Negativní binomický zákon
Binomické záporné
|
|
Hmotnostní funkce pro několik hodnot n a pro zákon střední hodnoty 10.
|
|
Nastavení
|
ne∈NE∗{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} ^ {*}}![n \ in {\ mathbb {N}} ^ {*}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d3c5c71f1af21f3fd4f9d8e1b0c8691ba4258f4) p∈]0,1]{\ displaystyle p \ in \,] 0,1]} q=1-p{\ displaystyle q = 1-p}
|
---|
Podpěra, podpora
|
NE{\ displaystyle \ mathbb {N}}
|
---|
Hromadná funkce
|
(k+ne-1ne)pneqk{\ displaystyle {\ binom {k + n-1} {n}} p ^ {n} \, q ^ {k}}
|
---|
Distribuční funkce
|
Jáp(ne,k+1) nebo Jáp{\ displaystyle I_ {p} (n, k + 1) {\ text {kde}} I_ {p}} je legalizovaná neúplná beta funkce
|
---|
Naděje
|
neqp{\ displaystyle {\ frac {nq} {p}}}
|
---|
Móda
|
⌊(ne-1)qp⌋1ne≥1{\ displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {(n-1) \, q} {p}} \ right \ rfloor \ mathbf {1} _ {n \ geq 1}}
|
---|
Rozptyl
|
neqp2{\ displaystyle {\ frac {nq} {p ^ {2}}}}
|
---|
Asymetrie
|
q+1neq{\ displaystyle {\ frac {q + 1} {\ sqrt {nq}}}}
|
---|
Normalizovaná špičatost
|
6q+p2neq{\ displaystyle {\ frac {6q + p ^ {2}} {nq}}}
|
---|
Funkce generující momenty
|
(p1-qEt)ne{\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {1-q \ operatorname {e} ^ {t}}} \ right) ^ {n}}
|
---|
Charakteristická funkce
|
(p1-qEit)ne{\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {1-q \ operatorname {e} ^ {\ mathrm {i} t}}} \ right) ^ {n}}
|
---|
Funkce generující pravděpodobnost
|
(p1-qt)ne{\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {1-qt}} \ right) ^ {n}}
|
---|
V pravděpodobnosti a statistice je záporné binomické rozdělení diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Popisuje následující situaci: experiment se skládá ze série nezávislých tahů, které dávají „úspěch“ s pravděpodobností p (konstantní v celém experimentu) a „neúspěch“ s doplňkovou pravděpodobností. Tento experiment pokračuje, dokud se nezíská daný počet n úspěchů. Náhodná proměnná představující počet poruch (před získáním daného počtu n úspěchů) se poté řídí záporným binomickým zákonem. Jeho parametry jsou n , počet očekávaných úspěchů ap , pravděpodobnost úspěchu.
Zákon zobecňuje na dva parametry r a p , kde r může nabývat striktně kladných reálných hodnot. Toto zobecnění je také známé jako Pólyův zákon na počest matematika George Pólyi .
Definice
Definice prvního celočíselného parametru
Záporný binomický zákon závisí na dvou parametrech, ale je možné i několik dalších parametrizací. Velmi rozšířená parametrizace zavádí nenulové přirozené číslo n a nenulové reálné p mezi 0 a 1. Je běžné zavádět doplňkovou pravděpodobnost q = 1 - p . Hmotnost funkce a náhodné proměnné rozděleny podle negativní binomické rozdělení parametry n a p má následující podobu:
F(k;ne,p)=(k+ne-1k)pneqk ∀k=0,1,...{\ displaystyle f (k; n, p) = {k + n-1 \ zvolit k} p ^ {n} q ^ {k} ~~~ \ pro všechny k = 0,1, \ tečky}
kde je binomický koeficient .
