Dvojnásobný počet Mersenne

V matematiky , je dvojitý Mersenne číslo je číslo Mersenne formy

{\ displaystyle M_ {M_ {n}} = 2 ^ {2 ^ {n} -1} -1}

kde $n$ je přísně kladné celé číslo a $M n$ označuje $n$ $-$ té číslo Mersenne.

První hodnoty

Nejmenší dvojnásobná čísla Mersenne jsou tedy:

M M 1 = M 1 = 1

;

M M 2 = M 3 = 7

;

M M 3 = M 7 = 127

;

M M 4 = M 15 = 32 767 = 7 \times 31 \times 151

;

M M 5 = M 31 = 2 147 483 647

;

M M 6 = M 63 = 9 223 372 036 854 775 807 = 7 2 \times 73 \times 127 \times 337 \times 92 737 \times 649 657

;

M M 7 = M 127 = 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727

Dvojnásobný počet Mersenne prime

Protože Mersennovo číslo $M n$ může být prvočíslo pouze v případě, že $n$ je prvočíslo ( nutná, ale nedostatečná podmínka), dvojité Mersennovo číslo $M M p$ může být prvočíslo pouze v případě, že $M p$ je prvočíslo Mersennova čísla (což vyžaduje především to, že $p$ je : viděli jsme například, že $M M 4$ a $M M 6$ nejsou prvočísla).

Jediná známá prvočísla Mersennova dvojčísla jsou $M M 2$ , $M M 3$ , $M M 5$ a $M M 7$ .

Po 2, 3, 5 a 7 jsou první hodnoty $p,$ pro které je $M p$ prvočíslo, $p$ = 13, 17, 19, 31. Pro tyto čtyři hodnoty není $M M p$ prvočíslo (byly nalezeny explicitní faktory ). Další kandidát, $M M 61$ , je pro aktuální testy příliš vysoký .

Počet Katalánština-Mersenne

Tyto Katalánština - Mersenne čísla c n , definované indukcí podle c 0 = 2 a c n 1 = M c n , jsou Mersennových pro n ≥ 1 a dvojitým Mersenne pro n ≥ 2. První pět ( c 0 až c 4 ) jsou prvočísla

2 , M 2 = 3 , M M 2 = M 3 = 7, M M 3 = M 7 = 127 a M M 7 = M 127 (pokračování A007013 na OEIS ).

Následující, c 5 = M M 127 , je ještě enormnější než M M 61 výše uvedeného §.

Pokud musíme definovat c 0 , je to proto, že v době Mersenna jsme stále považovali 1 za prvočíslo .

Reference

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z anglického článku Wikipedie s názvem „ Double Mersenne number “ ( viz seznam autorů ) .
(en) Eric W. Weisstein , „ Double Mersenne Number “ , na MathWorld
(en) Eric W. Weisstein , „ Catalan-MersenneNumber “ , na MathWorld
(en) Chris Caldwell, „ Mersenne Primes, § 5: Dohady a nevyřešené problémy “ , na Prime Pages