Eulerianovo číslo
V matematice , a přesněji v kombinatorické analýze , je Eulerianovo číslo A ( n , m ) počet permutací celých čísel od 1 do n, pro které je přesně m prvků větší než předchozí prvek (permutace s m «připojeným") . Eulerianova čísla jsou koeficienty Eulerianových polynomů :
NAne(X)=∑m=0neNA(ne,m) Xm(NA1=NA2=1,NA2=1+X,NA3=1+4X+X2,...){\ displaystyle A_ {n} (X) = \ součet _ {m = 0} ^ {n} A (n, m) \ X ^ {m} (A1 = A2 = 1, A2 = 1 + X, A3 = 1 + 4X + X ^ {2}, ...)}![{\ displaystyle A_ {n} (X) = \ součet _ {m = 0} ^ {n} A (n, m) \ X ^ {m} (A1 = A2 = 1, A2 = 1 + X, A3 = 1 + 4X + X ^ {2}, ...)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee4fa145f1780542bb912f58eabca7180af0cf5c)
Tyto polynomy se objevují v čitateli výrazů spojených s funkcí generátoru sekvence .
1ne, 2ne, 3ne, ...{\ displaystyle \ scriptstyle 1 ^ {n}, \ 2 ^ {n}, \ 3 ^ {n}, \ \ tečky}![\ scriptstyle 1 ^ {n}, \ 2 ^ {n}, \ 3 ^ {n}, \ \ tečky](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25e3f586bc572d61fd8ada5ab8c164afcc5da7c2)
Tato čísla tvoří následující A008292 z OEIS .
Další zápisy pro A ( n , m ) jsou E ( n , m ) a⟨nem⟩.{\ displaystyle \ left \ langle {n \ na vrcholu m} \ right \ rangle.}
Historický
V roce 1755, v knize Institutiones kameny differentialis , Leonhard Euler studoval polynomů alfa 1 ( x ) = 1, α 2 ( x ) = x + 1, α 3 ( x ) = x 2 + 4 x + 1, atd. (viz opak faxu). Tyto polynomy jsou posunutou formou našich Eulerianových polynomů A n ( x ).
Analogicky se zápisem kombinační číslo a tím of Stirling čísel a notaci byl navržen Donald Knuth v roce 1968 v The Art of Computer Programming .
(nek){\ displaystyle \ left ({n \ na vrcholu k} \ right)}
[nek]{\ displaystyle \ left [{n \ nahoře k} \ right]}
{nek},{\ displaystyle \ left \ {{n \ nahoře k} \ right \},}
⟨nem⟩{\ displaystyle \ left \ langle {n \ na vrcholu m} \ right \ rangle}![\ left \ langle {n \ na vrcholu m} \ right \ rangle](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d78efb5dbfe204923c1826512c91cc9366663584)
Základní vlastnosti
Aby byla dána n > 0, index m z A ( n , m ), může být v rozmezí od 0 do n - 1. Pro pevné n , je tam jen jeden permutace bez stoupá, padající permutace ( n , n - 1, n - 2, ..., 1). Existuje také jediná permutace s rostoucím n - 1, stejná (nebo rostoucí) permutace (1, 2, 3, ..., n ). Tedy A ( n , 0) = A ( n , n - 1) = 1 pro všechna n .
Obrácením permutace m stoupáním se vytvoří další permutace mající n - m - 1 výstupy; tak
A ( n , m ) = A ( n , n - m - 1).