(k+ne-1k){\ displaystyle {k + n-1 \ vyberte k}}![{\ displaystyle {k + n-1 \ vyberte k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca9e1cbfec399a58fb841884fcc1e9c920231ff0)
Negativní binomický zákon je interpretován jako zákon pravděpodobnosti náhodné proměnné X, který počítá počet poruch pozorovaných před získáním n úspěchů pro sérii nezávislých experimentů, s vědomím, že pravděpodobnost úspěchu je p . Tak
P(X=k)=F(k;ne,p)=(k+ne-1ne-1)pneqk ∀k=0,1,...{\ displaystyle \ mathbb {P} (X = k) = f (k; n, p) = {k + n-1 \ zvolit n-1} \, p ^ {n} \, q ^ {k} ~ ~~ \ forall k = 0,1, \ dots}
Hromadná funkce záporného dvojčlenu může být také zapsána ve formě
F(k;ne,p)=(-nek)pne(-q)k ∀k=0,1,...{\ displaystyle f (k; n, p) = {- n \ zvolit k} p ^ {n} (- q) ^ {k} ~~~ \ forall k = 0,1, \ dots}
kde je binomický koeficient zobecněný na záporné celé číslo a je definován(-nek){\ displaystyle {-n \ vyberte k}}
(-nek)=(-ne)(-ne-1)⋯(-ne-k+1)k!{\ displaystyle {-n \ zvolit k} = {\ frac {(-n) (- n-1) \ cdots (-n-k + 1)} {k!}}}
.Tento výraz ospravedlňuje název negativního binomického zákona daného tomuto zákonu pravděpodobnosti. Rovněž usnadňuje, díky použití záporného binomického vzorce , výpočet jeho očekávání a jeho rozptylu .
E[X]=neqp{\ displaystyle \ mathbb {E} [X] = {\ frac {nq} {p}}}
PROTInar(X)=neqp2{\ displaystyle Var (X) = {\ frac {nq} {p ^ {2}}}}![{\ displaystyle Var (X) = {\ frac {nq} {p ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab935c5c2a14eb0fe330c98f3a439ac58c2863c2)
Pokud náhodná proměnná X sleduje záporné binomické rozdělení parametrů n a p, můžeme psát .
X∼BNE(ne,p){\ displaystyle X \ sim {\ mathcal {BN}} (n, p)}![{\ displaystyle X \ sim {\ mathcal {BN}} (n, p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58f476335c430900ecd6d28a49a3963966c1e152)
Alternativní definice
- Někdy najdeme následující alternativní definici: negativní binomický zákon parametrů n a p , nazývaný také Pascalovým zákonem, který jej odlišuje od první definice, je zákonem náhodné proměnné Y počítající počet potřebných testů před dosažením n úspěchu. TakP(Y=m)=(m-1m-ne)pneqm-ne=(m-1ne-1)pneqm-ne ∀m=ne,ne+1,...{\ displaystyle \ mathbb {P} (Y = m) = {m-1 \ zvolit mn} p ^ {n} q ^ {mn} = {m-1 \ zvolit n-1} p ^ {n} q ^ {mn} ~~~ \ forall m = n, n + 1, \ dots}
Dvě hromadné funkce (pro X a pro Y ) jsou od sebe odvozeny substitucí Y = X + n a m = k + n , tedy
E[X]=E[Y]-ne=nep-ne=neqp a Var(X)=Var(Y)=neqp2{\ displaystyle \ mathbb {E} [X] = \ mathbb {E} [Y] -n = {\ frac {n} {p}} - n = {\ frac {nq} {p}} {\ text { and}} \ operatorname {Var} (X) = \ operatorname {Var} (Y) = {\ frac {nq} {p ^ {2}}}}
.
- Negativní binomický zákon je někdy definován jako počet úspěchů pozorovaných před dosažením daného počtu n poruch, což vede k obrácení role parametrů p a q, jakož i slov „úspěch“ a „selhání“.
V následujícím textu vezmeme první definici k definování záporného binomického zákona.
Zobecnění na první skutečný parametr
Je možné zobecnit definici záporného binomického zákona na přísně pozitivní reálný parametr r (který poté nahradí celočíselný parametr n ) pomocí zobecněných binomických koeficientů. Přesněji řečeno, pro přísně pozitivní reálné r a nenulové reálné p mezi 0 a 1 je záporný (zobecněný) binomický zákon parametrů r a p diskrétní zákon definovaný hromadnou funkcí
F(k;r,p)=(k+r-1k)prqk=(k+r-1)kk!prqk=Γ(k+r)k!Γ(r)prqk ∀k=0,1,...{\ displaystyle f (k; r, p) = {k + r-1 \ zvolit k} p ^ {r} q ^ {k} = {\ frac {(k + r-1) _ {k}} { k!}} p ^ {r} q ^ {k} = {\ frac {\ Gamma (k + r)} {k! \ Gamma (r)}} p ^ {r} q ^ {k} ~~~ \ forall k = 0,1, \ dots}
kde označuje klesající faktoriál a označuje gama funkci . Tato definice zůstává samozřejmě kompatibilní s definicí v případě celé parametrizace. Negativní binomický zákon zobecněný na skutečný parametr se někdy nazývá Pólyův zákon . V rámci tohoto zobecnění již není možné zákon vykládat z hlediska počtu úspěchů.
