Podepsané opatření

V matematiky a konkrétněji v měření teorii , je podepsán měření je rozšíření pojmu měření v tom smyslu, že negativní hodnoty jsou povoleny, což není případ s klasickým měření, které je, podle definice, s kladnými hodnotami.

Definice

Uvažujme o měřitelném prostoru , to znamená o dvojici tvořené množinou vybavenou kmenem . Podepsaná míra je funkce(X,NA){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})} X{\ displaystyle X} NA{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}

σ:NA→R¯: =R∪{-∞,+∞}{\ displaystyle \ sigma: {\ mathcal {A}} \ na {\ overline {\ mathbb {R}}}: = \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}

který kontroluje následující dvě vlastnosti

• σ(∅)=0{\ displaystyle \ sigma (\ varnothing) = 0} ;
• ( Sigma aditivita ) pro každou sekvenci z disjunktních množin v  :(NAne)ne∈NE{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}NA{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}

∑ne≥0μ(NAne) je definována v R¯   a   μ(⋃ne=0∞NAne)=∑ne=0∞μ(NAne){\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} \ mu (A_ {n}) {\ text {je definován v}} {\ overline {\ mathbb {R}}} ~~ {\ text {and}} ~ ~ \ mu \ left (\ bigcup _ {n = 0} ^ {\ infty} A_ {n} \ right) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ mu (A_ {n})}.

Podepsané měření se říká, že je dokončeno, pokud má pouze skutečné hodnoty, to znamená, že nikdy nebere hodnoty, nebo . -∞{\ displaystyle - \ infty}+∞{\ displaystyle + \ infty}

Abychom objasnili, použijeme termín „pozitivní měření“ namísto jednoduchého „měření“ pro podepsaná měření, která nikdy nepřijímají přísně záporné hodnoty.

Vlastnosti

V této části je podepsaná míra na měřitelném prostoru . σ{\ displaystyle \ sigma}(X,NA){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}

Pokud míra se znaménkem přebírá hodnotu, pak ji nikdy nepřijímá a naopak. Přesněji-∞{\ displaystyle - \ infty}+∞{\ displaystyle + \ infty}

Vlastnost  -  Neexistují žádné takové jako a . NA,B∈NA{\ displaystyle A, B \ v {\ mathcal {A}}}σ(NA)=-∞{\ displaystyle \ sigma (A) = - \ infty}σ(B)=+∞{\ displaystyle \ sigma (B) = + \ infty}

Pokud je měřitelná množina A konečné míry, pak jsou všechny tyto měřitelné podmnožiny stále konečné míry. Celkem

Majetek  -  Pokud je takový, že pak pro všechno, co také máme . NA∈NA{\ displaystyle A \ v {\ mathcal {A}}}σ(NA)∈R{\ displaystyle \ sigma (A) \ v \ mathbb {R}}B⊂NA,B∈NA,{\ displaystyle B \ podmnožina A, \, B \ v {\ mathcal {A}},}σ(B)∈R{\ displaystyle \ sigma (B) \ v \ mathbb {R}}

Podepsaná míra je konečná právě tehdy, je-li ohraničená. Jinými slovy

Vlastnost (ohraničená stejně jako konečná)  -  je ohraničená. ∀NA∈NA,σ(NA)∈R⟺{σ(NA):NA∈NA}{\ displaystyle \ forall \, A \ in {\ mathcal {A}}, \, \ sigma (A) \ in \ mathbb {R} \ Longleftrightarrow \ {\ sigma (A): \, A \ in {\ mathcal {NA}}\}}

Máme následující vztahy

Vlastnost (základní vztahy)  -  1) Pokud jsou takové, že a pak . NA,B∈NA{\ displaystyle A, B \ v {\ mathcal {A}}}σ(B)∈R{\ displaystyle \ sigma (B) \ v \ mathbb {R}}B⊂NA{\ displaystyle B \ podmnožina A}σ(NA∖B)=σ(NA)-σ(B){\ displaystyle \ sigma (A \ setminus B) = \ sigma (A) - \ sigma (B)}

2) Za všechno, co máme . NA,B∈NA{\ displaystyle A, B \ v {\ mathcal {A}}}σ(NA∪B)+σ(NA∩B)=σ(NA)+σ(B){\ Displaystyle \ sigma (A \ cup B) + \ sigma (A \ cap B) = \ sigma (A) + \ sigma (B)}

