Nilpotentní matice je matice , která je síla rovná nula matrici . Odpovídá představě nilpotentního endomorfismu v konečném dimenzionálním vektorovém prostoru .
Tento pojem často usnadňuje maticový výpočet. Ve skutečnosti, pokud je charakteristický polynom matice rozdělen (tj. Rozložitelný na součin faktorů prvního stupně, což je například případ, kdy je pole koeficientů algebraicky uzavřeno), pak má související endomorfismus Dunfordův rozklad . Díky tomu je možné ve výpočtech redukovat na podobnou matici (získanou změnou základny pomocí matice průchodu ) jednodušší, součet dvou matic, které dojíždějí, jedné diagonální a druhé nilpotentní. Tato redukce matic hraje důležitou roli při řešení systému lineárních rovnic a řešení lineárních diferenciálních rovnic .
Teoretickým aspektům, jakož i hlavní části důkazů uvedených tvrzení, se věnuje článek Nilpotentní endomorfismus .
Říkáme, že čtvercová matice A je nilpotentní, pokud existuje přirozené celé číslo p takové, že matice A p je nula. Index nilpotence je pak nejmenší p .
Pojmy nilpotentní matice a nilpotentní endomorfismus úzce souvisí:
Nechť E je konečný rozměrný vektorový prostor , u endomorphism a jehož matrice se v některých základu . A je nilpotentní právě tehdy, pokud je endomorfismus nilpotentní , tj. Existuje celé číslo p > 0 takové, že u p = 0, kde u p označuje a 0 je nulový endomorfismus. Nejmenší hodnota p, která to splňuje, se nazývá index (nilpotence). Index nilpotentního endomorfismu je vždy menší nebo roven dimenzi prostoru.
Poznámka: součin dvou nenulových matic může být nula. Například matice je nilpotentní indexu 2, to znamená, že není nula, ale 2 = 0.
Uvažujme skutečný vektorový prostor dimenze 3 s bází B = ( e 1 , e 2 , e 3 ). Uvažujme tedy endomorfismus u definovaný jeho následující maticovou reprezentací v základně B :
Výpočtem maticového vyjádření u 2 a potom u 3 zjistíme:
Vzhledem k tomu, u 3 je nula endomorphism, u skutečně nilpotentní s indexem 3.
Pojďme tedy určit charakteristický polynom P endomorfismu u :
Máme rovnost P ( X ) = - X 3 . V případě, že se rozměr vektorového prostoru rovná n , je nezbytnou a dostatečnou podmínkou pro to, aby endomorfismus byl nilpotentní, aby jeho charakteristický polynom byl roven (- X ) n .
Teorie minimálních polynomů nám říká, že výpočet charakteristického polynomu je v tomto příkladu zbytečný. Polynom X 3 ruší endomorfismus. Minimální polynom je pak dělitelem tohoto polynomu. Jediný normalizovaný dělitel (tj. Jehož monomiál nejvyššího stupně se rovná 1) - X 3, který ruší u, je však sám. Cayley-Hamilton teorém nám říká, že minimální polynom rozděluje charakteristický polynom. Stačí tedy poznamenat, že charakteristický polynom má stupeň rovný dimenzi prostoru, abychom jej získali bez výpočtu. Nutnou a dostatečnou podmínkou pro to, aby endomorfismus byl nilpotentní, je to, že jeho minimální polynom má formu X p .
Uvažujme tedy vektor e 1 . Index tohoto vektoru je 3 a rodina ( E 1 , u ( e 1 ), u 2 ( e 1 )), je volný . Kromě toho je jeho kardinál dimenzí prostoru. Tato rodina je tedy základnou. V této databázi má maticová reprezentace u následující podobu:
Tyto vlastnosti jsou opět obecné pro nilpotentní endomorfismus. V obecném případě rozměru n , pokud x je vektor index p pak p je menší než nebo se rovná n a rodina ( x , u ( x ), ..., u p-1 ( x )), je volný. Kromě toho vždy existuje základ ( e 1 , e 2 ,…, e n ) takový, že u ( e i ) se rovná buď 0 nebo e i +1 , přičemž u ( e n ) = 0. C 'je snížený základ pro nilpotentní endomorfismus.
Pro jakýkoli kruh R je přísně trojúhelníková matice A ∈ M n ( R ), to znamená trojúhelníková a s nulovou úhlopříčkou, nilpotentní, protože A n = 0.
Nilpotentní matice mají obzvláště jednoduchou zmenšenou formu.
Tento výsledek je přímým důsledkem maticového vyjádření nilpotentního endomorfismu pro konečnou dimenzionální redukci .
Další důsledek vlastností nilpotentních endomorfismů je následující:
Jeho snížené zastoupení umožňuje okamžitě vypočítat jeho determinant a jeho stopu :
Pokud jsou A a B dvě dojíždějící čtvercové matice stejné dimenze, pak pokud jsou nilpotentní, tak i jejich produkty a všechny lineární kombinace.
Ve skutečnosti, ať p větší ze dvou ukazatelů A a B . Tak :
a protože buď i nebo 2 p - i je větší nebo rovno p :
Pro jakoukoli složitou čtvercovou matici A představuje:
Tato definice má smysl, neboť by s ohledem na jakékoliv matrice normu , tento cyklus je absolutně konvergentní . Navíc, pokud a B dojíždět poté . Zejména matice exp ( A ) je invertibilní a její inverzní je exp (- A ).
Můžeme si všimnout, že pokud A je nilpotentní index q, pak - A je také a
.