Hodnoty A ( n , m ) lze vypočítat „ručně“ pro malé hodnoty n a m . například
ne
|
m
|
Permutace
|
A ( n , m )
|
---|
1
|
0
|
(1)
|
A (1,0) = 1
|
2
|
0
|
(2, 1)
|
A (2,0) = 1
|
1
|
(1, 2 )
|
A (2,1) = 1
|
3
|
0
|
(3, 2, 1)
|
A (3,0) = 1
|
1
|
(1, 3 , 2) (2, 1, 3 ) (2, 3 , 1) (3, 1, 2 )
|
A (3,1) = 4
|
2
|
(1, 2 , 3 )
|
A (3,2) = 1
|
Pro větší hodnoty n lze A ( n , m ) vypočítat pomocí relace opakování
NA(ne,m)=(ne-m)NA(ne-1,m-1)+(m+1)NA(ne-1,m).{\ displaystyle A (n, m) = (nm) A (n-1, m-1) + (m + 1) A (n-1, m).}![A (n, m) = (nm) A (n-l, m-l) + (m + 1) A (n-l, m).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccdd4fe49eee8af9641280cd4cbd5342381f8a06)
například
NA(4,1)=(4-1)NA(3,0)+(1+1)NA(3,1)=3×1+2×4=11.{\ displaystyle A (4,1) = (4-1) A (3,0) + (1 + 1) A (3,1) = 3 \ krát 1 + 2 \ krát 4 = 11.}![A (4,1) = (4-1) A (3,0) + (1 + 1) A (3,1) = 3 \ krát 1 + 2 \ krát 4 = 11.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/228458c2f59f5c1dc8ff853074a21b9984e65da1)
Hodnoty A ( n , m ), pro 0? N ≤ 9 (to je pokračování A008292 z OEIS ) jsou:
n \ m
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
---|
0
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
---|
1
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
---|
2
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
---|
3
|
1 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
---|
4
|
1 |
11 |
11 |
1 |
|
|
|
|
|
---|
5
|
1 |
26 |
66 |
26 |
1 |
|
|
|
|
---|
6
|
1 |
57 |
302 |
302 |
57 |
1 |
|
|
|
---|
7
|
1 |
120 |
1191 |
2416 |
1191 |
120 |
1 |
|
|
---|
8
|
1 |
247 |
4293 |
15619 |
15619 |
4293 |
247 |
1 |
|
---|
9
|
1 |
502 |
14608 |
88234 |
156190 |
88234 |
14608 |
502 |
1
|
---|
Tato trojúhelníková tabulka se nazývá Eulerův trojúhelník a má některé vlastnosti Pascalova trojúhelníku . Součet n -tého řádku je počet všech permutací nebo faktoriál n !.
Explicitní vzorec
Explicitní vzorec pro A ( n , m ) je
NA(ne,m)=∑k=0m(-1)k(ne+1k)(m+1-k)ne.{\ displaystyle A (n, m) = \ součet _ {k = 0} ^ {m} (- 1) ^ {k} {\ binom {n + 1} {k}} (m + 1-k) ^ {ne}.}![A (n, m) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {{m}} (- 1) ^ {k} {\ binom {n + 1} {k}} (m + 1-k) ^ {n}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39dc5112ad6f6234f01f6c299403f757aad20679)
Výpočet součtu
Podle jejich kombinační definice je součet Eulerianových čísel pro danou hodnotu n celkový počet permutací celých čísel od 1 do n , a proto
∑m=0ne-1NA(ne,m)=ne!.{\ displaystyle \ sum _ {m = 0} ^ {n-1} A (n, m) = n!.}![\ sum _ {{m = 0}} ^ {{n-1}} A (n, m) = n!.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24504e893d28bc3c6a6d394a2e9f965b9d18705f)
Střídavý součet z Eulerovské čísla pro danou hodnotu n je spojena s Bernoulliho číslo B n +1
∑m=0ne-1(-1)mNA(ne,m)=2ne+1(2ne+1-1)Bne+1ne+1.{\ displaystyle \ sum _ {m = 0} ^ {n-1} (- 1) ^ {m} A (n, m) = {\ frac {2 ^ {n + 1} (2 ^ {n + 1 } -1) B_ {n + 1}} {n + 1}}.}![\ sum _ {{m = 0}} ^ {{n-1}} (- 1) ^ {{m}} A (n, m) = {\ frac {2 ^ {{n + 1}} (2 ^ {{n + 1}} - 1) B _ {{n + 1}}} {n + 1}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0393782fe74493f1d2f0c4927229a12d84e65c6)
Zde jsou další součtové vzorce:
∑m=0ne-1(-1)mNA(ne,m)(ne-1m)=0,{\ displaystyle \ sum _ {m = 0} ^ {n-1} (- 1) ^ {m} {\ frac {A (n, m)} {\ binom {n-1} {m}}} = 0,}
∑m=0ne-1(-1)mNA(ne,m)(nem)=(ne+1)Bne,{\ displaystyle \ sum _ {m = 0} ^ {n-1} (- 1) ^ {m} {\ frac {A (n, m)} {\ binom {n} {m}}} = (n +1) B_ {n},}![\ sum _ {{m = 0}} ^ {{n-1}} (- 1) ^ {m} {\ frac {A (n, m)} {{\ binom {n} {m}}}} = (n + 1) B _ {{n}},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca7cb15669c15313b12c6b1ac7b57bc3ac151c04)
kde B n je n - té Bernoulliho číslo .