(X)k=X(X-1)...(X-k+1){\ displaystyle (x) _ {k} = x (x-1) \ tečky (x-k + 1)}
Γ{\ displaystyle \ Gamma}![\ Gama](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfde86a3f7ec967af9955d0988592f0693d2b19)
Vlastnosti
Distribuční funkce
Distribuční funkce může být vyjádřena pomocí regularizované neúplné funkce beta :
F(k)=Jáp(ne,k+1){\ displaystyle F (k) = I_ {p} (n, k + 1)}
.
Důkaz o indukci na k dokazuje, že
F(k)=1-qk+1∑i=0ne-1(k+ii)pi{\ displaystyle F (k) = 1-q ^ {k + 1} \, \ součet _ {i = 0} ^ {n-1} {k + i \ zvolit i} \, p ^ {i}}
.
Směs zákonů gama-Poissona
Záporný (zobecněný) binomický zákon s parametry r přísně pozitivní reálný a kde θ je přísně pozitivní reálný je roven směsi zákonů Gamma-Poisson, kde r a θ jsou parametry zákona gama .
p=(1+θ)-1{\ displaystyle p = (1+ \ theta) ^ {- 1}}![{\ displaystyle p = (1+ \ theta) ^ {- 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/400013d4742654f93d5bb942c74285bde6ea1591)
Demonstrace
Buď podle Poissonova zákona parametru λ a hustoty zákona gama parametrů r a θ (přísně pozitivní reálné hodnoty). Pokud X označuje náhodnou proměnnou vyplývající ze směsi, pak pro jakékoli celé číslo k máme
Xλ{\ displaystyle X _ {\ lambda}}
F(λ;r,θ){\ displaystyle f (\ lambda; r, \ theta)}![f (\ lambda; r, \ theta)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e100e8ab8b77fd000b09b5692325fa8f10e99b98)
P(X=k)=∫0+∞P(Xλ=k)F(λ;r,θ)dλ=∫0+∞λkE-λk!λr-1E-λ/θΓ(r)θrdλ=∫0+∞λk+r-1E-λθ+1θk!Γ(r)θrdλ{\ displaystyle {\ begin {seřazeno} \ mathbb {P} (X = k) & = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathbb {P} (X _ {\ lambda} = k) \, f (\ lambda; r, \ theta) \, \ mathrm {d} \ lambda \\ & = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ dfrac {\ lambda ^ {k} \ operatorname {e} ^ {- \ lambda}} {k!}} {\ dfrac {\ lambda ^ {r-1} \ operatorname {e} ^ {- \ lambda / \ theta}} {{Gamma (r) \ theta ^ {r }}} \, \ mathrm {d} \ lambda \\ & = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ dfrac {\ lambda ^ {k + r-1} \ operatorname {e} ^ {- \ lambda {\ frac {\ theta +1} {\ theta}}}} {k! \ Gamma (r) \ theta ^ {r}}} \, \ mathrm {d} \ lambda \ end {zarovnáno}}}
Změna proměnné vede k:
t=λ(1+θ)θ-1{\ displaystyle t = \ lambda \, (1+ \ theta) \ theta ^ {- 1}}![{\ displaystyle t = \ lambda \, (1+ \ theta) \ theta ^ {- 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aaaf4169f48df10fc4267a1a34ee1b7a9f0b387)
P(X=k)=(θθ+1)r+k1Γ(r)k!θr∫0+∞tk+r-1E-tdt=Γ(k+r)Γ(r)k!(1θ+1)r(θθ+1)k{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbb {P} (X = k) & = \ left ({\ dfrac {\ theta} {\ theta +1}} \ right) ^ {r + k} {\ dfrac {1} {\ Gamma (r) k! \ Theta ^ {r}}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} t ^ {k + r-1} \ operatorname {e} ^ {- t} \, \ mathrm {d} t \\ & = {\ dfrac {\ Gamma (k + r)} {\ Gamma (r) k!}} \ left ({\ dfrac {1} {\ theta +1}} \ right) ^ {r} \ left ({\ dfrac {\ theta} {\ theta +1}} \ right) ^ {k} \ end {zarovnáno}}}
Nastavením si všimneme, že p + q = 1 a
q=θ(1+θ)-1{\ displaystyle q = \ theta (1+ \ theta) ^ {- 1}}![{\ displaystyle q = \ theta (1+ \ theta) ^ {- 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2672b809aeee6ee55a7b660ce75c7164ad0933c3)
P(X=k)=Γ(k+r)Γ(r)k!prqk{\ displaystyle \ mathbb {P} (X = k) = {\ dfrac {\ gama (k + r)} {\ gama (r) k!}} p ^ {r} q ^ {k}}
Konvergence k Poissonovu zákonu
Negativní binomická zákon parametrů n a s pevnou skutečný lambda striktně pozitivním konverguje slabě směrem k zákonem Poisson parametru lambda Kdy n konverguje k nekonečnu. Jinými slovy, pokud a pak máme konvergenci v právu .
