Zákon χ
Zákon z χ{\ displaystyle \ chi}
|
Hustota pravděpodobnosti
|
|
|
Distribuční funkce
|
|
Nastavení
|
k∈{1,2,...}{\ displaystyle k \ v \ {1,2, \ tečky \} \,}( stupně volnosti )
|
---|
Podpěra, podpora
|
X∈[0;∞[{\ displaystyle x \ v [0; \ infty [}
|
---|
Hustota pravděpodobnosti
|
21-k/2Xk-1E-X2/2Γ(k/2){\ displaystyle {\ frac {2 ^ {1-k / 2} x ^ {k-1} e ^ {- x ^ {2} / 2}} {\ gama (k / 2)}}}
|
---|
Distribuční funkce
|
P(k/2,X2/2){\ displaystyle P (k / 2, x ^ {2} / 2) \,}
|
---|
Naděje
|
μ=2Γ((k+1)/2)Γ(k/2){\ displaystyle \ mu = {\ sqrt {2}} \, {\ frac {\ gama ((k + 1) / 2)} {\ gama (k / 2)}}}
|
---|
Móda
|
k-1{\ displaystyle {\ sqrt {k-1}} \,} pro k≥1{\ displaystyle k \ geq 1}
|
---|
Rozptyl
|
σ2=k-μ2{\ displaystyle \ sigma ^ {2} = k- \ mu ^ {2} \,}
|
---|
Asymetrie
|
y1=μσ3(1-2σ2){\ displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {\ mu} {\ sigma ^ {3}}} \, (1-2 \ sigma ^ {2})}
|
---|
Normalizovaná špičatost
|
2σ2(1-μσy1-σ2){\ displaystyle {\ frac {2} {\ sigma ^ {2}}} (1- \ mu \ sigma \ gamma _ {1} - \ sigma ^ {2})}
|
---|
Entropie
|
ln(Γ(k/2))+{\ displaystyle \ ln (\ Gamma (k / 2)) + \,} 12(k-ln(2)-(k-1)ψ0(k/2)){\ displaystyle \, {\ frac {1} {2}} (k \! - \! \ ln (2) \! - \! (k \! - \! 1) \ psi _ {0} (k / 2))}
|
---|
Funkce generující momenty
|
(viz podrobnosti v článku)
|
---|
Charakteristická funkce
|
(viz podrobnosti v článku)
|
---|
V teorii a statistice pravděpodobnosti je zákonχ{\ displaystyle \ chi} (vyslovovaný „chi“) zákonem spojité pravděpodobnosti . Je to zákon odmocniny k náhodných proměnných nezávislých na normálním zákoně se středem, parametr k je počet stupňů volnosti . Nejběžnějším příkladem je Maxwellov zákon , pro k = 3 stupně volnosti zákona ; modeluje molekulární rychlost (normalizovanou).
χ{\ displaystyle \ chi}
Pokud jsou k nezávislé náhodné proměnné normálního rozdělení se střední a standardní odchylky , pak je variabilní
Xi{\ displaystyle X_ {i}}μi{\ displaystyle \ mu _ {i}}σi{\ displaystyle \ sigma _ {i}}
Y=∑i=1k(Xi-μiσi)2{\ displaystyle Y = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {k} \ left ({\ frac {X_ {i} - \ mu _ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ vpravo) ^ {2}}}}je zákonem .
χ{\ displaystyle \ chi}
Charakterizace
Hustota pravděpodobnosti
Hustota pravděpodobnosti právem IS:
χ{\ displaystyle \ chi}
F(X;k)={21-k2Xk-1E-X22Γ(k2) pro X>00 Pokud ne{\ displaystyle f (x; k) = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {2 ^ {1 - {\ frac {k} {2}}} x ^ {k-1} e ^ {- { \ frac {x ^ {2}} {2}}}} {\ Gamma ({\ frac {k} {2}})}} & {\ text {for}} x> 0 \\ 0 & {\ text {jinak}} \ end {případů}}}kde je funkce gama .
