Pascalův trojúhelník

V matematice je Pascalův trojúhelník prezentací binomických koeficientů v trojúhelníku . Byl pojmenován na počest francouzského matematika Blaise Pascala . Na západě je známý pod názvem „Pascalův trojúhelník“, ačkoli jej studovali jiní matematici, někdy několik století před ním, v Indii , v Persii (kde se mu říká „ Khayyamův trojúhelník  “), v Maghrebu , v Čína (kde se jí říká „trojúhelník Yang Hui  “), v Německu a v Itálii (kde se jí říká „trojúhelník Tartaglia  “).

Konstrukce trojúhelníku se řídí Pascalovým vztahem:

(nek)=(ne-1k-1)+(ne-1k){\ displaystyle {n \ zvolit k} = {n-1 \ zvolit k-1} + {n-1 \ vybrat k}}

pro všechna celá čísla n a k taková, že 0 < k < n .

Pascalův trojúhelník lze zobecnit na jiné dimenze. Trojrozměrná verze se nazývá Pascalova pyramida nebo Pascalův čtyřstěn, zatímco obecné verze se nazývají Pascalovy simplexy .

Dějiny

Tradice dává název Pascalův trojúhelník výše popsanému trojúhelníku. Tento trojúhelník však byl na východě a na Středním východě znám již několik století před vydáním Blaise Pascala . On byl dobře známý perské matematiky, například al-Karaji ( 953 - 1029 ) nebo Omar Khayyam v XI -tého  století nebo matematici Maghrebu jako Ibn al-Banna a jeho následovníků, kteří jej používají k rozvoji ( z + b ) n . V Číně se objevuje již v roce 1261 v díle Yang Hui (v hodnosti 6) a v Jade Mirror of the Four Elements od Zhu Shijie v roce 1303 (v hodnosti 8). Yang Hui připsat autorství trojúhelníku čínského matematik XI -tého  století Jia Xian . Tento trojúhelník umožnil prezentovat koeficienty různých termínů v binomickém vzorci a podle Victora J. Katze byl použit k zobecnění metody extrakce kořenů na stupně větší než 2.

V Evropě se objevuje v díle Petera Apiana , Rechnung (1527). Studují ji Michael Stifel (1486-1567), Tartaglia (1499-1557) a François Viète (1540-1603). Navíc je pod názvem „trojúhelník Tartaglia“ známý v Itálii. Je také známý Marinu Mersennovi (1588-1648). Ale je to Blaise Pascal, kdo tomu věnuje pojednání: Smlouva o aritmetickém trojúhelníku (1654), která prokazuje 19 jeho vlastností, vlastností vyplývajících částečně z kombinatorické definice koeficientů. Mnohé z těchto vlastností již byly známy, ale byly přijaty a nebyly prokázány. Aby je předvedl, nastavuje Pascal ve svém pojednání dokonalou verzi uvažování indukcí . Ukazuje souvislost mezi trojúhelníkem a binomickým vzorcem. Používá jej při řešení problému spravedlivého sdílení sázek v hazardní hře, která je přerušena před definovaným termínem (problém stran).

Konstrukce

Kombinační

Napsáním Pascalova vzorce

Pro všechna celá čísla i a j v intervalu 0 < j < i , ,(ij)=(i-1j-1)+(i-1j){\ displaystyle {i \ vybrat j} = {i-1 \ vybrat j-1} + {i-1 \ vybrat j}}

všimli jsme si, že koeficient řádku i a sloupce j se získá sečtením koeficientů řádku i - 1 a sloupce j - 1 a řádku i - 1 a sloupce j . Kromě toho máme:

(ne0)=(nene)=1{\ displaystyle {n \ zvolit 0} = {n \ zvolit n} = 1}.

Dedukujeme metodu konstrukce Pascalova trojúhelníku, která spočívá v pyramidové formě v umístění 1 na vrchol pyramidy, poté 1 a 1 níže, na obě strany. Konce řádků jsou vždy 1 s a ostatní čísla jsou součtem dvou čísel přímo nad nimi.

V trojúhelníkové formě, kde i je index řádku a j index sloupce:

• umístit 1 s do každého řádku ve sloupci 0 a 1 s do každého vstupu úhlopříčky,
• počínaje od horního okraje a postupem dolů dokončete trojúhelník přidáním dvou sousedních koeficientů jedné čáry, aby se vytvořil koeficient spodní čáry pod koeficientem vpravo.

