Geometrický průměr
V matematice je geometrický průměr typem průměru .
Základní definice
Geometrický průměr dvou kladných čísel dobu a b je kladné číslo c tak, že:
navs.=vs.b{\ displaystyle {\ frac {a} {c}} = {\ frac {c} {b}}}.
Geometrická interpretace
Geometricky toto číslo c je strana čtverce, jehož plocha je stejná jako plocha obdélníku stran a a b , protože v tomto případě:
vs.2=nab.{\ displaystyle c ^ {2} = ab.}Můžeme přímo vypočítat geometrický průměr dvou čísel pomocí druhé odmocniny předchozího výrazu:
vs.=nab=(nab)1/2.{\ displaystyle c = {\ sqrt {ab}} = (ab) ^ {1/2}.}
Zobecnění
Diskrétní případ
V této poslední formě vidíme, že logaritmus (v jakékoli základně) transformuje výraz na aritmetický průměr: (za předpokladu, že a a b nejsou nula, logaritmus není definován v 0).
logvs.=logna+logb2{\ displaystyle \ log c = {\ frac {\ log a + \ log b} {2}}}
Proto je zobecnění: geometrický průměr nenulové pozitivní kvantitativní statistické řady je definován tak, že jeho logaritmus je aritmetickým průměrem logaritmů hodnot řady.
Jeho formulaci lze provést následovně:
logX¯=logX1+logX2+...+logXnene=1ne∑i=1nelogXi.{\ displaystyle \ log {\ bar {x}} = {\ frac {\ log x_ {1} + \ log x_ {2} + \ ldots + \ log x_ {n}} {n}} = {1 \ přes n} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ log x_ {i}.}Můžeme odvodit:
X¯=X1×X2×...×Xnene=∏i=1neXine.{\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ krát x_ {2} \ krát \ ldots \ krát x_ {n}}} = {\ sqrt [{n} ] {\ prod _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}}}}.}U statistické řady, jejichž celkový počet výskytů je nekonečný nebo neznámý, ale jejichž počet možných nenulových kladných hodnot je konečný a jejich příslušné frekvence v řadě jsou známy, se matematická formulace stává:
logX¯=F1logX1+F2logX2+...+FnelogXneF1+F2+...+Fne=∑i=1neFilogXi∑i=1neFi,naprotiEvs.∑i=1neFi=1.{\ displaystyle \ log {\ bar {x}} = {\ frac {f_ {1} \ log x_ {1} + f_ {2} \ log x_ {2} + \ ldots + f_ {n} \ log x_ { n}} {f_ {1} + f_ {2} + \ ldots + f_ {n}}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {f_ {i} \ log x_ {i }}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {f_ {i}}}}, \ quad \ mathrm {with} \ quad \ sum _ {i = 1} ^ {n} {f_ {i }} = 1.}Dedukujeme (například pomocí přirozeného logaritmu ):
X¯=exp(F1lnX1+F2lnX2+...+FnelnXneF1+F2+...+Fne)=exp(∑i=1neFilnXi∑i=1neFi),{\ displaystyle {\ bar {x}} = \ exp \ left ({\ frac {f_ {1} \ ln x_ {1} + f_ {2} \ ln x_ {2} + \ ldots + f_ {n} \ ln x_ {n}} {f_ {1} + f_ {2} + \ ldots + f_ {n}}} \ right) = \ exp \ left ({\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n } f_ {i} \ ln x_ {i}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {f_ {i}}}} \ vpravo),}odkud :
X¯=X1F1×X2F2×...×XneFne=∏i=1neXiFi.{\ displaystyle {\ bar {x}} = {x_ {1}} ^ {f_ {1}} \ krát {x_ {2}} ^ {f_ {2}} \ krát \ ldots \ krát {x_ {n} } ^ {f_ {n}} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} {{x_ {i}} ^ {f_ {i}}}.}Kontinuální případ
Geometrický průměr distribuční f spojité proměnné s hodnotou v konečném skalární intervalu [ x 0 , x 1 ] je zobecnění na hranici předchozího diskrétní statistického vzorce:
logF¯X0X1=∫X0X1logXF(X) dX,{\ displaystyle \ log {{\ bar {f}} _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}}} = \ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} {\ log xf ( x) ~ \ mathrm {d} x},}odkud :
F¯X0X1=exp(∫X0X1lnXF(X) dX)naprotiEvs.∫X0X1F(X) dX=1.{\ displaystyle {\ bar {f}} _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} = \ exp \ left (\ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} \ ln xf ( x) ~ \ mathrm {d} x \ vpravo) \ quad \ mathrm {with} \ quad \ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} f (x) ~ \ mathrm {d} x = 1 .}Jeho rozměr není frekvence, ale je to jeho spojitá proměnná.
Pokud je rozdělení f definováno na všech reálných hodnotách jeho spojité proměnné, je geometrický průměr rozdělení:
F¯=exp(∫-∞+∞lnXF(X) dX)naprotiEvs.∫-∞+∞F(X) dX=1.{\ displaystyle {\ bar {f}} = \ exp \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ ln xf (x) ~ \ mathrm {d} x \ right) \ quad \ mathrm {with} \ quad \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) ~ \ mathrm {d} x = 1.}
Zájem
U statistiků je geometrický průměr ( antilogaritmus průměru logaritmů každého pozorování) méně citlivý než aritmetický průměr při nejvyšších hodnotách datové řady. Poskytuje tedy další a lepší odhad centrální tendence dat v případě distribuce na konci ocasu (typ distribuce častý ve zdravotních nebo environmentálních opatřeních, např. Toxický pro tělo, krev nebo životní prostředí) , kde jsou více postiženi určití jednotlivci nebo skupiny zranitelné nebo vystavené konkrétním případům).
Podívejte se také
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">