Geometrický zákon

Geometrický zákon
Hromadná funkce
Distribuční funkce
Nastavení	p∈[0,1]{\ displaystyle p \ v [0,1]} q=1-p{\ displaystyle q = 1-p}
Podpěra, podpora	k∈{1,2,3,...}{\ displaystyle k \ in \ {1,2,3, \ tečky \} \!}
Hromadná funkce	qk-1p{\ displaystyle q ^ {k-1} \, p \!}
Distribuční funkce	1-qk{\ displaystyle 1-q ^ {k} \!}
Naděje	1p{\ displaystyle {\ frac {1} {p}} \!}
Medián	⌈-log⁡(2)log⁡(q)⌉{\ displaystyle \ left \ lceil {\ frac {- \ log (2)} {\ log (q)}} \ right \ rceil \!}(není jedinečné, pokud je celé číslo) -log⁡(2)/log⁡(q){\ displaystyle - \ log (2) / \ log (q)}
Móda	1
Rozptyl	qp2{\ displaystyle {\ frac {q} {p ^ {2}}} \!}
Asymetrie	2-pq{\ displaystyle {\ frac {2-p} {\ sqrt {q}}} \!}
Normalizovaná špičatost	6+p2q{\ displaystyle 6 + {\ frac {p ^ {2}} {q}} \!}
Entropie	-qlog2⁡q-plog2⁡pp{\ displaystyle {\ frac {-q \ log _ {2} qp \ log _ {2} p} {p}} \!}
Funkce generující momenty	pEt1-qEt{\ displaystyle {\ frac {pe ^ {t}} {1-q \, e ^ {t}}} \!}
Charakteristická funkce	pEit1-qEit{\ displaystyle {\ frac {pe ^ {it}} {1-q \, e ^ {it}}} \!}
Funkce generátoru pravděpodobnosti	pt1-qt{\ displaystyle {\ frac {pt} {1-qt}}}

V teorii pravděpodobnosti a statistiky je geometrický zákon je diskrétní pravděpodobnost zákon se dvěma možnými definicemi:

• Zákon o počtu X z nezávislých testů Bernoulliho se pravděpodobnost úspěchu p ∈] 0,1 [ (nebo q = 1 - p poruchy), nutné pro získání první úspěch. X je náhodná proměnná udávající hodnost prvního úspěchu. Podpora zákona je pak {1, 2, 3, ...}.
• Zákon čísla Y = X - 1 selže před prvním úspěchem. Zákon má poté podporu {0, 1, 2, 3, ...}.

Hodnoty X jsou nenulová přirozená celá čísla 1, 2, 3, ... Všimněte si , pravděpodobnost, že X = k je pak, pro k = 1, 2, 3, ...: q=1-p{\ displaystyle q = 1-p}

P(X=k)=qk-1p.{\ displaystyle \ mathbb {P} (X = k) = q ^ {k-1} str.}

Říkáme, že X následuje geometrický zákon s parametrem p .

Výpočet p ( k )

Pravděpodobnost p ( k ) odpovídá pravděpodobnosti získání v řadě k Bernoulliho testů , k - 1 poruch následovaných jedním úspěchem. Jelikož jsou testy nezávislé, je tato pravděpodobnost q k - 1 p .

Jiná definice

U geometrického zákona se někdy setkáváme s touto definicí: pravděpodobnost p ' ( k ) je pravděpodobnost, že během řady nezávislých Bernoulliho testů získáme k selhání následovaných úspěchem. Modeluje životnost entity, která by měla pravděpodobnost, že p zemře kdykoli . Poté získáme pro k = 0, 1, 2, ...:

p′(k)=qkp.{\ displaystyle p '(k) = q ^ {k} str.}

Všimněte si, že se jedná pouze o posun předchozího geometrického zákona v následujícím smyslu: pokud X následuje zákon p, pak X - 1 následuje zákon p ' . Jeho naděje pak již není1/p ale z 1/p- 1 , to znamenáq/p. Rozptyl je u obou definic stejný. V následujícím textu vezmeme první definici.

