Erlangův zákon
Erlang
|
Grafy hustoty pravděpodobnosti Hustota pro rozdělení Erlang.
|
|
|
Distribuční funkce Grafy distribuční funkce pro distribuci Erlang.
|
|
Nastavení
|
k≥1{\ displaystyle k \ geq 1 \,} Intenzita parametru tvaru ( celé číslo ) ( reálná ) : parametr měřítka ( skutečná )
λ>0{\ displaystyle \ lambda> 0 \,} θ=1/λ>0{\ displaystyle \ theta = 1 / \ lambda> 0 \,} |
---|
Podpěra, podpora
|
X∈[0;∞){\ displaystyle x \ v [0; \ infty) \!}
|
---|
Hustota pravděpodobnosti
|
λkXk-1E-λX(k-1)!{\ displaystyle {\ frac {\ lambda ^ {k} x ^ {k-1} e ^ {- \ lambda x}} {(k-1)! \,}}}
|
---|
Distribuční funkce
|
y(k,λX)(k-1)!=1-∑ne=0k-1E-λX(λX)ne/ne!{\ displaystyle {\ frac {\ gamma (k, \ lambda x)} {(k-1)!}} = 1- \ součet _ {n = 0} ^ {k-1} e ^ {- \ lambda x } (\ lambda x) ^ {n} / n!}
|
---|
Naděje
|
k/λ{\ displaystyle k / \ lambda \,}
|
---|
Medián
|
žádný jednoduchý tvar
|
---|
Móda
|
(k-1)/λ{\ displaystyle (k-1) / \ lambda \,} pro k≥1{\ displaystyle k \ geq 1 \,}
|
---|
Rozptyl
|
k/λ2{\ displaystyle k / \ lambda ^ {2} \,}
|
---|
Asymetrie
|
2k{\ displaystyle {\ frac {2} {\ sqrt {k}}}}
|
---|
Normalizovaná špičatost
|
6k{\ displaystyle {\ frac {6} {k}}}
|
---|
Entropie
|
k/λ+(k-1)ln(λ)+ln((k-1)!){\ Displaystyle k / \ lambda + (k-1) \ ln (\ lambda) + \ ln ((k-1)!) \,} +(1-k)ψ(k){\ displaystyle + (1-k) \ psi (k) \,}
|
---|
Funkce generující momenty
|
(1-t/λ)-k{\ displaystyle (1-t / \ lambda) ^ {- k} \,} pro t<λ{\ displaystyle t <\ lambda \,}
|
---|
Charakteristická funkce
|
(1-it/λ)-k{\ displaystyle (1-it / \ lambda) ^ {- k} \,}
|
---|
Distribuce Erlang je kontinuální pravděpodobnost zákon je zájem, který je vzhledem k jeho vztahu k exponenciální a gama distribucí . Tuto distribuci vyvinul Agner Krarup Erlang za účelem modelování počtu současných telefonních hovorů.
Všeobecnost
Distribuce je spojitá a má dva parametry: parametr tvaru , celé číslo a parametr intenzity , skutečný. Někdy používáme alternativní parametrizaci, kde místo toho uvažujeme parametr scale .
k{\ displaystyle k}λ{\ displaystyle \ lambda}θ=1λ{\ displaystyle \ theta = {\ frac {1} {\ lambda}}}
Když je parametr tvaru roven 1, rozdělení se zjednoduší na exponenciální zákon .
k{\ displaystyle k}
Distribuce Erlang je zvláštním případem zákona gama , kde parametr tvaru je celé číslo. V zákoně o gama je tento parametr skutečný kladný větší nebo rovný 1.
k{\ displaystyle k}
Charakterizace
Hustota pravděpodobnosti
Hustoty pravděpodobnosti distribuce Erlang je
F(X;k,λ)=λkXk-1exp(-λX)(k-1)!pro X>0.{\ displaystyle f (x; k, \ lambda) = {\ lambda ^ {k} x ^ {k-1} \ exp (- \ lambda x) \ over (k-1)!} \ quad {\ mbox { pro}} x> 0.}Parametr je parametr tvaru a parametr intenzity. Ekvivalentní parametrizace zahrnuje parametr měřítka , definovaný jako inverzní k intenzitě (to znamená ):
k{\ displaystyle k}λ{\ displaystyle \ lambda}θ{\ displaystyle \ theta}θ=1/λ{\ displaystyle \ theta = 1 / \ lambda}
F(X;k,θ)=Xk-1exp(-Xθ)θk(k-1)!pro X>0.{\ displaystyle f (x; k, \ theta) = {\ frac {x ^ {k-1} \ exp (- {\ frac {x} {\ theta}})} {\ theta ^ {k} (k -1)!}} \ Quad {\ mbox {for}} x> 0,}Přítomnost faktoriálu znamená, že k musí být přirozené číslo větší nebo rovné 1.
Distribuční funkce
Distribuční funkce distribuce Erlang je
F(X;k,λ)=y(k,λX)(k-1)!{\ displaystyle F (x; k, \ lambda) = {\ frac {\ gamma (k, \ lambda x)} {(k-1)!}}}kde je neúplná funkce gama . Tuto funkci lze také zapsat:
y(){\ displaystyle \ gamma ()}
F(X;k,λ)=1-∑ne=0k-1E-λX(λX)nene!{\ displaystyle F (x; k, \ lambda) = 1- \ součet _ {n = 0} ^ {k-1} e ^ {- \ lambda x} {\ frac {(\ lambda x) ^ {n} }{ne!}}}Události
Proces obnovy
Erlangovo rozdělení je rozdělení součtu k nezávislých a identicky rozložených náhodných proměnných podle exponenciálního zákona parametru . Pokud každá z těchto náhodných proměnných představuje čas, po kterém nastane daná událost (například zásah po poruše zařízení bez opotřebení a bez paměti), pak náhodná proměnná, po které dojde k k - té události, následuje Erlang zákon tvaru k a parametru .
λ{\ displaystyle \ lambda}Xi{\ displaystyle X_ {i}}Tk=X1+⋯+Xk{\ displaystyle T_ {k} = X_ {1} + \ tečky + X_ {k}}λ{\ displaystyle \ lambda}
Pokud si dáme okamžité t , ukážeme, že náhodná proměnná se rovná počtu celých čísel k takovým, že následuje Poissonův zákon parametru . Ve výše uvedené interpretaci je počet operací provedených před časem t .
NEt{\ displaystyle N_ {t}}Tk≤t{\ displaystyle T_ {k} \ leq t}λt{\ displaystyle \ lambda t}NEt{\ displaystyle N_ {t}}
Podívejte se také
externí odkazy
Reference
-
Didier Dacunha-Castelle, Marie Duflo, Pravděpodobnost a statistika, T.1, pevné časové problémy , Masson (1982)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">