Počet cest v binární síti

Představte si, že každé číslo v trojúhelníku je uzel v síti, který je připojen k sousedním číslům nahoře a dole. Nyní pro jakýkoli uzel v síti spočítáme počet cest v síti (aniž bychom se vrátili zpět), které spojují tento uzel s horním uzlem trojúhelníku. Odpovědí je číslo Pascalu spojené s tímto uzlem.

Vlastnosti

Souvisí se stavbou

• Součet podmínek v řadě: součet podmínek v řadě v pořadí n (první řádek = pořadí 0) se rovná 2 n .
• Identita hokejky  : . Pokud vytvoříme součet termínů, počínaje od levého okraje trojúhelníku a sestupně šikmo doprava, získáme člen umístěný úhlopříčně vlevo dole od posledního členu součtu. ∑j=ner(jne)=(r+1ne+1){\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {j = n} ^ {r} {\ binom {j} {n}} = {\ binom {r + 1} {n + 1}}}Příklad 1: úhlopříčka sestup 4 pojmů z 3 třetím řádku: 1 + 3 + 6 + 10 = 20, termín se nachází na levé spodní části posledního výrazu. Příklad 2: sestup diagonálně 5 slov od 5 tého řádku: 5 + 1 + 15 + 35 + 70 = 126 , konec na levé spodní části 70.
• Trojúhelník je symetrický kolem svislé osy; totéž tedy platí pro každý řádek: například řada 4. úrovně je 1, 4, 6, 4, 1.
• „Vzestupné úhlopříčky“: je-li trojúhelník uspořádán jako na obrázku naproti (místo aby byl symetrický vzhledem ke svislici), tvoří součet členů úhlopříček sklonu 1 Fibonacciho posloupnost . Pokud namísto součtu spočítáme počet lichých koeficientů na těchto úhlopříčkách, získáme diatomickou posloupnost Sterna .

Binomický vzorec

Pascalův trojúhelník se často používá v binomických expanzích . Ve skutečnosti lze na stejné linii najít všechny koeficienty zasahující do vývoje síly součtu dvou členů.

Příklad: ( X + 1) 2 = X 2 + 2 X + 1 2 a koeficienty každé monomie jsou koeficienty třetí řady Pascalova trojúhelníku (řada 2), tj. 1, 2, 1. Zevšeobecnění: ( X + Y ) n = a 0 X n Y 0 + a 1 X n –1 Y 1 + ... + a n X 0 Y n , kde koeficienty jsou ty, které se nacházejí na n +1 e řádku Pascalova trojúhelník (řada hodnosti n ).

Známe součtový vzorec , jednoduše se objeví několik vlastností. (na+b)ne=∑i=0ne(nei)nane-ibi{\ displaystyle (a + b) ^ {n} = \ součet _ {i = 0} ^ {n} \, {n \ zvolte i} a ^ {ni} b ^ {i}}

Nastavme a = b = 1 , pak máme . 2ne=∑i=0ne(nei){\ displaystyle 2 ^ {n} = \ součet _ {i = 0} ^ {n} \, {n \ zvolit i} \, {}}

Nechť a = 1 a b = –1 , pak máme . 0=∑i=0ne(nei)(-1)i{\ displaystyle 0 = \ součet _ {i = 0} ^ {n} \, {n \ zvolit i} \, (- 1) ^ {i}}

Známe-li tyto dvě rovnosti, z nichž jedna je střídavý součet, přichází součet členů řádu 0, 2, 4, ... v řadě 2 n –1 a je roven součtu členů d objednávka 1, 3, 5, ....

Vlastnost výčtu

Číslo nacházející se ve sloupci p (počítání sloupců počínaje od 0) a řádku n (počítání řádků začínajících od 0) označuje počet možných kombinací p prvků v sadě n prvků.

V řádku n a sloupci p máme . (nep)=ne!p!(ne-p)!{\ displaystyle {n \ zvolit p} = {\ frac {n!} {p! (np)!}}}

• V řádku n a sloupci p čteme, kolikrát můžeme očekávat, že dostaneme p hromádek a n - p hlav ve 2 n losování vyvážené mince.
• Vynásobením termínu řádkem jeho sloupce a vydělením řádkem jeho řádku získáme termín umístěný o jeden stupeň výše vlevo příklad výraz v řádku 6 a sloupci 4 je 15 (nezapomeňte, že řádky a sloupce jsou očíslovány od 0); nebo 15 × 4/6 = 10 umístěné v poli vedle něj vlevo nahoře.
• Vynásobením termínu řádku n a sloupce p číslem dostaneme jeho souseda vpravone-pp+1{\ displaystyle {\ frac {np} {p + 1}}}
• Všechny členy řady v pořadí n (kromě prvního a posledního) jsou násobkem n právě tehdy, když n je prvočíslo

Katalánská čísla

Všechny řádky sudé pozice ( 2 n ) mají centrální člen, vydělením tohoto členu n +1 nebo odstraněním jeho souseda získáme katalánské číslo .

