Cayley-Hamiltonova věta

V lineární algebře se Cayley-Hamilton teorém tvrdí, že jakýkoliv endomorphism z konečného trojrozměrného vektorového prostoru na každém komutativní oblasti ruší vlastní charakteristický polynom .

Z hlediska matice to znamená, že pokud A je čtvercová matice řádu n a pokud

$p (X) = \ det (XI_ {n} -A) = X ^ {n} + p _ {{n-1}} X ^ {{n-1}} + \ ldots + p_ {1} X + p_ {0}$

je jeho charakteristický polynom ( polynom z neurčité X ), pak formálně nahrazením X pomocí matice A v polynomu, výsledkem je nulový matice:

$p (A) = A ^ {n} + p _ {{n-1}} A ^ {{n-1}} + \ ldots + p_ {1} A + p_ {0} I_ {n} = 0_ { n}. \;$

Cayley-Hamiltonova věta platí také pro čtvercové matice s koeficienty v libovolném komutativním kruhu .

Důležitý důsledek Cayley-Hamiltonovy věty uvádí, že minimální polynom dané matice je dělitelem jeho charakteristického polynomu .

Ačkoli nese jména matematiků Arthura Cayleyho a Williama Hamiltona , první důkaz této věty podal Ferdinand Georg Frobenius v roce 1878, Cayley jej použil hlavně ve své práci a Hamilton ho předvedl v dimenzi 2.

Motivace

Tato věta má dvě rodiny použití:

Umožňuje stanovit teoretické výsledky, například vypočítat polynomiální charakteristiku nilpotentního endomorfismu.
Umožňuje také výrazné zjednodušení maticových výpočtů. Přístup pomocí minimálních polynomů je obecně levnější než přístup determinantů.

Tuto větu najdeme v článcích o polynomech endomorfismu , nilpotentních endomorfismech a obecněji v obecné teorii matic .

Příklad

Zvažte například matici

A = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {pmatrix}}

Charakteristický polynom je zapsán

p (X) = \ det {\ begin {pmatrix} X-1 & -2 \\ - 3 & X-4 \ end {pmatrix}} = (X-1) (X-4) - (- 2) ( - 3) = X ^ {2} -5X-2.

Cayley-Hamiltonova věta to říká

A ^ {2} -5A-2I_ {2} = 0

a tento vztah lze v tomto případě rychle ověřit. Cayley-Hamiltonova věta navíc umožňuje vypočítat mocniny matice jednodušeji než přímým výpočtem. Vraťme se k předchozímu vztahu

A ^ {2} -5A-2I_ {2} = 0

A ^ {2} = 5A + 2I_ {2}

Tak například pro výpočet A 4 , my můžeme psát

A ^ {3} = (5A + 2I_ {2}) A = 5A ^ {2} + 2A = 5 (5A + 2I_ {2}) + 2A = 27A + 10I_ {2}

a on přijde

A ^ {4} = A ^ {3} A = (27A + 10I_ {2}) A = 27A ^ {2} + 10A = 27 (5A + 2I_ {2}) + 10A

A ^ {4} = 145A + 54I_ {2}

Můžeme také použít počáteční polynomický vztah k prokázání invertovatelnosti A a výpočtu jeho inverze. Stačí započítat mocninu A, kde je to možné, a $A ^ {2} -5A-2I_ {2} = 0$

A (A-5I_ {2}) = 2I_ {2}

což ukazuje, že A připouští inverzi

A ^ {{- 1}} = {\ frac 12} (A-5I_ {2})

Demonstrace

Existuje mnoho důkazů o této větě; nejjednodušší v principu spočívá v tom, že si všimneme, že výsledek je téměř zřejmý pro diagonální matici , a pak to dokázat pro diagonalizovatelnou matici A (když si všimneme, že je to podobné a dvě podobné matice mají stejný determinant); jeden je zakončen využitím skutečnosti, že na komplexech je sada diagonalizovatelných matic hustá . Bohužel je těžké tento důkaz zobecnit na jiné sady skalárů. $XI_ {n} -A$ ${\ displaystyle XI_ {n} -D}$

Čistě algebraický důkaz

Ať už je matice jakákoli , existuje výslovně určená matice $Comp ($ $S$ $)$ , doplňková matice $S$ , která splňuje . Matrice $Comp ($ $S$ $)$ je provedena z adjugate matrice nebo matrice kofaktorů v $S$ . Tento vztah stále zůstává pravdivý, pokud koeficienty $S$ patří do kruhu, protože nebyly provedeny žádné dělení. Můžeme se tedy zeptat , čí koeficienty jsou a máme vztah: $S \ in {\ mathcal {M}} _ {n} ({\ mathbb {K}})$ ${\ displaystyle S {\ textrm {Comp}} (S) = {\ textrm {Comp}} (S) S = \ det (S) I_ {n}}$ $S = XI_ {n} -A$ ${\ mathbb {K}} [X]$