Totožnosti
- Euleriánská čísla se objevují ve funkci generátoru posloupnosti mocnin n- mem
∑k=1∞kneXk=∑m=0ne-1NA(ne,m)Xm+1(1-X)ne+1=XNAne(X)(1-X)ne+1.{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} k ^ {n} x ^ {k} = {\ frac {\ sum _ {m = 0} ^ {n-1} A (n, m ) x ^ {m + 1}} {(1-x) ^ {n + 1}}} = {\ frac {xA_ {n} (x)} {(1-x) ^ {n + 1}}} .}
Xne=∑m=0ne-1NA(ne,m)(X+mne).{\ displaystyle x ^ {n} = \ součet _ {m = 0} ^ {n-1} A (n, m) {\ binom {x + m} {n}}.}![x ^ {n} = \ sum _ {{m = 0}} ^ {{n-1}} A (n, m) {\ binom {x + m} {n}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/461ce6f7dc10f96150e5aae82618eec003224191)
- Další pozoruhodná identita je získána transformací:
Ek=∑ne=0∞knene!{\ displaystyle e ^ {k} = \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {k ^ {n}} {n!}}}
(Xk)(Ek)=∑ne=0∞(Xk)(kne)ne!{\ displaystyle (x ^ {k}) (e ^ {k}) = \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(x ^ {k}) (k ^ {n})} {ne!}}}
∑k=1∞(Xk)(Ek)=∑k=1∞∑ne=0∞(Xk)(kne)ne!{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} (x ^ {k}) (e ^ {k}) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(x ^ {k}) (k ^ {n})} {n!}}}![\ sum _ {{k = 1}} ^ {\ infty} (x ^ {k}) (e ^ {k}) = \ sum _ {{k = 1}} ^ {\ infty} \ sum _ {{ n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(x ^ {k}) (k ^ {n})} {n!}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9031694c45f4a0846ce9e2ae13a2d16730eae1d)
Protože výrazy vlevo tvoří konvergentní geometrickou řadu a výrazy vpravo jsou kladné; můžeme si tedy předvolání vyměnit. Použitím předchozí identity získáme:
0≤X<1/E{\ displaystyle 0 \ leq x <{1} / {e}}
∑k=1∞(XE)k=∑k=1∞∑ne=0∞(Xk)(kne)ne!{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} (xe) ^ {k} = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(x ^ {k}) (k ^ {n})} {n!}}}
EX1-EX=∑ne=0∞∑k=1∞(Xk)(kne)ne!=∑ne=0∞∑m=0neNA(ne,m)Xm+1ne!(1-X)ne+1{\ displaystyle {\ frac {ex} {1-ex}} = \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} \ součet _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(x ^ { k}) (k ^ {n})} {n!}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sum _ {m = 0} ^ {n} A (n, m) x ^ {m + 1}} {n! (1-x) ^ {n + 1}}}}![{\ frac {ex} {1-ex}} = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} \ sum _ {{k = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {(x ^ {k}) (k ^ {n})} {n!}} = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {\ sum _ {{m = 0}} ^ {{ n}} A (n, m) x ^ {{m + 1}}} {n! (1-x) ^ {{n + 1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9aac527ded4685340b627b8917f421a045975f4)
Nakonec, protože , máme
0≤X<1/E{\ displaystyle 0 \ leq x <{1} / {e}}
E1-EX=∑ne=0∞∑m=0neNA(ne,m)Xmne!(1-X)ne+1.{\ displaystyle {\ frac {e} {1-ex}} = \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ součet _ {m = 0} ^ {n} A (n, m ) x ^ {m}} {n! (1-x) ^ {n + 1}}}.}![{\ frac {e} {1-ex}} = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {\ sum _ {{m = 0}} ^ {{n}} A ( n, m) x ^ {{m}}} {n! (1-x) ^ {{n + 1}}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2d6170847b660db41e750e06f5c2375ecadba60)
Součet čitatele vpravo je součtem Eulerových polynomů.