p=ne(ne+λ)-1{\ displaystyle p = n (n + \ lambda) ^ {- 1}}
Xne∼BNE(ne,ne/(ne+λ)){\ displaystyle X_ {n} \ sim {\ mathcal {BN (n, n / (n + \ lambda))}}}
X∼P(λ){\ displaystyle X \ sim {\ mathcal {P}} (\ lambda)}
Xne→X{\ displaystyle X_ {n} \ rightarrow X}![{\ displaystyle X_ {n} \ rightarrow X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b91db50b728872508092481fe6116e9696e6bb17)
Demonstrace
Všimli jsme si, že hromadnou funkci lze přepsat:
Xne{\ displaystyle X_ {n}}![X_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72a8564cedc659cf2f95ae68bc5de2f5207a3285)
P(Xne=k)=λkk!NAne+k-1k(ne+λ)k1(1+λne)ne{\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {n} = k) = {\ frac {\ lambda ^ {k}} {k!}} \, {\ frac {A_ {n + k-1} ^ {k }} {(n + \ lambda) ^ {k}}} \, {\ frac {1} {\ vlevo (1 + {\ frac {\ lambda} {n}} \ vpravo) ^ {n}}}}
kde je počet permutací nebo ujednání o k- prvky mezi n + K - 1 .
NAne+k-1k{\ displaystyle A_ {n + k-1} ^ {k}}![{\ displaystyle A_ {n + k-1} ^ {k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7687f7ee78c9ccdfe7301e64a56402326374cb8)
Pak máme konvergenci
limne→∞P(Xne=k)=λkk!11exp(λ)=P(X=k){\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ mathbb {P} (X_ {n} = k) = {\ frac {\ lambda ^ {k}} {k!}} \, 1 \, {\ frac {1} {\ exp (\ lambda)}} = \ mathbb {P} (X = k)}
Souvislost s geometrickým zákonem
Protože existují dvě definice negativního binomického zákona, existují dvě definice geometrického zákona . Pokud toto modeluje počet poruch před prvním úspěchem, odpovídá to zápornému binomickému zákonu parametrů 1 a p .
G(p)=BNE(1,p){\ displaystyle {\ mathcal {G}} (p) = {\ mathcal {BN}} (1, p)}
.
Pokud X n je náhodně distribuované podle záporných parametrů binomické proměnné n a p , pak X n je součet n náhodných proměnných nezávisle distribuovaných v parametru geometrického rozdělení p . Centrální limitní věta dále ukazuje, že X n je přibližně normální , pro n dostatečně velký.