(XI_ {n} -A) {\ textrm {Comp}} (XI_ {n} -A) = \ det (XI_ {n} -A) I_ {n} = p (X) I_ {n}. \ \ (1)

Začněme od (1), psaním

{\ textrm {Comp}} (XI_ {n} -A) = \ sum _ {{j = 0}} ^ {{n-1}} B_ {j} X ^ {j}

s , a $B_ {j} \ in {\ mathcal {M}} _ {n} ({\ mathbb {K}})$

p (X) = \ sum _ {{j = 0}} ^ {n} p_ {j} X ^ {j}.

Můžeme produkt vyvinout : $(XI_ {n} -A) {\ textrm {Comp}} (XI_ {n} -A)$

(XI_ {n} -A) {\ textrm {Comp}} (XI_ {n} -A) = X ^ {{n}} B _ {{n-1}} + \ sum _ {{i = 1} } ^ {{n-1}} X ^ {i} (B _ {{i-1}} - AB _ {{i}}) - AB_ {0} \ \ (2),

který je totožný s

\ sum _ {{j = 0}} ^ {n} X ^ {j} p_ {j} I_ {n}. \ \ (3)

Polynomy (2) a (3) jsou stejné. Proto,

p _ {{n}} I_ {n} = B _ {{n-1}}, \ quad p_ {i} I_ {n} = B _ {{i-1}} - AB _ {{i}} , \ quad p_ {0} I_ {n} = - AB_ {0}

Pak přichází teleskop :

{\ begin {aligned} p (A) & = \ sum _ {{j = 0}} ^ {n} A ^ {j} (p_ {j} I_ {n}) \\ & = A ^ {n} B _ {{n-1}} + \ sum _ {{i = 1}} ^ {{n-1}} A ^ {i} (B _ {{i-1}} - AB _ {{i} }) - AB_ {0} \\ & = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} A ^ {i} B _ {{i-1}} - \ sum _ {{i = 0}} ^ {{n -1}} A ^ {{i + 1}} B_ {i} \\ & = 0 \ end {zarovnáno}}

Důkaz nespočívá v nahrazení $X$ za $A$ v rovnosti polynomů (což by se rovnalo porovnání polynomu a maticového polynomu), ale v identifikaci jejich koeficientů.

Varianta

Můžeme také sladit abstraktní myšlenky.

Začněme zavedením morfismu hodnocení vhodného pro řešení problému. Nejprve zapneme komutativní algebru a máme morfismus hodnocení: (který posílá dál a dál jakoukoli skalární $λ$ ). Tento komutativní prstencový morfismus indukuje morfismus hodnocení na prstencích matice . ${\ mathbb {K}} [A]$ $\ mathbb {K}$ ${\ mathbb {K}} [X] \ do {\ mathbb {K}} [A]$ $X$ $NA$ $\ lambda$ $\ lambda I_ {n}$ ${\ mathcal {M}} _ {n} ({\ mathbb {K}} [X]) \ do {\ mathcal {M}} _ {n} ({\ mathbb {K}} [A])$

Pomocný zápis budou užitečné pro nás: pro dvě čtvercové matice $( n , n )$ zjištěných a budeme na vědomí, matici s matrice koeficientů obecný termín . Pokud čtenář zná produkt Kronecker dvou matic, bude si moci všimnout, že je prakticky totožný, kromě toho, že je to matice $($ $n$ $,$ $n$ $),$ jejíž koeficienty jsou matice $($ $n$ $,$ $n$ $),$ zatímco je matice $($ $n$ $2$ $,$ $n$ $2$ $)$ . Níže uvedené vzorce obsahují pouze dva konkrétní případy této operace: produkty ve formě , tj. Čtvercové matice s $C$ na úhlopříčce a $0$ jinde, a součin, který je - řekněme variantou $A,$ kde matice nahradí koeficient . $C = (c _ {{ij}})$ $D = (d _ {{ij}})$ $C \ trojúhelníkové světlo D$ $c _ {{ij}} D$ $C \ trojúhelníkové světlo D$ $C \ otimes D$ $C \ trojúhelníkové světlo D$ $C \ otimes D$ $I_ {n} \ trojúhelníkové světlo C$ $\ Trojúhelníkové světlo I_ {n}$ $a _ {{ij}} I_ {n}$ $a _ {{ij}}$

V této sadě notací aplikujme morfismus hodnocení na vztah:

(XI_ {n} -A) \, {\ textrm {Comp}} (XI_ {n} -A) = p (X) I_ {n}.