- Pozoruhodná pravděpodobnostní identita umožňuje jednoduchou demonstraci centrální limitní věty pro počet náhodně vylosovaných stoupání permutace. If je posloupnost uniformních iid náhodných proměnných nad [0,1] a pokud (U1,U2,...,Une) {\ displaystyle \ scriptstyle \ (U_ {1}, U_ {2}, \ tečky, U_ {n}) \}
Sne=∑k=1neUk,Xne=⌊Sne⌋,{\ displaystyle S_ {n} = \ součet _ {k = 1} ^ {n} U_ {k}, \ quad X_ {n} = \ left \ lfloor S_ {n} \ right \ rfloor,}![S_ {n} = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} U_ {k}, \ quad X_ {n} = \ left \ lfloor S_ {n} \ right \ rfloor,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36a2870b38af86e929724ff91d740c528b92ab12)
tak
P(k≤Sne<k+1)=P(Xne=k) =NA(ne,k)ne!.{\ displaystyle \ mathbb {P} \ vlevo (k \ leq S_ {n} <k + 1 \ vpravo) = \ mathbb {P} \ vlevo (X_ {n} = k \ vpravo) \ = {\ frac {A (n, k)} {n!}}.}
Euleriánská čísla druhého druhu
Počet vícenásobných permutací takový, že pro každé k jsou všechna čísla mezi dvěma výskyty k větší než k , je součinem lichých celých čísel až do 2 n -1 (někdy se nazývá dvojitý faktoriál (2 n -1) , a poznamenal (2 n -1) !!); máme .
{1,1,2,2,⋯,ne,ne}{\ displaystyle \ {1,1,2,2, \ cdots, n, n \}}
(2ne-1)!!=∏k=1ne(2k-1)=(2ne)!2nene!{\ displaystyle (2n-1) !! = \ prod _ {k = 1} ^ {n} (2k-1) = {\ frac {(2n)!} {2 ^ {n} n!}}}![(2n-1) !! = \ prod _ {{{k = 1}}} ^ {n} (2k-1) = {\ frac {{{(2n)!}} {{2 ^ {n} n !}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dd85be2f5bf97f6548cd5633da020877be6153d)
Eulerian číslo druhého druhu , poznamenal, počítá počet všech těchto permutací, která má přesně m stoupání. Například pro n = 3 jsou 3 !! = 15 permutací tohoto typu, jedna bez vzestupu, 8 s jednou vzestupem a 6 se dvěma vzestupy:
⟨⟨nem⟩⟩,{\ displaystyle \ left \ langle \! \! \ left \ langle {n \ na vrcholu m} \ right \ rangle \! \! \ right \ rangle,}![\ left \ langle \! \! \ left \ langle {n \ na vrcholu m} \ right \ rangle \! \! \ right \ rangle,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b09089e178cc2805db760e3de8be9aef9f71180)
332211,{\ displaystyle 332211, \;}
221133,221331,223311,233211,113322,133221,331122,331221,{\ Displaystyle 221133, \; 221331, \; 223311, \; 233211, \; 113322, \; 133221, \; 331122, \; 331221,}
112233,122133,112332,123321,133122,122331.{\ Displaystyle 112233, \; 122133, \; 112332, \; 123321, \; 133122, \; 122331.}
Z této definice lze snadno ukázat, že čísla uspokojují opakování:
⟨⟨nem⟩⟩{\ displaystyle \ left \ langle \! \! \ left \ langle {n \ na vrcholu m} \ right \ rangle \! \! \ right \ rangle}![\ left \ langle \! \! \ left \ langle {n \ na vrcholu m} \ right \ rangle \! \! \ right \ rangle](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16edd7fd5d6e34eced646d1df93d8c3a553bdba9)