Datum úmrtí, délka života

Říkáme-li p pravděpodobnost rozpadu radioaktivní částice, je geometrický zákon prvním diskrétním modelem smrti radioaktivní částice. Životnost radioaktivní částice V se řídí následujícím zákonem pravděpodobnosti:

p(k)=P(PROTI=k)=qk-1 pÓur k∈NE∗{\ displaystyle p (k) = \ mathbb {P} (\ mathrm {V} = k) = q ^ {k-1} \ \ mathrm {pro} \ k \ v \ mathbb {N} ^ {*}} P(PROTI>k)=qk=Ekln⁡(q){\ displaystyle \ mathbb {P} (\ mathrm {V}> k) = q ^ {k} = \ mathrm {e} ^ {k \ ln (q)}}

Pro p malé je ln (1 - p ) blízko - p tak

P(PROTI>k)≈E-pk{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ mathrm {V}> k) \ přibližně \ mathrm {e} ^ {- pk}}

kde najdeme rozdělení exponenciálního zákona .

Očekávání, rozptyl, směrodatná odchylka

Očekávání náhodné proměnné X. po geometrické rozložení parametru p je 1 / p , a jeho rozptyl , jeq/p 2kde q = 1 - p je pravděpodobnost selhání:

E[X]=1p,PROTI[X]=1-pp2=qp2.{\ displaystyle \ mathbb {E} [X] = {\ frac {1} {p}}, \ qquad \ mathbb {V} [X] = {\ frac {1-p} {p ^ {2}}} = {\ frac {q} {p ^ {2}}}.}

Standardní odchylka je proto√ q/p.

Demonstrace

Předběžné výpočty: pro všechna x z [0, 1 [ ,

F(X)=∑k=0+∞Xk=11-XF′(X)=∑k=1+∞kXk-1=1(1-X)2F′′(X)=∑k=2+∞k(k-1)Xk-2=2(1-X)3.{\ displaystyle {\ begin {aligned} f (x) & = \ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} x ^ {k} = {\ frac {1} {1-x}} \\ f ^ {\ prime} (x) & = \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} kx ^ {k-1} = {\ frac {1} {(1-x) ^ {2}}} \\ f ^ {\ prime \ prime} (x) & = \ sum _ {k = 2} ^ {+ \ infty} k (k-1) x ^ {k-2} = {\ frac {2} { (1-x) ^ {3}}}. \ End {zarovnáno}}}

Zejména :

∑k=1+∞k2Xk-1=X∑k=2+∞k(k-1)Xk-2+∑k=1+∞kXk-1=2X(1-X)3+1(1-X)2=2(1-X)3-1(1-X)2.{\ displaystyle {\ begin {seřazeno} \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} k ^ {2} x ^ {k-1} & = x \ sum _ {k = 2} ^ {+ \ infty} k (k-1) x ^ {k-2} + \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} kx ^ {k-1} \\ & = {\ frac {2x} {(1 -x) ^ {3}}} + {\ frac {1} {(1-x) ^ {2}}} \\ & = {\ frac {2} {(1-x) ^ {3}}} - {\ frac {1} {(1-x) ^ {2}}}. \ end {zarovnáno}}}

Tyto identity pak můžeme použít pro výpočet očekávání:

E(X)=∑k=1+∞kqk-1p=p(1-q)2=1p,{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbb {E} (X) & = \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} kq ^ {k-1} p \\ & = {\ frac {p } {(1-q) ^ {2}}} \\ & = {\ frac {1} {p}}, \ end {zarovnáno}}}

protože q = 1 - p , a pro to rozptylu:

PROTInar(X)=(∑k=1+∞k2qk-1p)-E[X]2=2p(1-q)3-p(1-q)2-1p2=2p2-1p-1p2=qp2,{\ displaystyle {\ begin {zarovnaný} \ mathrm {Var} (X) & = \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} k ^ {2} q ^ {k-1} p \ vpravo) - \ mathbb {E} [\ mathrm {X}] ^ {2} \\ & = {\ frac {2p} {(1-q) ^ {3}}} - {\ frac {p} {( 1-q) ^ {2}}} - {\ frac {1} {p ^ {2}}} \\ & = {\ frac {2} {p ^ {2}}} - {\ frac {1} {p}} - {\ frac {1} {p ^ {2}}} \\ & = {\ frac {q} {p ^ {2}}}, \ end {zarovnáno}}}

první rovnost nahoře vycházející z König-Huygensovy věty .