Dostaneme vztah

(I_ {n} \ triangleright AA \ triangleright I_ {n}) \, M = I_ {n} \ triangleright p (A) \ qquad (*)

ve kterém $M$ je určitá matice s koeficienty, ve které člověk nebude muset nic vědět. ${\ mathbb {K}} [A]$

Napsali jsme tedy správný vzorec a trpíme tím: nejsme hotovi, vyhodnocení rigorózní technikou neposkytuje $0,$ ale bizarní matici s maticovými koeficienty. $XI_ {n} -A$

K závěru je zapotřebí druhá myšlenka. Spočívá v povšimnutí, že pokud je kruh a $E$ a -modul vpravo, pro všechna celá čísla $r$ , $s$ , $t$ můžeme definovat pomocí obvyklých vzorců maticový součin: ${\ mathbb {A}}$ ${\ mathbb A}$

{\ mathcal {M}} _ {{rs}} (E) \ times {\ mathcal {M}} _ {{st}} ({\ mathbb {A}}) \ do {\ mathcal {M}} _ {{rt}} (E)

pro které máme asociativitu, pokud chceme vypočítat produkty se třemi termíny:

{\ mathcal {M}} _ {{rs}} (E) \ times {\ mathcal {M}} _ {{st}} ({\ mathbb {A}}) \ times {\ mathcal {M}} _ {{tu}} ({\ mathbb {A}}) \ na {\ mathcal {M}} _ {{ru}} (E).

Aplikujme tuto představu na (pro puristy ), což je modul (jehož násobení je psáno spontánně vlevo, ale může být psáno napravo, pokud je to preferováno, kruh je komutativní) na komutativním kruhu , přičemž vnější násobení je aplikace: definováno (toto $BE$ je obyčejný maticový produkt čtvercové matice $B$ sloupcovou maticí $E$ ). $E = {\ mathbb {K}} ^ {n}$ $E = {\ mathcal {M}} _ {{n1}} ({\ mathbb {K}})$ ${\ mathbb {A}} = {\ mathbb {K}} (A)$ ${\ mathcal {M}} _ {{n1}} ({\ mathbb {K}}) \ times {\ mathbb {K}} (A)$ $(E, B) \ mapsto BE$

Vynásobte vlevo vztah řádkovým vektorem, kde označuje kanonický základ : pomocí pravého výrazu dostaneme vektor řádků . $(*)$ ${\ begin {pmatrix} e_ {1} & \ cdots & e_ {n} \ end {pmatrix}}$ $(e_ {1}, \ ldots, e_ {n})$ ${\ mathbb {K}} ^ {n}$ $(*)$ ${\ begin {pmatrix} p (A) e_ {1} & \ ldots & p (A) e_ {n} \ end {pmatrix}}$

Pokud nyní použijeme výraz vlevo a posuneme závorky asociativitou poněkud neobvyklého násobení matic popsaného výše, jsme vedeni k výpočtu produktu: $(*)$

{\ begin {pmatrix} e_ {1} & \ ldots & e_ {n} \ end {pmatrix}} (I_ {n} \ triangleright AA \ triangleright I_ {n}).

Pro každý index $j$ můžeme jen poznamenat, že jeho $j$ -ta složka má hodnotu:

Ae_ {j} - \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} (a _ {{ij}} I_ {n}) e_ {i} = Ae_ {j} - \ sum _ {{i = 1 }} ^ {n} a _ {{ij}} e_ {i} = 0

Vynásobením tohoto napravo neškodnou maticí $M$ a porovnáním dvou výrazů součinu dospějeme k závěru, že pro jakýkoli index $j$ , $p ( A ) e j = 0$ .

A tak $p ( A ) = 0$ .