3) Za všechno, co máme . NA,B∈NA{\ displaystyle A, B \ v {\ mathcal {A}}}σ(NAΔB)+2σ(NA∩B)=σ(NA)+σ(B){\ Displaystyle \ sigma (A \ Delta B) +2 \ sigma (A \ cap B) = \ sigma (A) + \ sigma (B)}

Následující výsledek je podobný vlastnosti kontinuity podepsané míry

Vlastnost (kontinuita podepsaných měr)  -  1) Pokud je rostoucí posloupnost (pro zahrnutí) měřitelných množin, pak (NAne)ne{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n}}

σ(⋃neNAne)=limneσ(NAne){\ displaystyle \ sigma \ left (\ bigcup _ {n} A_ {n} \ right) = \ lim _ {n} \ sigma (A_ {n})}.

2) Je- li klesající posloupnost (pro zahrnutí) měřitelných množin, které nejsou všechny míry pak (NAne)ne{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n}}±∞{\ displaystyle \ pm \ infty}

σ(⋂neNAne)=limneσ(NAne){\ displaystyle \ sigma \ left (\ bigcap _ {n} A_ {n} \ right) = \ lim _ {n} \ sigma (A_ {n})}.

Příklady

• Pokud jsou v měřitelném prostoru dvě pozitivní míry a pokud je jedna z nich konečná, pak je jejich rozdíl podepsanou mírou .μ1,μ2{\ displaystyle \ mu _ {1}, \ mu _ {2}}(X,NA){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}σ=μ1-μ2{\ displaystyle \ sigma = \ mu _ {1} - \ mu _ {2}}(X,NA){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}
• Nechť je měřený prostor (s pozitivním opatřením). Dovolit být integrovatelná funkce s reálnými hodnotami, pak se funkce(X,NA,μ){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}μ{\ displaystyle \ mu}F∈L1(X,NA,μ){\ displaystyle f \ in {\ mathcal {L}} ^ {1} (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}

σ:NA→RNA↦∫NAF(X)dμ{\ displaystyle {\ begin {array} {cccc} \ sigma: & {\ mathcal {A}} & \ to & \ mathbb {R} \\ & A & \ mapsto & \ int _ {A} f (x) d \ mu \ end {pole}}}je podepsané opatření dokončeno dne .(X,NA){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}Navíc, pokud jsme si stanovili , a kde jsou příslušné kladné a záporné části z , pak jsou pozitivní opatření týkající se a .μ1(NA): =∫NAF+dμ{\ displaystyle \ mu _ {1} (A): = \ int _ {A} f ^ {+} d \ mu}μ2(NA): =∫NAF-dμ{\ displaystyle \ mu _ {2} (A): = \ int _ {A} f ^ {-} d \ mu}F+,F-{\ displaystyle f ^ {+}, f ^ {-}}F{\ displaystyle f}μ1,μ2{\ displaystyle \ mu _ {1}, \ mu _ {2}}(X,NA){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}σ=μ1-μ2{\ displaystyle \ sigma = \ mu _ {1} - \ mu _ {2}}

Hahnův rozklad

Definice (zcela záporná, nulová a kladná množina)  -  Dovolte být podepsanou mírou na měřitelném prostoru a . My říkáme, že pro , je σ{\ displaystyle \ sigma}(X,NA){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}NA∈NA{\ displaystyle A \ v {\ mathcal {A}}}σ{\ displaystyle \ sigma}NA{\ displaystyle A}

1) zcela negativní, pokud pro jakoukoli měřitelnou množinu máme  ; B⊂NA{\ displaystyle B \ podmnožina A}σ(B)≤0{\ displaystyle \ sigma (B) \ leq 0}

2) zcela nula, pokud pro jakoukoli měřitelnou množinu máme  ; B⊂NA{\ displaystyle B \ podmnožina A}σ(B)=0{\ displaystyle \ sigma (B) = 0}

3) zcela pozitivní, pokud pro jakoukoli měřitelnou množinu máme . B⊂NA{\ displaystyle B \ podmnožina A}σ(B)≥0{\ displaystyle \ sigma (B) \ geq 0}

