • zakázáno , poznamenal jsem
  • povolení , poznamenal P
  • volitelně , označeno F
• časové  :
  • vždy , poznamenal nebo G◻{\ displaystyle \ Box}
  • jednoho dne , poznamenal , nebo někdy F◊{\ displaystyle \ Diamond}
  • nikdy si nevšiml¬◊{\ displaystyle \ neg \ Diamond}
  • zítra , poznamenal X
  • do , binární operátor označený U
  • vždy v minulosti , poznamenal H
  • uplynul jeden den , poznamenal P
• doxastic (na víře):
  • syrové , poznamenal B
  • společné přesvědčení skupiny agentů, uvedenoG{\ displaystyle G}VSBG{\ displaystyle CB_ {G}}
• srovnávací údaje  :
  • Pokud by A byla pravda , kde víme, že A není pravda.
• dynamika (účinek akcí, zaznamenaný a , na propozice):
  • Existuje provedení tak, že poté, co , p je pravdivý , poznamenali ⟨na⟩p{\ displaystyle \ langle a \ rangle p}
  • p je pravdivé po každém provedení a , uvedeno .[na]p{\ displaystyle [a] p}

Axiomy modální logiky

Každá modální logika je opatřena řadou axiomů, které definují fungování modalit.

Můžeme tedy konstruovat různé systémy podle přijatých axiomů.

• Systém K navržený společností Kripke a nazývaný normální nebo systém Kripke. Připouští následující dva axiomy:
  • (K) (Kripkeho distribuční axiom);◻(NA→B)→(◻NA→◻B){\ displaystyle \ Box (A \ rightarrow B) \ rightarrow (\ Box A \ rightarrow \ Box B)}
  • (RN) (nebo (N) nebo (NEC) ) Pokud je věta, pak také (pravidlo odvození nezbytnosti).NA{\ displaystyle A}◻NA{\ displaystyle \ Box A}

• Systém D navržený přidáním axiomu (D) do systému K:
  • (D ) (v aristotelské logice to vyjadřuje, že nutnost znamená možnost ).◻P→◊P{\ displaystyle \ Box P \ rightarrow \ Diamond P}

• Systém T navržený Robertem Feysem v roce 1937 přidáním axiomu (T) do systému K:
  • (T) (nebo (M) ): (v aristotelské logice to vyjadřuje, že ze skutečnosti vyplývá možnost ).P→◊P{\ displaystyle P \ rightarrow \ Diamond P}

• Systémy S4 a S5 definované Clarence Irvingem Lewisem .
  • Pro konstrukci S4 přidáme do systému T axiom (4)  :
    • (4) .◻p→◻◻p{\ displaystyle \ Box p \ rightarrow \ Box \ Box p}
  • Pro konstrukci S5 přidáme do systému T axiom (5)  :
    • (5) (nebo (E) ) .◊p→◻◊p{\ displaystyle \ Diamond p \ rightarrow \ Box \ Diamond p}

• Systém B (nebo Brouwérien), navržený Oskarem Beckerem v roce 1930, přidáním axiomu (B) do systému T.
  • (B)  : .p→◻◊p{\ displaystyle p \ rightarrow \ Box \ Diamond p}

Říkáme, že jeden systém je slabší než druhý, když je vše, co je předvedeno v prvním systému, předvedeno ve druhém, ale ne naopak.

To upřednostňuje, od nejslabších po nejsilnější, systémy K, T, S4 a S5. Podobně je K slabší než D a T slabší než B.

Řada systémů K až S5 tvoří vnořenou hierarchii, která tvoří jádro normální modální logiky. Axiom (D) se naproti tomu používá hlavně v deontických, doxastických a epistemických logikách.

Modální logické modely

Kripkeho modely nebo modely možných světů dávají modální logice sémantiku. Kripkeho model jsou data:

• neprázdného souboru možných světů  ;Ž{\ displaystyle W}
• binární vztah mezi možnými světy, který se nazývá vztah přístupnosti;R{\ displaystyle R}
• ocenění, které dává pravdivostní hodnotu každé výrokové proměnné v každém možném světě.PROTI{\ displaystyle V}

Sémantika modálního operátoru je definována z relace přístupnosti následovně: vzorec platí ve světě w if, a to pouze v případě, že vzorec platí ve všech světech přístupných z w relací . ◻NA{\ displaystyle \ čtverec A}NA{\ displaystyle A}R{\ displaystyle R}

Klasifikace modálních logických systémů

Modální logické systémy jsou organizovány podle pravidel odvození a podle axiomů, které je charakterizují.