Další poznámky k demonstraci

Uvedená demonstrace se vyhýbá substituci maticí v nekomutativním kontextu, ale provedené manipulace jsou přesto blízké této myšlence: rozložili jsme rovnici na komponenty podle pravomocí , vynásobili jsme na zanechal komponentu, která byla faktorem , a my jsme přidali všechno dohromady. Ve skutečnosti jsme použili operaci definovanou v (5), aniž by za předpokladu, že se jedná o homomorfismu prstenců, z v . Operace je vyhodnocení vlevo , protože násobení neurčitým skalárem je nahrazeno násobením vlevo . $X$ $X$ $A ^ {j}$ $X ^ {j}$ ${\ textrm {Ev}} _ {A}$ ${\ mathcal {M}} _ {n} ({\ mathbb {K}}) [X]$ ${M} _ {n} ({\ mathbb {K}})$ ${\ textrm {Ev}} _ {A}$ $X$ $NA$

Dalším důležitým poznatkem je, že přesný tvar polynomu není relevantní. Je zde tedy něco, co by se dalo využít, což matematici nezklamali. ${\ textrm {Comp}} (XI_ {n} -A)$

Dovolit být nekomutativní prsten; můžeme definovat euklidovské dělení polynomu jednotkovým polynomem . Konkrétně jsou dva polynomy se ze stupně striktně nižší než stupeň , jako je například $M$ $P \ v M [X]$ $B$ $Q, R \ v M [X]$ $R$ $B$

P = BQ + R.

Důkaz je zcela analogický důkazu skalárního případu. Pokud , pak zbytek je stupně , a proto totožný s konstantou patřící k . Ale v tomto případě, uvažováním přesně jako v důkazu Cayley-Hamiltonovy věty, dospějeme k závěru $B = XI_ {n} -A$ $R$ ${\ displaystyle 0}$ $M$

{\ textrm {Ev}} _ {A} (P) = R.

Z toho vyplývá, že je nula právě tehdy, když je dělitelná . ${\ textrm {Ev}} _ {A} (P)$ $P$ $XI_ {n} -A$

Důkaz Cayley-Hamiltonovy věty poskytuje i další informace: polynom je kvocient nalevo od par . Jelikož a oba patří do komutativního dílčího kruhu , dělení vlevo probíhá zcela v tomto dílčím kruhu, takže se jedná o běžné dělení. Maticové koeficienty jsou zejména lineární kombinace mocnin . Jinými slovy, komplementární matice matice je polynom, ve kterém není snadné odvodit přímo z definice doplňkové matice. Lepší je, když můžeme explicitně vypočítat jeho koeficienty z koeficientů charakteristického polynomu , protože jde o vytvoření obyčejného euklidovského dělení, a najdeme ${\ textrm {Comp}} (XI_ {n} -A)$ $p (X) I_ {n}$ $XI_ {n} -A$ $p (X) I_ {n}$ $XI_ {n} -A$ ${\ mathrm {K}} [A] [X]$ ${\ textrm {Comp}} (XI_ {n} -A)$ $NA$ $NA$ $NA$ $p (X)$

{\ textrm {Comp (-A)}} = \ sum _ {{j = 1}} ^ {n} p_ {j} A ^ {{j-1}}.

Mohli jsme také získat tento vztah přímo z Cayley-Hamiltonovy věty, na základě identity

p_ {0} I_ {n} = \ det (-A) I_ {n} = - A \ cdot {\ textrm {Comp}} (- A) = {\ textrm {Comp}} (- A) \ cdot - NA

Abstrakce a zobecnění

Důkaz uvedeny výše, pouze využívá komutativní prsten vlastnosti pole K , protože nezahrnuje dělení části tohoto prstence, ale jen se spoléhá na Laplaceova formule , platný pro matrice s koeficienty v každém komutativní kruhu B . Můžeme tedy zobecnit Cayley-Hamiltonovu větu pro tento případ pomocí Laplaceova vzorce pro matice s koeficienty v kruhu B = R [ X ], kde R je libovolný komutativní kruh:

Pro libovolnou čtvercovou matici A o velikosti n x n s koeficienty v komutativním kruhu R , pokud označíme

p_ {A} (X) = \ det (XI_ {n} -A) \,

my máme :

p_ {A} (A) = 0 \,

Nechť M pak konečného typu modul na tomto kruhu R (obdoba pojmu konečných dimenzionální vektorový prostor přes pole, ale bez existence bází: M má pouze omezené rodin generujících ), a nechat φ je endomorfismů z M , Cayley-Hamilton teorém umožňuje stavět takto cp polynomy , které vypadnou z M : buď ( e 1 , e 2 , ..., e n ) vytváří rodinnou M . Najdeme prvky z R takové, že $a _ {{ij}}$

\ varphi (e_ {j}) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} a _ {{ij}} e_ {i},

a označíme A matici n x n tvořenou těmito koeficienty. Tato matice není jedinečná, dokonce ani pro pevnou generující rodinu, protože se o této rodině nepředpokládalo, že je volná . Z vzorce to nicméně odvodíme . $p_ {A} (A) = 0$ $p_ {A} (\ varphi) = 0$