Například, pro , a střední odchylka . p=1/2{\ displaystyle p = 1/2}E[X]=2,PROTI[X]=2,σ[X]=2{\ displaystyle \ mathbb {E} [X] = 2, \ mathbb {V} [X] = 2, \ sigma [X] = {\ sqrt {2}}} EM(X)=E(|X-2|)=∑k=1+∞|k-2|/2k=1{\ displaystyle {\ textbf {EM}} (X) = \ mathbb {E} (| X-2 |) = \ součet _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {| k-2 | / 2 ^ {k}} = 1}

Vazby na jiné zákony

Souvislost se zkráceným geometrickým zákonem

V programech Première Scientifique ve Francii z roku 2011 nazýváme zkrácený geometrický zákon parametrů n a p , zákon náhodné proměnné získaný omezením počtu Bernoulliho testů s parametrem p na n a zaznamenáním hodnosti prvního úspěchu. . Podle konvence, pokud během n testů nedojde k žádnému úspěchu, nastavíme X = 0 (pro X někdy najdeme počet poruch získaných během n testů). Pravděpodobnost, že X = k je pak pro k = 1, 2, 3, ..., n  :

P(X=k)=qk-1p{\ displaystyle \ mathbb {P} (X = k) = q ^ {k-1} p}

a pro k = 0

P(X=0)=qne.{\ displaystyle \ mathbb {P} (X = 0) = q ^ {n}.}

Tento zákon pravděpodobnosti platí pro očekávání: E(X)=1p(1-(nep+1)qne){\ displaystyle \ mathbb {E} (X) = {\ frac {1} {p}} \ levý (1- \ levý (np + 1 \ pravý) q ^ {n} \ pravý)} kde q = 1 - str .

Pojem „zkrácený“ zde nemá stejný význam jako v definici zkráceného zákona .

Souvislost s exponenciálním zákonem

Geometrický zákon je diskretizovaná verze exponenciálního zákona. V důsledku toho je exponenciální zákon limitem renormalizovaných geometrických zákonů.

Vlastnost  -  Pokud X následuje exponenciální zákon očekávání 1, a pak Y následuje geometrický zákon parametru Y=⌈θX⌉, θ>0,{\ displaystyle Y = \ lceil \ theta X \ rceil, \ \ theta> 0,}

p = 1-E- 1θ.{\ displaystyle p \ = \ 1- \ mathrm {e} ^ {- \ {\ tfrac {1} {\ theta}}}} Demonstrace P(Y=k)=P(⌈θX⌉=k)=P(θX∈]k-1,k])=P(X∈]k-1θ,kθ])=FX(kθ)-FX(k-1θ)=exp⁡(- k-1θ)-exp⁡(- kθ)=(E- 1θ)k-1 (1-E- 1θ).{\ displaystyle {\ begin {zarovnaný} \ mathbb {P} (Y = k) & = \ mathbb {P} (\ lceil \ theta X \ rceil = k) \\ & = \ mathbb {P} (\ theta X \ in] k-1, k]) \\ & = \ mathbb {P} \ left (X \ in \ left] {\ tfrac {k-1} {\ theta}}, {\ tfrac {k} {\ theta}} \ right] \ right) \\ & = F_ {X} \ left ({\ tfrac {k} {\ theta}} \ right) -F_ {X} \ left ({\ tfrac {k-1} {\ theta}} \ right) \\ & = \ exp \ left (- \ {\ tfrac {k-1} {\ theta}} \ right) - \ exp \ left (- \ {\ tfrac {k} { \ theta}} \ right) \\ & = \ left (\ mathrm {e} ^ {- \ {\ tfrac {1} {\ theta}}} \ right) ^ {k-1} \ \ left (1- \ mathrm {e} ^ {- \ {\ tfrac {1} {\ theta}}} \ right). \ end {zarovnáno}}}

