Náhodná proměnná

V teorii pravděpodobnosti je náhodná proměnná proměnná, jejíž hodnota je určena po náhodném výběru. Například hodnota kostky mezi 1 a 6, strana mince v losování atd. Je to aplikace definovaná na množině eventualit, to znamená na množinu možných výsledků náhodného experimentu. Bylo hry náhody , která vedla k návrhu náhodné veličiny , spojením možnost (výsledek házení jednoho nebo více kostek, ze mince přehazovat, na ruletě, atd ) se ziskem. Toto sdružení pro nepředvídané události následně vedlo k návrhu obecnější funkce. Vývoj náhodných proměnných je spojen s teorií měření .

Úvod

Možné hodnoty náhodné proměnné by mohly představovat možné výsledky experimentu, jehož již existující hodnota je nejistá. Mohou také koncepčně představovat buď výsledky „objektivního“ náhodného procesu (například házení kostkou), nebo „subjektivní“ náhodnost, která vyplývá z neúplné znalosti veličiny (jako je teplota, která bude za 5 dní).). Význam pravděpodobností přiřazených možným hodnotám náhodné proměnné není součástí teorie pravděpodobnosti , ale spíše se týká filozofických argumentů o interpretaci pravděpodobnosti. Matematické funkce stejným způsobem, bez ohledu na interpretaci.

Matematická funkce popisující možné hodnoty náhodné veličiny a jejich pravděpodobnost je známá jako zákon pravděpodobnosti nebo rozdělení pravděpodobnosti . Tyto náhodné veličiny mohou být tři typy: diskrétní , kontinuální , nebo kombinace obou. Jsou diskrétní, když mohou převzít všechny hodnoty konečného nebo spočitatelného seznamu specifikovaných hodnot, a poté jsou vybaveny hromadnou funkcí charakteristickou pro rozdělení pravděpodobnosti . Jsou spojité, když mohou nabývat jakékoli číselné hodnoty intervalu nebo rodiny intervalů pomocí funkce hustoty pravděpodobnosti charakteristické pro rozdělení pravděpodobnosti . Realizace náhodné proměnné, tj. Výsledky náhodně vybraných hodnot podle zákona pravděpodobnosti proměnné, se nazývají náhodné variace .

Definice

Definice - Nechť být probabilized prostor a měřitelný prostor . Náhodná veličina se nazývá z $w$ na $E$ jakákoli měřitelná funkce $X$ o $w$ s $e$ . $(\ Omega, \ mathcal {F}, \ mathbb {P})$ $(E, \ mathcal {E})$

Tato podmínka měřitelnosti $X$ zajišťuje, že vzájemná obraz o $X$ jakéhokoli prvku $B$ z kmene má pravděpodobnost, a tak umožňuje definovat, na , míru pravděpodobnosti, označené tím, $\ mathcal {E}$ $(E, \ mathcal {E})$ $\ mathbb {P} _X$

{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {X} (B) = \ mathbb {P} \ levý (X ^ {- 1} (B) \ pravý) = \ mathbb {P} \ levý (X \ v B \ že jo).}

Míra je pomocí aplikace $X$ obrazem pravděpodobnosti definované na . $\ mathbb {P} _X$ $\ mathbb {P}$ $(\ Omega, \ mathcal {F})$

Definice - pravděpodobnost se nazývá rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny $X$ . $\ mathbb {P} _X$

V následujícím textu, se vztahuje na Borel z topologického prostoru $E$ . $\ mathcal {B} (E)$

Standardní pouzdro

Je-li obraz je konečná nebo spočetnou nekonečno , tato náhodná veličina se nazývá diskrétní náhodná veličina a její rozdělení mohou být popsány pomocí pravděpodobnostní funkce , která přiřazuje pravděpodobnost každé hodnoty v obrazu $X$ . V případě, že obraz je nepochybně nekonečný, pak budeme nazývat $X.$ Pro spojitá náhodná veličina . V případě, že jeho spojitost je absolutní , lze jeho rozdělení popsat funkcí hustoty pravděpodobnosti , která přiřazuje pravděpodobnosti intervalům; zejména každý jednotlivý bod musí mít nutně nulovou pravděpodobnost absolutně spojité náhodné proměnné. Ne všechny spojité náhodné proměnné jsou absolutně spojité, například rozdělení směsi . Takové náhodné proměnné nelze popsat hustotou pravděpodobnosti nebo funkcí pravděpodobnostní hmotnosti.

