V pravděpodobnosti a statistiky , je Bernoulli proces je stochastický proces, diskrétní , který se skládá ze sekvence náhodných veličin nezávislé , které berou jejich hodnoty ze dvou symbolů. Prozaicky Bernoulliho proces spočívá v převrácení mince několikrát za sebou, případně pomocí zmanipulované mince. Proměnná v sekvenci tohoto typu lze nazvat Bernoulliho proměnnou .
Bernoulliho proces je markovský řetězec . Jeho strom pravděpodobnosti je binární strom .
Bernoulliho proces je diskrétní stochastický proces, který se skládá z konečné nebo nekonečné řady nezávislých náhodných proměnných X 1 , X 2 , X 3 … jako například:
Jinými slovy, Bernoulliho proces je řada nezávislých a rovnocenných Bernoulliho testů . Dvě možné hodnoty pro každé X i se často označují jako „úspěch“ a „selhání“, a proto, když se vyjádří jako 0 nebo 1, je hodnota popsána jako počet úspěchů po i -tom „testu“ . Rozdílný vyhověl / nevyhověl proměnných Xa i jsou také nazývány Bernoulli testy.
Nezávislost Bernoulliho testů předpokládá vlastnost absence paměti: minulé testy neposkytují žádné informace o budoucích výsledcích. Budoucí důkazy od jakéhokoli okamžiku tvoří také Bernoulliho proces nezávislý na minulosti (počáteční vlastnost nová).
Mezi náhodné proměnné spojené s Bernoulliho procesem patří
Problém spuštění procesu pouze s konečným vzorkem Bernoulliho důkazů je známý jako problém kontroly, zda je součást normální .
Bernoulliho proces lze formalizovat v jazyce prostorů pravděpodobnosti . Bernoulliho proces je prostor pravděpodobnosti (Ω, Pr) spojený s rodinou náhodných proměnných nezávislých na X i definovaných v tomto prostoru s hodnotami v {0; 1} a takové, že pro každé i máme
X i = 1 s pravděpodobností p a X i = 0 s pravděpodobností 1 - p .
Vzhledem k tomu, Bernoulliho proces definovaný na prostoru pravděpodobnosti (co, Pr) , můžeme přiřadit ke každé Q ∈ Q je posloupnost celých čísel
zavolal Bernoulliho apartmá . Pokud tedy například ω představuje řadu losování mincí, pak je Bernoulliho sekvence seznam celých čísel, pro která jsme získali hlavy .
Téměř všechna Bernoulliho apartmá jsou ergodická apartmá .
Vzhledem k Bernoulliho procesu s p ≠ 1/2 můžeme odvodit Bernoulliho proces s p = 1/2 díky Von Neumannovu extraktoru, nejstaršímu náhodnému extraktoru .
Ze sekvence 0 a původní 1 extrahujeme novou sekvenci 0 a 1 seskupením hodnot do párů po sobě jdoucích 0 a 1. Z těchto párů odvodíme novou posloupnost 0 a 1 následovně:
Konverzní tabulka je tedy následující:
Vchod | výstup |
---|---|
00 | nic |
01 | 0 |
10 | 1 |
11 | nic |
Vzhledem k tomu, že k vytvoření jedné nebo žádné hodnoty je zapotřebí dvou vstupních hodnot, bude výstup alespoň dvakrát tak krátký jako vstup. Zaznamenáním q = 1 - p extraktor eliminuje v průměru p 2 + q 2 vstupních dat. Tato hodnota je minimální, když p = 1/2 , kde eliminuje polovinu vstupních párů, a v tomto případě bude výstup v průměru čtyřikrát kratší než vstup.
Výstupní data zahrnují stejný počet 0 s a 1 s, protože 10 a 01 jsou stejně pravděpodobné, protože oba mají pravděpodobnost pq .
Jako každý test má jeden ze dvou výsledků, sekvence testů mohou být reprezentovány pomocí binárních číslic jednoho reálného čísla . Pokud je pravděpodobnost p je 1/2, všechny možné sekvence jsou equiprobable, což je důvod, proč opatření z kmene procesu Bernoulliho je rovnocenná jednotným opatření po pauze jednotky : jinými slovy, reálná čísla jsou rovnoměrně rozděleny na jednotkový interval.
Operátoru posunutí T, která přechází do další náhodné proměnné,
pak odpovídá Bernoulliho posunu nebo dyadické funkci
kde z ∈ [0; 1] představuje danou řadu měr a kde E ( z ) je celočíselná část , největší celé číslo menší nebo rovno z . Hovorově řečeno, Bernoulliho posun „přeskočí“ číslici úplně vlevo binární reprezentace z .
Bernoulliho posun je rozpustný model přesně deterministického chaosu . Operátor evoluce , nazývaný také provozovatel Frobenius-Perron, posunu Bernoulliho lze určit; jeho vlastní čísla jsou mocniny 1/2 a jeho vlastní funkce jsou Bernoulliho polynomy .
V ergodické teorii se zobecnění Bernoulliho procesu na dva nebo více výsledků nazývá Bernoulliho schéma .
Ve francouzském sekundárním vzdělávání označuje Bernoulliho diagram parametrů n a p řadu n nezávislých Bernoulliho testů se stejným parametrem p .