Γ(z){\ Displaystyle \ Gamma (z)}
Distribuční funkce
Distribuční funkce právem IS:
χ{\ displaystyle \ chi}
F(X;k)={P(k2,X22) pro X>00 Pokud ne{\ displaystyle F (x; k) = {\ begin {cases} \ displaystyle P \ left ({\ frac {k} {2}}, {\ frac {x ^ {2}} {2}} \ right) & {\ text {for}} x> 0 \\ 0 & {\ text {jinak}} \ end {případy}}}kde je neúplná (regularizovaná) gama funkce .
P(k,X){\ displaystyle P (k, x)}
Generování funkcí
Funkce generující momenty
Funkce generátoru momentů je dána vztahem:
M(t)=M(k2,12,t22)+t2Γ(k+12)Γ(k2)M(k+12,32,t22).{\ displaystyle M (t) = M \ vlevo ({\ frac {k} {2}}, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {t ^ {2}} {2}} \ vpravo ) + t {\ sqrt {2}} \, {\ frac {\ Gamma ({\ tfrac {k + 1} {2}})} {\ Gamma ({\ tfrac {k} {2}})}} M \ left ({\ frac {k + 1} {2}}, {\ frac {3} {2}}, {\ frac {t ^ {2}} {2}} \ right).}kde M je splývající hypergeometrická funkce Kummera.
Charakteristická funkce
Charakteristická funkce je dána vztahem:
φ(t;k)=M(k2,12,-t22)+it2Γ(k+12)Γ(k2)M(k+12,32,-t22).{\ displaystyle \ varphi (t; k) = M \ vlevo ({\ frac {k} {2}}, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {-t ^ {2}} {2 }} \ right) + it {\ sqrt {2}} \, {\ frac {\ Gamma ({\ tfrac {k + 1} {2}})} {\ Gamma ({\ tfrac {k} {2} })}} M \ left ({\ frac {k + 1} {2}}, {\ frac {3} {2}}, {\ frac {-t ^ {2}} {2}} \ right) .}kde M je opět splývající hypergeometrická funkce Kummera.
Vlastnosti
Okamžiky
Tyto momenty zákona ze jsou dány:
χ{\ displaystyle \ chi}
μj=2j/2Γ(k+j2)Γ(k2){\ displaystyle \ mu _ {j} = 2 ^ {j / 2} {\ frac {\ gama ({\ tfrac {k + j} {2}})} {\ gama ({\ tfrac {k} {2 }})}}}kde je funkce gama . První okamžiky jsou:
Γ(z){\ Displaystyle \ Gamma (z)}
μ1=2Γ(k+12)Γ(k2){\ displaystyle \ mu _ {1} = {\ sqrt {2}} \, \, {\ frac {\ Gamma ({\ tfrac {k + 1} {2}})}} {\ Gamma ({\ tfrac { k} {2}})}}}
μ2=k{\ displaystyle \ mu _ {2} = k \,}
μ3=22Γ(k+32)Γ(k2)=(k+1)μ1{\ displaystyle \ mu _ {3} = 2 {\ sqrt {2}} \, \, {\ frac {\ Gamma ({\ tfrac {k + 3} {2}})}} {\ Gamma ({\ tfrac {k} {2}})}} = (k + 1) \ mu _ {1}}
μ4=k(k+2){\ displaystyle \ mu _ {4} = k (k + 2) \,}
μ5=42Γ(k+52)Γ(k2)=(k+1)(k+3)μ1{\ displaystyle \ mu _ {5} = 4 {\ sqrt {2}} \, \, {\ frac {\ Gamma ({\ tfrac {k + 5} {2}})}} {\ Gamma ({\ tfrac {k} {2}})}} = (k + 1) (k + 3) \ mu _ {1}}
μ6=k(k+2)(k+4){\ displaystyle \ mu _ {6} = k (k + 2) (k + 4) \,}
kde výrazy pocházejí z relace opakování funkce gama:
Γ(X+1)=XΓ(X){\ Displaystyle \ Gamma (x + 1) = x \ Gamma (x) \,}z těchto výrazů můžeme vytvořit následující vztahy pro očekávání , rozptyl , asymetrii a nakonec kurtosu :
μ=2Γ(k+12)Γ(k2){\ displaystyle \ mu = {\ sqrt {2}} \, {\ frac {\ Gamma ({\ tfrac {k + 1} {2}})} {\ Gamma ({\ tfrac {k} {2}} )}}}