Libovolnou náhodnou proměnnou lze popsat pomocí její kumulativní distribuční funkce , která popisuje pravděpodobnost, že náhodná proměnná je menší nebo rovna určité hodnotě.

Rozšíření

Pojem „náhodná proměnná“ je ve statistice tradičně omezen na případ skutečné hodnoty ( ). Tím je zajištěno, že je možné definovat veličiny, jako je očekávaná hodnota a rozptyl náhodné proměnné, její kumulativní distribuční funkce a momenty distribuce. $E = \ mathbb {R}$

Výše uvedená definice však platí pro jakýkoli měřitelný prostor $E$ hodnot. Lze tedy vzít v úvahu náhodné prvky jiných množin, jako jsou náhodné logické hodnoty , kategorické proměnné , komplexní čísla , vektory , matice , sekvence , stromy , množiny, tvary a funkce . My pak může odkazovat specificky k náhodné proměnné typu $E$ , nebo náhodné proměnné hodnoceného $E$ .

Tento obecnější koncept náhodného prvku je obzvláště užitečný v oborech, jako je teorie grafů , strojové učení , zpracování přirozeného jazyka a další oblasti diskrétní matematiky a informatiky , kde se často vyskytuje. Zájem o modelování náhodných variací jiných než numerické strukturální údaje . V některých případech je však lepší představovat každý prvek $E$ pomocí jednoho nebo více reálných čísel . V tomto případě může být náhodný prvek volitelně reprezentován jako vektor náhodných proměnných se skutečnou hodnotou (všechny jsou definovány na stejném podkladovém prostoru pravděpodobnosti $Ω$ , což umožňuje kovarianci různých náhodných proměnných ). Například:

Náhodné slovo může být reprezentováno jako náhodné číslo, které slouží jako rejstřík ve slovníku možných slov. Jinými slovy to může být reprezentováno jako náhodný indikátorový vektor, jehož délka se rovná velikosti slovníku, kde jsou jediné kladné hodnoty pravděpodobnosti (1 0 0 0, ...), (0 1 0 0, ...), (0 0 1 0 ...) a pozice 1 označuje řeč.
Náhodná věta dané délky $N$ může být reprezentována jako vektor $N$ náhodných slov.
Náhodný graf na daných $N$ vrcholů může být reprezentován jako matice $N x N$ náhodných proměnných , jejichž hodnoty určují matice sousednosti náhodné grafu.
Náhodná funkce $F$ může být reprezentován souborem náhodných proměnných $F ( x )$ , což dává hodnoty funkce v různých místech $x$ v oblasti funkce. $F ( x )$ jsou běžné náhodné proměnné se skutečnou hodnotou za předpokladu, že funkce je reálná. Například stochastický proces je náhodná funkce času, náhodný vektor je náhodná funkce některých sad indexů, jako je $1,2, ..., n$ , a náhodné pole je náhodná funkce na množině (obvykle čas, prostor nebo diskrétní množina).

Okamžiky

Distribuce pravděpodobnosti náhodné proměnné je často charakterizována sníženým počtem parametrů, které mají také praktický výklad. Například často stačí vědět, jaká je střední hodnota. To je možné díky matematickému konceptu očekávané hodnoty náhodné proměnné, zaznamenané a nazývané také první okamžik . Obecně se to nerovná . Jakmile je průměrná hodnota známa, dalo by se zeptat, jak daleko od této průměrné hodnoty jsou obecně hodnoty $E$ , což je otázka, na kterou odpovídají pojmy rozptyl a směrodatná odchylka náhodné proměnné. lze považovat průměr získaný z nekonečnou populaci, jehož členy jsou zvláštní hodnocení $E$ . ${\ displaystyle \ mathbb {E} [X]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} [f (X)]}$ ${\ displaystyle f (\ mathbb {E} [X])}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} [X]}$