Souvislost s binomickým zákonem
Navíc, pokud Y k + n je náhodná proměnná distribuovaná podle binomického rozdělení s parametrem k + n a p , pak
P(Xne≤k)=Jáp(ne,k+1)=1-Já1-p(k+1,ne)=1-Já1-p((k+ne)-(ne-1),(ne-1)+1)=1-P(Yk+ne≤ne-1)=P(Yk+ne≥ne).{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbb {P} (X_ {n} \ leq k) & {} = I_ {p} (n, k + 1) \\ & {} = 1-I_ {1- p} (k + 1, n) \\ & {} = 1-I_ {1-p} ((k + n) - (n-1), (n-1) +1) \\ & {} = 1- \ mathbb {P} (Y_ {k + n} \ leq n-1) \\ & {} = \ mathbb {P} (Y_ {k + n} \ geq n). \ End {zarovnáno}}}
Poslední řádek je interpretován následovně: je pravděpodobnost, že po k + n testech bude alespoň n úspěchů. Negativní binomický zákon lze tedy považovat za převrácený binomický zákon.
Stabilita podle součtu
Součet K nezávislých a distribuovaných náhodných proměnných v souladu s negativní binomické zákony parametrů p , respektive n 1 , n 2 , ..., n k je stále negativní binomické zákon, parametrů p a n = n 1 + ... + n k . Tuto vlastnost lze snadno demonstrovat z výrazu funkce generující momenty.
Aplikace
Čekací doba v Bernoulliho procesu
Pro každé celé číslo n je záporná binomická distribuce distribucí úspěchů a neúspěchů v řadě Bernoulliho iid testů . U k + n Bernoulliho testů s pravděpodobností úspěchu p dává záporný binomický zákon pravděpodobnost k selhání an úspěchů, přičemž poslední kresba je úspěšná. Jinými slovy, negativním binomickým zákonem je rozdělení počtu poruch před n - tým úspěchem v Bernoulliho testech , s pravděpodobností úspěchu str .
Zvažte následující příklad. Poctivá kostka se hodí několikrát a 1 strana je považována za úspěch. Pravděpodobnost úspěchu v každé studii je 1/6. Počet pokusů nezbytných k získání 3 úspěchů patří do nekonečné množiny {3, 4, 5, 6, ...}. Tento počet testů je náhodná proměnná rozdělená podle záporného binomického zákona (posunutá, protože množina začíná na 3 a ne na 0). Počet poruch před třetím úspěchem patří do množiny {0, 1, 2, 3, ...}. Tento počet poruch je také distribuován podle záporného binomického zákona.
„Nadměrně rozptýlené“ Poissonovo rozdělení
Negativní binomický zákon, zejména ve výše popsané alternativní parametrizaci, je zajímavou alternativou k Poissonovu zákonu . Je to zvláště užitečné pro diskrétní data s hodnotami v neomezené kladné sadě, jejichž empirická odchylka přesahuje empirický průměr . Pokud se k modelování takových dat použije Poisson, průměr a rozptyl musí být stejné. V tomto případě jsou pozorování „příliš rozptýlená“ ve srovnání s Poissonovým modelem. Protože záporné binomické rozdělení má další parametr, lze jej použít k úpravě rozptylu nezávisle na průměru.
Reference
-
Negativní binomický zákon lze zobecnit na přísně pozitivní skutečný parametr, v tomto případě budeme kvůli jasnosti označovat parametr r spíše než n . Pro toto zobecnění zůstávají všechny vzorce infoboxu pravdivé změnou výskytů z n na r . Binomický koeficient ve funkci hmotnosti se poté stane zobecněným binomickým koeficientem.
-
A nesmí být zaměňována se zákonem Markov-Pólya .
-
Pravděpodobnost p nemůže být nula, protože jinak by nebylo možné pozorovat v konečném čase n očekávaných úspěchů. Navíc si všimneme, že pokud bychom ve vzorci hromadné funkce nahradili 0 p , ta by byla vždy nula, bez ohledu na hodnotu k , což by nebylo vhodné pro hromadnou funkci, jejíž součet přes všechny hodnoty z k musí být 1.
-
Astrid Jourdan a Célestin C Kokonendji, „ Overdisperze a generalizovaný negativní binomický model “, aplikována Revue de statistique , sv. 50,2002, str. 73-86 ( číst online )
-
D. Ghorbanzadeh, Pravděpodobnosti: opravená cvičení , Technip,1998( číst online ) , s. 156.
-
G. Millot, Porozumění a provádění statistických testů pomocí R , De Boeck Supérieur ,2018( číst online ) , s. 269-271.
Podívejte se také
Související články
Bibliografie
(en) Joseph M. Hilbe (en) , Negativní binomická regrese , Cambridge University Press ,2007( číst online )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">