Klasická modální logika

Klasické modální logické systémy jsou ty, které přijímají následující pravidlo odvození:

(RE)NA↔B◻NA↔◻B{\ displaystyle (RE) {\ frac {A \ leftrightarrow B} {\ Box A \ leftrightarrow \ Box B}}}

Je obvyklé, že takový systém dostane kanonický název typu , kde jsou názvy axiomů systému. Eξ1ξ2⋯ξne{\ displaystyle E \ xi _ {1} \ xi _ {2} \ cdots \ xi _ {n}}ξi{\ displaystyle \ xi _ {i}}

Monotónní modální logika

Monotónní modální logické systémy jsou ty, které přijímají pravidlo odvození RM:

(RM)NA→B◻NA→◻B{\ displaystyle (RM) {\ frac {A \ do B} {\ pole A \ do \ pole B}}}

Sada monotónních systémů je součástí sady konvenčních systémů.

Pravidelné modální logiky

Pravidelné modální logické systémy jsou ty, které přijímají pravidlo odvození RR:

(RR)(NA∧B)→VS(◻NA∧◻B)→◻VS{\ displaystyle (RR) {\ frac {(A \ klín B) \ do C} {(\ Box A \ klín \ Box B) \ do \ Box C}}}

Sada pravidelných systémů je součástí sady monotónních systémů.

Normální modální logika

Normální modální logické systémy jsou ty, které přijímají pravidlo odvození RK:

(RK.)(NA1∧⋯NAne)→B(◻NA1∧⋯◻NAne)→◻B{\ displaystyle (RK) {\ frac {(A_ {1} \ klín \ cdots A_ {n}) \ do B} {(\ Box A_ {1} \ klín \ cdots \ Box A_ {n}) \ do \ Rámeček B}}}

Sada normálních systémů je součástí sady pravidelných systémů.

Ekvivalentní a běžnější definice normálních systémů je následující: o modálním logickém systému se říká, že je normální, pokud má axiom (K) a přijímá pravidlo nezbytnosti (RN) jako pravidlo odvození:

(K.)◻(NA→B)→(◻NA→◻B){\ displaystyle (K) \ Box (A \ až B) \ do (\ Box A \ do \ Box B)}

(RNE)NA◻NA{\ displaystyle (RN) {\ frac {A} {\ Box A}}}

Normální systémy jsou nejpoužívanější, protože jsou to systémy, které odpovídají sémantice Kripkeho . Je však možné najít sémantiku pro neobvyklou klasickou logiku, ale obecně mají horší vlastnosti.

Propojte s dalšími logikami

Intuitionistic logika může být postavena na logickém alethic jako modální logiky. Modální logika je fragment logiky prvního řádu.

Poznámky a odkazy

1. Jacques Paul Dubucs „nekonvenční logika“, Encyclopaedia Universalis , svazek 13, Paříž, 1990, s. 977-992.

Podívejte se také

Související články

• Kvóta
• Dilema
• Modální fikcionismus
• Sahlqvistův vzorec
• Logika prokazatelnosti
• Deontická logika
• Logika s více hodnotami
• Ontologický důkaz Gödela
• Kripkeho sémantika
• Löbova věta
• Teorie Dezert-Smarandache

externí odkazy

• (en) James Garson, Modal Logic , The Stanford Encyclopedia of Philosophy , Edward N. Zalta (ed.), 2007.
• (en) S4 prover podle tableaux metody , S4 prover
• (en) Ross Kirsling, hřiště modální logiky

Bibliografie

• Patrick Blackburn, Maarten de Rijke a Yde Venema, Modal Logic , Cambridge University Press, 2001
• (en) Brian F. Chellas, úvod do modální logiky , Cambridge University Press,1980[ detail vydání ]
• L. Fontaine, Modální logika a antropologie. Od pravidel ke slovu mezi yucunskými indiány kolumbijské Amazonky . L'Homme , č. 184, 2007, 131-153.
• P. Gochet, P. Gribomont, A. Thayse, Logique, sv. 3: metody pro umělou inteligenci, Paříž, Hermès-Lavoisier, 2000, 394s. (Velmi úplné shrnutí hlavních modálních logik ve francouzštině).

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">