Matematicky, toto je známé jako okamžiky problému : pro danou třídu náhodných proměnných $E$ , najít sbírku { f i } funkcí tak, že se hodnoty střední hodnota charakterizuje rozdělení náhodné proměnné $E$ . ${\ displaystyle \ mathbb {E} [f_ {i} (X)]}$

Momenty nelze definovat pro funkce náhodných proměnných se skutečnou hodnotou (nebo funkce se složitou hodnotou atd. ). Pokud je náhodná proměnná skutečnou hodnotou, pak lze vzít momenty samotné proměnné, což je ekvivalentní momentům funkce $f ( X ) = X$ náhodné proměnné. Avšak i pro náhodné proměnné s nerealistickými hodnotami lze momenty převzít ze skutečných funkcí těchto proměnných. Například pro kategorickou náhodnou proměnnou $E,$ která může nabývat nominálních hodnot „červená“, „modrá“ nebo „zelená“, může být sestrojena funkce skutečné hodnoty $[ X = zelená]$ ; tento proces používá Iversonův hák a má hodnotu 1, pokud má $E$ hodnotu „zelená“, bude mít hodnotu 0 v jiném případě. Lze tedy určit očekávanou hodnotu a další časy této funkce.

Příklady

Náhodná proměnná je často k reálným hodnotám (zisk hráče v hazardní hry, život), a to se nazývá reálnou náhodná proměnná : . $X \ colon \ omega \ mapsto X (\ omega) \ in \ R$

Náhodná veličina může také spojit s každou eventualitou vektor nebo , a my pak hovoříme o náhodného vektoru : $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$

$X \ colon \ omega \ mapsto X (\ omega) \ in \ R ^ n$ nebo . ${\ displaystyle X \ colon \ omega \ mapsto X (\ omega) \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$

Náhodná veličina může ještě přiřadit ke každému eventualitu kvalitativní hodnotu (barvy, zásobník nebo obličejový štít), nebo dokonce funkce (například funkce of ), a pak budeme hovořit o stochastický proces . $\ mathcal {C} (\ R _ +, \ R ^ d)$

Přísněji:

Když řekneme, že jde o skutečnou náhodnou proměnnou . $(E, \ mathcal {E}): = (\ R, \ mathcal {B} (\ R))$ $X$
Když, na celé číslo $o \geq 1$ , říkáme, že je náhodný vektor . $(E, \ mathcal {E}): = (\ R ^ d, \ mathcal {B} (\ R ^ d))$ $X$
Když existuje konečná nebo spočetná množina $S \subset E$ taková , řekneme, že jde o diskrétní proměnnou. Například volba umožňuje vidět náhodné proměnné podle Poissonova zákona nebo binomického zákona jako skutečné náhodné proměnné . $\ mathbb {P} (X \ v S) = 1$ $X$ $(S, E): = (\ N, \ R)$
Brownův pohyb , který modeluje cesta některých částic v prostoru, může být považována za náhodné proměnné B hodnot v prostoru spojitých funkcí v s topologií stejnoměrné konvergence na všechny kompaktní, a odpovídající Borelian kmen . Pro každé $t$ $\geq 0$ je $B$ $($ $t$ $)$ , které představuje polohu částice v čase $t$ , skutečná náhodná proměnná, jejíž zákon je Gaussian . Tak, $B$ může také být viděn jako rodina z reálných náhodných proměnných . $B: = (B (t)) _ {t \ geqslant 0}$ $E: = \ mathcal {C} (\ R _ +, \ R ^ 3)$ $\ R_ +$ $\ mathbb {R} ^ {3}$

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z anglického článku Wikipedie s názvem „ random variable “ ( viz seznam autorů ) .

(in) Daniel S., The Practice of Statistics: TI-83/89 Graphing Calculator Enhanced , WH Freeman and Company ,2003, 858 s. ( ISBN 978-0-7167-4773-4 , online prezentace )
(in) Liliana Blanco Castañeda , Viswanathan Arunachalam a Selvamuthu Dharmaraja , Úvod do pravděpodobnosti a stochastické procesy s aplikacemi , Wiley ,16. července 2012, 614 str. ( ISBN 978-1-118-34494-1 , číst online )