Sierpińského trojúhelník

Pokud vepsáme Pascalův trojúhelník do trojúhelníkového rámce, je spojení buněk obsahujících liché členy Sierpińského trojúhelník .

Pokud je p prvočíslo větší než 2 , lze analogické fraktální struktury získat obarvením všech buněk, které neodpovídají 0 modulo p .

Přišel na čísla

Čísla umístěná na třetí sestupné úhlopříčce odpovídají trojúhelníkovým číslům , čísla čtvrté úhlopříčky čtyřstěnným číslům , čísla páté úhlopříčky pentatopickým číslům a čísla n- té úhlopříčky n-aktuálním číslům.

Trigonometrické vzorce

Binomický vzorec aplikovaný na Moivreův vzorec

(cos⁡(θ)+ihřích⁡(θ))ne=cos⁡(neθ)+ihřích⁡(neθ){\ displaystyle (\ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)) ^ {n} = \ cos (n \ theta) + i \ sin (n \ theta)}

umožňuje rozšířit cos ( n θ) a sin ( n θ) .

Koeficienty umístěné na řádku hodnosti n umožňují psát tan ( n θ) jako funkci t = tan (θ)

Příklad: na řádku 4 čteme 1 - 4 - 6 - 4 - 1 a opálení⁡(4θ)=4t-4t31-6t2+t4{\ displaystyle \ tan (4 \ theta) = {\ frac {4t-4t ^ {3}} {1-6t ^ {2} + t ^ {4}}}} Obecný vzorec .opálení⁡(neθ)=∑k=0⌊ne-12⌋(-1)k(ne2k+1)t2k+1∑k=0⌊ne2⌋(-1)k(ne2k)t2k{\ displaystyle \ tan (n \ theta) = {\ frac {\ součet _ {k = 0} ^ {\ levý \ lfloor {\ frac {n-1} {2}} \ pravý \ rfloor} {(- 1 ) ^ {k} {n \ vyberte 2k + 1} t ^ {2k + 1}}} {\ sum _ {k = 0} ^ {\ left \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor} (- 1) ^ {k} {n \ vyberte 2k} t ^ {2k}}}}

Koeficienty umístěné na vzestupné úhlopříčce nám umožňují vyjádřit sin ( n θ) jako produkt sin (θ) polynomem ve 2 cos (θ) (viz Čebyševův polynom ):

Příklad: na vzestupné úhlopříčce řady 5 čteme 1 - 3 - 1 a

hřích⁡(5θ)=hřích⁡θ[(2cos⁡θ)4-3(2cos⁡θ)2+1] =hřích⁡θ(16cos4⁡θ-12cos2⁡θ+1)=hřích⁡θ×U4(cos⁡θ){\ displaystyle {\ begin {zarovnaný} \ sin (5 \ theta) & = \ sin \ theta \ left [(2 \ cos \ theta) ^ {4} -3 (2 \ cos \ theta) ^ {2} + 1 \ right] \\\ & = \ sin \ theta (16 \ cos ^ {4} \ theta -12 \ cos ^ {2} \ theta +1) = \ sin \ theta \ krát U_ {4} (\ cos \ theta) \ end {zarovnáno}}}

kde U 4 je Čebyševův polynom druhého druhu řádu 4. Zobecnění: v případě, že podmínky vzestupné diagonální hodnosti n jsou , mámenane,0,nane,1,⋯nane,[(ne-1)/2]{\ displaystyle a_ {n, 0}, a_ {n, 1}, \ cdots a_ {n, [(n-1) / 2]}}

hřích⁡(neθ)=hřích⁡(θ)(∑k=0⌊(ne-1)/2⌋(-1)knane,k(2cos⁡(θ))ne-1-2k){\ displaystyle \ sin (n \ theta) = \ sin (\ theta) \ vlevo (\ součet _ {k = 0} ^ {\ lfloor (n-1) / 2 \ rfloor} (- 1) ^ {k} a_ {n, k} \ left (2 \ cos (\ theta) \ right) ^ {n-1-2k} \ right)}