⟨⟨nem⟩⟩=(2ne-m-1)⟨⟨ne-1m-1⟩⟩+(m+1)⟨⟨ne-1m⟩⟩,{\ displaystyle \ left \ langle \! \! \ left \ langle {n \ na vrcholu m} \ right \ rangle \! \! \ right \ rangle = (2n-m-1) \ left \ langle \! \! \ left \ langle {{n-1} \ na vrcholu {m-1}} \ right \ rangle \! \! \ right \ rangle + (m + 1) \ left \ langle \! \! \ left \ langle {{n -1} \ na vrcholu {m}} \ pravý \ rangle \! \! \ Pravý \ rangle,}![\ left \ langle \! \! \ left \ langle {n \ na vrcholu m} \ right \ rangle \! \! \ right \ rangle = (2n-m-1) \ left \ langle \! \! \ left \ langle {{n-1} \ na vrcholu {m-1}} \ right \ rangle \! \! \ right \ rangle + (m + 1) \ left \ langle \! \! \ left \ langle {{n-1} \ na vrcholu {m}} \ pravý \ rangle \! \! \ pravý \ rangle,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b132d94463c58098348e849a35f08cfafafca0a8)
s počátečními podmínkami:
⟨⟨0m⟩⟩=0 {\ displaystyle \ left \ langle \! \! \ left \ langle {0 \ na vrcholu m} \ right \ rangle \! \! \ right \ rangle = 0 \}![\ left \ langle \! \! \ left \ langle {0 \ na vrcholu m} \ right \ rangle \! \! \ right \ rangle = 0 \](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76617eb5d5909b472d8b2a576ab2bb2f65598122)
pro m > 0 a .
⟨⟨00⟩⟩=1{\ displaystyle \ left \ langle \! \! \ left \ langle {0 \ na vrcholu 0} \ right \ rangle \! \! \ right \ rangle = 1}![\ left \ langle \! \! \ left \ langle {0 \ na vrcholu 0} \ right \ rangle \! \! \ right \ rangle = 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f345de858fa17a956643fd3b3baf9183ab92a07f)
Děláme je tak, aby odpovídaly euleriánským polynomům druhého druhu, které jsou uvedeny zde :
Pne{\ displaystyle P_ {n}}![P_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5949c8b1de44005a1af3a11188361f2a830842d1)
Pne(X): =∑ne=0ne⟨⟨nem⟩⟩Xm{\ displaystyle P_ {n} (x): = \ součet _ {n = 0} ^ {n} \ levá \ langle \! \! \ levá \ langle {n \ na vrcholu m} \ pravá \ rangle \! \! \ right \ rangle x ^ {m}}![P_ {n} (x): = \ sum _ {{n = 0}} ^ {n} \ left \ langle \! \! \ Left \ langle {n \ na vrcholu m} \ right \ rangle \! \! \ pravý \ rangle x ^ {m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1e3d77df8dc7f92c6881af28cfef5f70df6caf8)
;
z předchozích relací rekurence odvodíme, že P n (x) splňuje vztah:
Pne+1(X)=(2neX+1)Pne(X)-X(X-1)Pne′(X){\ displaystyle P_ {n + 1} (x) = (2nx + 1) P_ {n} (x) -x (x-1) P_ {n} ^ {\ prime} (x)}![P _ {{n + 1}} (x) = (2nx + 1) P_ {n} (x) -x (x-1) P_ {n} ^ {\ prime} (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7ec815e20b566d723d4d8b0e6fe38fb01c3d73a)
, s
P0(X)=1.{\ displaystyle P_ {0} (x) = 1.}
Můžeme to přepsat:
(X-1)-2ne-2Pne+1(X)=(X(1-X)-2ne-1Pne(X))′{\ displaystyle (x-1) ^ {- 2n-2} P_ {n + 1} (x) = \ left (x (1-x) ^ {- 2n-1} P_ {n} (x) \ right ) ^ {\ prime}}![(x-1) ^ {{- 2n-2}} P _ {{n + 1}} (x) = \ left (x (1-x) ^ {{- 2n-1}} P_ {n} ( x) \ right) ^ {\ prime}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f594a526e10c2a9c357333470a2d8ccaaf1cc84d)
;
tedy racionální funkce
une(X): =(X-1)-2nePne(X){\ displaystyle u_ {n} (x): = (x-1) ^ {- 2n} P_ {n} (x)}![u_ {n} (x): = (x-1) ^ {{- 2n}} P _ {{n}} (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8b218385d7f20220ec0221e60ae63af08d16490)
spokojený:
une+1=(X1-Xune)′,u0=1,{\ displaystyle u_ {n + 1} = \ left ({\ frac {x} {1-x}} u_ {n} \ right) ^ {\ prime} \ quad, u_ {0} = 1,}![u _ {{n + 1}} = \ left ({\ frac {x} {1-x}} u_ {n} \ right) ^ {\ prime} \ quad, u_ {0} = 1,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72296009dc2419dcdbc0f053333617ab145a9564)
ze kterých odvodíme polynomy ve tvaru P n (x) = (1-x) 2n u n (x); pak Eulerianova čísla druhého druhu, která jsou jejich koeficienty.
Zde jsou některé hodnoty těchto čísel (po A008517 z OEIS )
n \ m
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
---|
0
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
---|
1
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
---|
2
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
---|
3
|
1 |
8 |
6 |
|
|
|
|
|
|
---|
4
|
1 |
22 |
58 |
24 |
|
|
|
|
|
---|
5
|
1 |
52 |
328 |
444 |
120 |
|
|
|
|
---|
6
|
1 |
114 |
1452 |
4400 |
3708 |
720 |
|
|
|
---|
7
|
1 |
240 |
5610 |
32120 |
58140 |
33984 |
5040 |
|
|
---|
8
|
1 |
494 |
19950 |
195800 |
644020 |
785304 |
341136 |
40320 |
|
---|
9
|
1 |
1004 |
67260 |
1062500 |
5765500 |
12440064 |
11026296 |
3733920 |
362880
|
---|
Součet n - té řady je P n (1) = (2n-1) !!.
Související články
Poznámky a odkazy
Poznámky
-
viz (in) S. Tanny , „ Pravděpodobnostní interpretace Eulerianových čísel “ , vévoda Math. J. , sv. 40,1973, str. 717-722nebo (en) RP Stanley , „ Eulerian partitions of a unit hypercube “ , Higher Combinatorics , Dordrecht, M. Aigner, ed., Reidel,1977.
Reference
-
(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „ Eulerianovo číslo “ ( viz seznam autorů ) .
-
(la) Leonhard Euler , Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum (Foundations of Differential Calculus, with applications to Finite Analysis and to series) , sv. II, Academia imperialis scientiarum Petropolitana ,1755( číst online ) , kap. VII
-
(en) Ronald Graham , Donald Knuth a Oren Patashnik , Concrete Mathematics : A Foundation for Computer Science , 1994 (druhé vydání), Addison-Wesley, str. 267–272
externí odkazy
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">