σ2=k-μ2{\ displaystyle \ sigma ^ {2} = k- \ mu ^ {2} \,}
y1=μσ3(1-2σ2){\ displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {\ mu} {\ sigma ^ {3}}} \, (1-2 \ sigma ^ {2})}
y2=2σ2(1-μσy1-σ2){\ displaystyle \ gamma _ {2} = {\ frac {2} {\ sigma ^ {2}}} (1- \ mu \ sigma \ gamma _ {1} - \ sigma ^ {2})}
Entropie
Entropie je dána vztahem:
S=ln(Γ(k2))+12(k-ln(2)-(k-1)ψ0(k2)){\ displaystyle S = \ ln \ left (\ Gamma \ left ({\ frac {k} {2}} \ right) \ right) + {\ frac {1} {2}} \ left (k- \ ln ( 2) - (k-1) \ psi _ {0} \ doleva ({\ frac {k} {2}} \ doprava) \ doprava)}kde je polygamma funkce .
ψ0(z){\ displaystyle \ psi _ {0} (z)}
Odkazy na jiné zákony
- Pokud pak , ( zákon χ² )X∼χk(X){\ displaystyle X \ sim \ chi _ {k} (x)}X2∼χk2{\ displaystyle X ^ {2} \ sim \ chi _ {k} ^ {2}}
-
limk→∞χk(X)-μkσk→d NE(0,1){\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} {\ tfrac {\ chi _ {k} (x) - \ mu _ {k}} {\ sigma _ {k}}} {\ xrightarrow {d}} \ N (0,1) \,}, ( normální rozdělení )
- Pokud pak , ( napůl normální distribuce ) pro všechnyX∼χ1(X){\ displaystyle X \ sim \ chi _ {1} (x) \,}σX∼HNE(σ){\ Displaystyle \ sigma X \ sim HN (\ sigma) \,}σ>0{\ displaystyle \ sigma> 0 \,}
-
χ2(X)∼RnaylEiGh(1){\ displaystyle \ chi _ {2} (x) \ sim \ mathrm {Rayleigh} (1) \,}( Rayleighův zákon )
-
χ3(X)∼MnaXwEll(1){\ displaystyle \ chi _ {3} (x) \ sim \ mathrm {Maxwell} (1) \,}( Maxwellov zákon )
-
‖NEi=1,...,k(0,1)‖∼χk(X){\ displaystyle \ | {\ boldsymbol {N}} _ {i = 1, \ ldots, k} {(0,1)} \ | \ sim \ chi _ {k} (x)}, (Dále jen norma z n proměnných z normálního rozdělení má práva s k- stupňů volnosti).χ{\ displaystyle \ chi}
- zákon je zvláštním případem generalizovaného zákona gama .χ{\ displaystyle \ chi}
Různé zákony aχ{\ displaystyle \ chi}χ2{\ displaystyle \ chi ^ {2}}
Zákony |
jako funkce proměnných normálního rozdělení
|
---|
zákon χ² |
∑i=1k(Xi-μiσi)2{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ vlevo ({\ frac {X_ {i} - \ mu _ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ vpravo) ^ {2} }
|
zákon χ² není vycentrován |
∑i=1k(Xiσi)2{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ vlevo ({\ frac {X_ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ vpravo) ^ {2}}
|
zákon χ |
∑i=1k(Xi-μiσi)2{\ displaystyle {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {k} \ vlevo ({\ frac {X_ {i} - \ mu _ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ vpravo) ^ {2}}}}
|
zákon χ není vycentrován |
∑i=1k(Xiσi)2{\ displaystyle {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {k} \ vlevo ({\ frac {X_ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ vpravo) ^ {2}}}}
|
externí odkazy
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">