Hahnova věta o rozkladu, rakouský matematik Hans Hahn , uvádí následující

Věta (Hahnův rozklad)  -  Dovolme být znaménkem míry v měřitelném prostoru . Existují dvě měřitelné sady , jako je σ{\ displaystyle \ sigma}(X,NA){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}P,NE∈NA{\ displaystyle P, N \ v {\ mathcal {A}}}

1)  ; P∪NE=X{\ displaystyle P \ cup N = X}

2)  ; P∩NE=∅{\ displaystyle P \ cap N = \ varnothing}

3) je zcela pozitivní pro  ; P{\ displaystyle P}σ{\ displaystyle \ sigma}

4) je zcela negativní pro . NE{\ displaystyle N}σ{\ displaystyle \ sigma}

Hahnův rozklad je definován jako daný dvojici splňující čtyři vlastnosti výše uvedené věty. Pokud jsou dva Hahnovy rozklady , pak a jsou zcela nulové pro (kde označuje symetrický rozdíl ). σ{\ displaystyle \ sigma}(P,NE){\ displaystyle (P, N)}(P,NE),(P′,NE′){\ displaystyle (P, N), (P ', N')}σ{\ displaystyle \ sigma}PΔP′{\ displaystyle P \ Delta P '}NEΔNE′{\ displaystyle N \ Delta N '}σ{\ displaystyle \ sigma}Δ{\ displaystyle \ Delta}

Jordanův rozklad

Jordanova věta o rozkladu, francouzská matematička Camille Jordan , je důsledkem Hahnovy věty o rozkladu. Uvádí následující

Věta (Jordanův rozklad)  -  Dovolme být podepsanou mírou v měřitelném prostoru . K splnění následujících dvou podmínek existuje jedinečný pár pozitivních krokůσ{\ displaystyle \ sigma}(X,NA){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}(σ+,σ-){\ displaystyle (\ sigma _ {+}, \ sigma _ {-})}(X,NA){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}

1)  ; σ=σ+-σ-{\ displaystyle \ sigma = \ sigma _ {+} - \ sigma _ {-}}

2) existuje takové, že a . E∈NA{\ displaystyle E \ v {\ mathcal {A}}}σ-(E)=0{\ displaystyle \ sigma _ {-} (E) = 0}σ+(X∖E)=0{\ displaystyle \ sigma _ {+} (X \ setminus E) = 0}

Jordanův rozklad podepsané míry lze snadno sestrojit z Hahnova rozkladu. Navíc tato konstrukce nezávisí přesněji na zvoleném Hahnově rozkladu

Vlastnost Jordanova rozkladu  -  Nechť být podepsanou mírou v měřitelném prostoru a jeho Jordanovým rozkladem. Tak σ{\ displaystyle \ sigma}(X,NA){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}(σ+,σ-){\ displaystyle (\ sigma _ {+}, \ sigma _ {-})}

1) Pro jakýkoli Hahnův rozklad a pro všechno, co máme a (to tedy nezávisí na Hahnově rozkladu); (P,NE){\ displaystyle (P, N)}NA∈NA{\ displaystyle A \ v {\ mathcal {A}}}σ+(NA)=σ(NA∩P){\ displaystyle \ sigma _ {+} (A) = \ sigma (A \ cap P)}σ-(NA)=-σ(NA∩NE){\ displaystyle \ sigma _ {-} (A) = - \ sigma (A \ cap N)}

2) za všechno, co máme NA∈NA{\ displaystyle A \ v {\ mathcal {A}}}

σ+(NA)=supB⊂NA,B∈NAσ(B){\ displaystyle \ sigma _ {+} (A) = \ sup _ {B \ podmnožina A, B \ v {\ mathcal {A}}} \ sigma (B)}a .σ-(NA)=-infB⊂NA,B∈NAσ(B){\ displaystyle \ sigma _ {-} (A) = - \ inf _ {B \ podmnožina A, B \ v {\ mathcal {A}}} \ sigma (B)}

Reference

1. Samuel Nicolay, „  Mesure  “ , na http://www.afaw.ulg.ac.be/ , 2019/2020 , s.  81
2. François de marçay, „  Abstract theory of integration and Radon-Nikodym theorem  “ , na https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~merker/ , str.  18

Související články

• Celková variace (matematika)
• Měření (matematika)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">