Z několika důkazů Cayley-Hamiltonovy věty v kontextu komutativních prstenů zdůrazníme eleganci obecného důkazu , jehož princip je abstraktní, ale v algebře běžný: je založen na poznámce, že pro čtvercové matice A o velikosti n opraveno, identita je systém n 2 univerzálních identit polynomiálních koeficientů a . To znamená pro jakoukoli matici A koeficientů v libovolném komutativním kruhu, kde označuje určitou čtvercovou matici velikosti n s koeficienty v kruhu polynomů s n 2 neurčitými (tato univerzální matice U je nezávislá na A, protože právě vyplývá z expanze vzorce determinantu a mocniny matic n × n ). K prokázání teorém pro jakýkoli matice A v každém komutativního prstenu, je proto postačující pro ověření, že tato matice je nula, to znamená, aby dokázal větu pouze pro jednu matrici : Matrix Y , jehož koeficienty jsou prstencové prvky R . $p_ {A} (A) = 0$ $p_ {A} (A) = U (a _ {{i, j}})$ $a_ {i, j}$ $U (Y _ {{i, j}})$ $R = \ mathbb {Z} [(Y _ {{i, j}}) _ {{1 \ leq i \ leq n, 1 \ leq j \ leq n}}]$ $U (Y _ {{i, j}})$ $Y _ {{i, j}}$

Obecná demonstrace

Nechť (tedy ), a ať K je pole algebraicky uzavřený obsahující R (například nejmenší: ZAŘÍZENÍ algebraické uzavření jeho oblasti frakcí ). $V (X) = \ det (XI_ {n} -Y) \ v R [X]$ $U (Y _ {{i, j}}) = V (Y) \ in {{\ mathcal M}} _ {n} (R)$
Polynom V ( X ) má jednoduché kořeny v K, protože jeho diskriminátor je nenulový. Ve skutečnosti, protože výslednice dvou polynomů daných stupňů je ve svých koeficientech zapsána jako univerzální polynom, je diskriminátor V ( X ) také zapsán jako univerzální polynom tak, že pro jakoukoli matici A je diskriminátor roven . Nyní existují matice A, pro které : například diagonální matice s celočíselnými koeficienty úhlopříčky 1, 2, ..., n . $W (Y _ {{i, j}}) \ v R.$ $\ det (XI_ {n} -A)$ $W (a _ {{i, j}})$ $W (a _ {{i, j}}) \ neq 0$
Matice Y je proto diagonalizovatelná na K : s P invertibilní a D úhlopříčka, proto pro D je Cayley-Hamiltonova věta okamžitá, což nám umožňuje uzavřít: $Y = PDP ^ {{- 1}}$

V (X) = \ det (XI_ {n} -D) \ Rightarrow V (D) = 0 \ Rightarrow U (Y _ {{i, j}}) = V (Y) = PV (D) P ^ { {-1}} = P0P ^ {{- 1}} = 0.

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „ Cayley-Hamilton Theorem “ ( viz seznam autorů ) .

Naivní chyba spočívá v tom, že pro pevnou matici A : nahradíme X za A ve vzorci, který definuje p ( X ), což dává p ( A ) = det ( AI n - A ) = det (0) = 0 Chyba spočívá v pořadí kroků „vyhodnocení determinantu“ a „substituce od A do X “. Det ( AI n - A ) je navíc skalární, zatímco skutečná hodnota p ( A ) je matice. Je pravda, že zde je matice nula (podle věty) a také skalární ( triviálně ), ale snadno najdeme příklady stejného typu, kde jeden je nula a ne druhý, jako a q ( X ) = det ( A + XI 2 ). $A = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}$
Michel Coste, „ Prezentace 30 demonstrací “ , na University of Rennes 1 .
Tento důkaz je ten, který se objevuje v Úvod do komutativní algebry , MF Atiyah a IG Macdonald, Addison-Wesley, ( ISBN 0-201-00361-9 ) , s. 21 .
Jean-Pierre Escofier, Všechna algebra licence: Kurz a opravená cvičení , Dunod,2011, 3 e ed. ( číst online ) , s. 539, cvičení 20.11.
(in) Keith Conrad, „ Univerzální identity, já “ na University of Connecticut .
Henri Lombardi a Claude Left, komutativní algebra - konstruktivní metody - projektivní moduly konečného typu , Calvage & Mounet,2016( 1 st ed. 2011) ( arXiv 1.611,02942 , on-line prezentace ) , str. 96-97.
Lombardi a Quitté 2016 , s. 108-111.