Všimněte si, že, pro reálného čísla x , označuje horní část celé číslo z x , definovaný ⌈X⌉{\ displaystyle \ lceil x \ rceil}

⌈X⌉ = min{k∈Z | k⩾X}.{\ displaystyle \ lceil x \ rceil \ = \ \ min \ vlevo \ {k \ v \ mathbb {Z} \ | \ k \ geqslant x \ right \}.} Výsledek :

Chcete-li tedy získat náhodnou proměnnou Y ' podle geometrického zákona libovolného parametru p (s omezením 0 < p <1 ), z exponenciální náhodné proměnné X' parametru λ tedy stačí nastavit

Y′=⌈θX′⌉,{\ displaystyle Y ^ {\ prime} = \ lceil \ theta X ^ {\ prime} \ rceil,}

kde jsme si vybrali

θ = -λln⁡(1-p).{\ displaystyle \ theta \ = \ - {\ tfrac {\ lambda} {\ ln \ levý (1-p \ pravý)}}.}

Ve skutečnosti se řídí exponenciálním zákonem parametru 1 (a očekávání 1). X=λX′{\ displaystyle X = \ lambda \, X ^ {\ prime}}

Vzájemně,

Vlastnost  -  Pokud pro náhodnou proměnnou Y n následuje geometrický zákon parametru p n a pokud současně ne≥1,{\ displaystyle n \ geq 1,}

limnepne = 0alimnepne/nane = λ>0,{\ displaystyle \ lim _ {n} p_ {n} \ = \ 0 \ qquad {\ text {et}} \ qquad \ lim _ {n} p_ {n} / a_ {n} \ = \ \ lambda> 0 ,}

pak a n Y n konverguje v zákoně k exponenciálnímu zákonu parametru λ .

Demonstrace

Dáme si exponenciální náhodnou proměnnou X s parametrem 1 a nastavíme

θne=-1ln⁡(1-pne),Yne′=⌈θneX⌉.{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ theta _ {n} & = - {\ tfrac {1} {\ ln \ left (1-p_ {n} \ right)}}, \\\ mathrm {Y} _ {n} ^ {\ prime} & = \ lceil \ theta _ {n} \ mathrm {X} \ rceil. \ end {zarovnáno}}}

Takže Y n a mají stejný zákon, na základě předchozí vlastnosti. Navíc pro všechny ωYne′{\ displaystyle Y_ {n} ^ {\ prime}}

limnenaneYne′(ω) = limnenane⌈θneX(ω)⌉= (limnenaneθne) X(ω) = X(ω)/λ.{\ displaystyle \ lim _ {n} a_ {n} Y_ {n} ^ {\ prime} (\ omega) \ = \ \ lim _ {n} a_ {n} \ lceil \ theta _ {n} X (\ omega) \ rceil = \ \ left (\ lim _ {n} a_ {n} \ theta _ {n} \ right) \ X (\ omega) \ = \ X (\ omega) / \ lambda.}

Na jedné straně však téměř jistá konvergence vede ke konvergenci v právu, na druhé straně zákonem X / λ je exponenciální zákon parametru λ .

Souvislost s negativním binomickým zákonem

Pokud X n je náhodná proměnná distribuovaná podle záporných binomických parametrů n a p , pak X n má stejné rozdělení jako součet n náhodných proměnných nezávisle distribuovaných v geometrickém rozdělení s parametrem p .

Podívejte se také

• Elementární náhodné proměnné
• Radioaktivita
• Způsob odmítnutí
• Bernoulliho proces
• Exponenciální zákon
• Negativní binomický zákon
• Problém sběratelů dálničních známek (příklad ukazující geometrický zákon)

Poznámky a odkazy

1. Éduscol zdrojový dokument - Statistiky a pravděpodobnost - červen 2011 , s. 13-24
2. Kurz pravděpodobnosti 2011/2012 UJF v Grenoblu, s. 7