Aritmeticko-geometrická nerovnost
V matematiky , aritmetický-geometrický nerovnost (AGI) vytváří spojení mezi aritmetický průměr a geometrický průměr . Jedná se o klasický výsledek spojený s konvexitou .
Státy
Geometrický průměr přísně pozitivních skutečností je menší než jejich aritmetický průměr:
ne{\ displaystyle n}
X1,...,Xne{\ displaystyle x_ {1}, \, \ tečky, \, x_ {n}}![x_ {1}, \, \ tečky, \, x_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d67ac4fcd251fe94822cfaa0da778afbc65a4b95)
X1...Xnene⩽X1+⋯+Xnene{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ dots x_ {n}}} \ leqslant {\ frac {x_ {1} + \ dots + x_ {n}} {n}}}![{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ dots x_ {n}}} \ leqslant {\ frac {x_ {1} + \ dots + x_ {n}} {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a861c6dcb89565e7b304e6a1622f831a398025e7)
,
s rovností (pokud a) pouze pokud .
X1=X2=⋯=Xne{\ displaystyle x_ {1} = x_ {2} = \ dots = x_ {n}}![{\ displaystyle x_ {1} = x_ {2} = \ dots = x_ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33e64c6d4afbe2478c846e0b4ec12ac7d001c570)
Demonstrace
Protože dvě reálné (aritmetický průměr) a (geometrický průměr) jsou přísně pozitivní, nerovnost, která má být prokázána, je ekvivalentní ( přísným růstem přirozeného logaritmu ) k
X1+⋯+Xnene{\ displaystyle {\ frac {x_ {1} + \ tečky + x_ {n}} {n}}}
X1...Xnene=(X1...Xne)1/ne{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ tečky x_ {n}}} = (x_ {1} \ tečky x_ {n}) ^ {1 / n}}![{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ tečky x_ {n}}} = (x_ {1} \ tečky x_ {n}) ^ {1 / n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c42b3f097bb07d4007935609350705f19c1f0712)
ln((X1...Xne)1/ne)⩽ln(X1+⋯+Xnene),{\ displaystyle \ ln \ left ((x_ {1} \ dots x_ {n}) ^ {1 / n} \ right) \ leqslant \ ln \ left ({\ frac {x_ {1} + \ dots + x_ { n}} {n}} \ vpravo),}![{\ displaystyle \ ln \ left ((x_ {1} \ dots x_ {n}) ^ {1 / n} \ right) \ leqslant \ ln \ left ({\ frac {x_ {1} + \ dots + x_ { n}} {n}} \ vpravo),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce118ec2dd8cb4f518d902eb05cb56477449dc36)
nebo znovu (podle funkční rovnice logaritmu ) na
ln(X1)+⋯+ln(Xne)ne⩽ln(X1+⋯+Xnene).{\ displaystyle {\ frac {\ ln (x_ {1}) + \ cdots + \ ln (x_ {n})} {n}} \ leqslant \ ln \ left ({\ frac {x_ {1} + \ cdots + x_ {n}} {n}} \ right).}![{\ displaystyle {\ frac {\ ln (x_ {1}) + \ cdots + \ ln (x_ {n})} {n}} \ leqslant \ ln \ left ({\ frac {x_ {1} + \ cdots + x_ {n}} {n}} \ right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15551060f31d47fcde6b30aa1ab54c97b0452580)
Tato poslední nerovnost není nic jiného než Jensenova nerovnost pro izobarycentra , aplikovaná na logaritmickou funkci , která je konkávní .
Případ rovnosti vyplývá ze skutečnosti, že tato konkávnost je přísná .
Aritmeticko-geometrickou nerovnost lze také demonstrovat jako důsledek Muirheadovy nerovnosti , aplikovaný na sekvence (1,0 atd. 0) a (1 / n atd., 1 / n).
Zobecnění
Vážení
Aritmeticko-geometrická nerovnost se zobecňuje na aritmetické a geometrické vážené prostředky :
Pokud a poté, berouce na vědomí :
X1,...,Xne⩾0{\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ geqslant 0}
α1,...,αne>0{\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}> 0}
α=α1+...+αne{\ displaystyle \ alpha = \ alpha _ {1} + \ ldots + \ alpha _ {n}}![\ alpha = \ alpha _ {1} + \ ldots + \ alpha _ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c312cef6073da3d2972d25e0de4736687a68a0f9)
X1α1...Xneαneα⩽α1X1+...+αneXneα,{\ displaystyle {\ sqrt [{\ alpha}] {x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ ldots x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}} \ leqslant {\ frac {\ alpha _ {1} x_ {1} + \ ldots + \ alpha _ {n} x_ {n}} {\ alpha}},}
s rovností právě tehdy, když jsou si všichni rovni.
Xk{\ displaystyle x_ {k}}![x_k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2b88c64c76a03611549fb9b4cf4ed060b56002)
Ve skutečnosti, za předpokladu, že bez ztráty obecnosti není žádná z nich nula a za zmínku (přísně kladná a souhrnná ), je nerovnost ekvivalentní ( viz výše ) k
Xk{\ displaystyle x_ {k}}
tk: =αk/α{\ displaystyle t_ {k}: = \ alpha _ {k} / \ alpha}
1{\ displaystyle 1}![1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)
t1ln(X1)+⋯+tneln(Xne)⩽ln(t1X1+⋯+tneXne){\ displaystyle t_ {1} \ ln (x_ {1}) + \ tečky + t_ {n} \ ln (x_ {n}) \ leqslant \ ln (t_ {1} x_ {1} + \ tečky + t_ { n} x_ {n})}![{\ displaystyle t_ {1} \ ln (x_ {1}) + \ tečky + t_ {n} \ ln (x_ {n}) \ leqslant \ ln (t_ {1} x_ {1} + \ tečky + t_ { n} x_ {n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/310fe3b7cfdf2e62d681963bb9139379b6e3a370)
,
což není nic jiného než obecná Jensenova nerovnost pro (konkávní) logaritmickou funkci a případ rovnosti vychází z přísné konkávnosti.
Maklaurinová nerovnost
Můžeme také zobecnit aritmeticko-geometrickou nerovnost tím, že si všimneme, že aritmetický průměr odpovídá první elementární symetrické funkci a geometrický průměr poslední. Aritmeticko-geometrická nerovnost je přepsána:
σne(nene)ne⩽σ1(ne1)1{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {\ frac {\ sigma _ {n}} {\ displaystyle {\ binom {n} {n}}}}} \ leqslant {\ sqrt [{1}] {\ frac {\ sigma _ {1}} {\ displaystyle {\ binom {n} {1}}}}}}![{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {\ frac {\ sigma _ {n}} {\ displaystyle {\ binom {n} {n}}}}} \ leqslant {\ sqrt [{1}] {\ frac {\ sigma _ {1}} {\ displaystyle {\ binom {n} {1}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/629e8beb322982ee5c31242c9ef4b488b859c619)
A můžeme zobecnit:
σne(nene)ne⩽σne-1(nene-1)ne-1⩽⋯⩽σ1(ne1)1{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {\ frac {\ sigma _ {n}} {\ displaystyle {\ binom {n} {n}}}}} \ leqslant {\ sqrt [{n-1}] {\ frac {\ sigma _ {n-1}} {\ displaystyle {\ binom {n} {n-1}}}}} \ leqslant \ dots \ leqslant {\ sqrt [{1}] {\ frac {\ sigma _ {1}} {\ displaystyle {\ binom {n} {1}}}}}}![{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {\ frac {\ sigma _ {n}} {\ displaystyle {\ binom {n} {n}}}}} \ leqslant {\ sqrt [{n-1}] {\ frac {\ sigma _ {n-1}} {\ displaystyle {\ binom {n} {n-1}}}}} \ leqslant \ dots \ leqslant {\ sqrt [{1}] {\ frac {\ sigma _ {1}} {\ displaystyle {\ binom {n} {1}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2aa910465ab9b1a6dd926b74ed3ee5a25316bb3)
je
X1...Xnene⩽X1...Xne-1+⋯+X2...Xnenene-1⩽⋯⩽X1X2+⋯+Xne-1Xne(ne2)⩽X1+⋯+Xnene{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ tečky x_ {n}}} \ leqslant {\ sqrt [{n-1}] {\ frac {x_ {1} \ tečky x_ {n- 1} + \ dots + x_ {2} \ dots x_ {n}} {n}}} \ leqslant \ dots \ leqslant {\ sqrt {\ frac {x_ {1} x_ {2} + \ dots + x_ {n -1} x_ {n}} {\ displaystyle {\ binom {n} {2}}}}} \ leqslant {\ frac {x_ {1} + \ dots + x_ {n}} {n}}}![{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ tečky x_ {n}}} \ leqslant {\ sqrt [{n-1}] {\ frac {x_ {1} \ tečky x_ {n- 1} + \ dots + x_ {2} \ dots x_ {n}} {n}}} \ leqslant \ dots \ leqslant {\ sqrt {\ frac {x_ {1} x_ {2} + \ dots + x_ {n -1} x_ {n}} {\ displaystyle {\ binom {n} {2}}}}} \ leqslant {\ frac {x_ {1} + \ dots + x_ {n}} {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2cc1cd4559305f23a3ea41d841186c58444eb17)
To jsou Maclaurinovy nerovnosti .
Podívejte se také
Související články
Bibliografie
-
Augustin Cauchy , Kompletní díla , Gauthier-Villard,1867( číst online ) , s. 376číst online na Gallice
- Martin Aigner a Günter M. Ziegler , Božské uvažování , Springer ,2008, 2 nd ed. ( číst online ) , s. 127-129
- (en) Peter S. Bullen, Příručka prostředků a jejich nerovností , Kluwer Academic Publishers ,2003( číst online ) , s. 71-153
- (en) GH Hardy , JE Littlewood a G. Pólya , Nerovnosti , CUP ,1952, 2 nd ed. ( číst online ) , s. 16-21
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">