V důsledku toho, koeficienty umístěné na vzestupné úhlopříčce hodnosti n , aby bylo možné určit, polynom stupně [( n -1) / 2], jejichž kořeny jsou hodnoty pro k měnící se od 1 do(2cos⁡(kπne))2{\ displaystyle \ left (2 \ cos \ left ({\ frac {k \ pi} {n}} \ right) \ right) ^ {2}}⌊ne-12⌋.{\ displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {n-1} {2}} \ right \ rfloor.}

Příklad: na úhlopříčce hodnosti 7 čteme 1 - 5 - 6 - 1, takže víme, že (pro k = 1, 2, 3) jsou kořeny .(2cos⁡(kπ7))2{\ displaystyle \ left (2 \ cos \ left ({\ frac {k \ pi} {7}} \ right) \ right) ^ {2}}P(X)=X3-5X2+6X-1{\ displaystyle P (x) = x ^ {3} -5x ^ {2} + 6x-1} Zobecnění: má kořeny .P(X)=∑k=0⌊(ne-1)/2⌋(-1)knane,kX⌊(ne-1)/2⌋-k{\ displaystyle P (x) = \ součet _ {k = 0} ^ {\ lfloor (n-1) / 2 \ rfloor} (- 1) ^ {k} a_ {n, k} x ^ {\ lfloor ( n-1) / 2 \ rfloor -k}}(2cos⁡(kπne))2{\ displaystyle \ left (2 \ cos \ left ({\ frac {k \ pi} {n}} \ right) \ right) ^ {2}}

Fourierova transformace sin ( x ) n +1 / x

Koeficienty ( x  + 1) n jsou n- tou řádkou trojúhelníku. Koeficienty ( x  - 1) n jsou stejné, až na to, že se střídá znaménko.

Po vhodné normalizaci je ve Fourierově transformaci sin ( x ) n +1 / x přítomna stejná posloupnost čísel .

Přesněji řečeno: je-li n sudé, je třeba vzít skutečnou část transformace a pokud je n liché, je třeba vzít imaginární část.

Výsledkem je pak funkce schodiště, jejíž hodnoty (vhodně normalizované) jsou dány n- tou řadou trojúhelníku se střídavými znaky.

Tak :

RE(Fourier[hřích⁡(X)5X]){\ displaystyle \, {\ mathfrak {Re}} \ left ({\ text {Fourier}} \ left [{\ frac {\ sin (x) ^ {5}} {x}} \ right] \ right)}

sestaví 4 tý  řádek trojúhelníku, se střídajícími se znaky.

Toto je zevšeobecnění následujícího výsledku (často používaného v elektrotechnice):

RE(Fourier[hřích⁡(X)X]){\ displaystyle \, {\ mathfrak {Re}} \ left ({\ text {Fourier}} \ left [{\ frac {\ sin (x)} {x}} \ right] \ right)}

je funkcí Heaviside .

Odpovídající řádek trojúhelníku je řádek 0, který je omezen na číslo 1.

Zobecnění

Zobecněný binomický

Pascalův vztah sahá i do zobecněných binomických koeficientů , ve kterých je komplexní číslo . (rk){\ displaystyle r \ vyberte k}r{\ displaystyle r}

Zobecnění na vyšší dimenze

Pascalův trojúhelník se snadno zobecní na vyšší dimenze. Trojrozměrná verze se nazývá Pascalova pyramida .

Zobecnění pro záporné řádky

Pascalův trojúhelník se zobecňuje pro záporné řádky.

Nejprve napište trojúhelník v následujícím tvaru, který se nazývá pole A ( m , n ):

	m = 0	m = 1	m = 2	m = 3	m = 4	m = 5	...
n = 0	1	0	0	0	0	0	...
n = 1	1	1	0	0	0	0	...
n = 2	1	2	1	0	0	0	...
n = 3	1	3	3	1	0	0	...
n = 4	1	4	6	4	1	0	...

Poté to napište takto:

	m = 0	m = 1	m = 2	m = 3	m = 4	m = 5	...
n = -4	1						...
n = -3	1						...
n = -2	1						...
n = -1	1						...
n = 0	1	0	0	0	0	0	...
n = 1	1	1	0	0	0	0	...
n = 2	1	2	1	0	0	0	...
n = 3	1	3	3	1	0	0	...
n = 4	1	4	6	4	1	0	...

Vzorec:

(nem)=(ne-1m-1)+(ne-1m){\ displaystyle {n \ zvolit m} = {n-1 \ zvolit m-1} + {n-1 \ vybrat m}}

lze přeskupit takto:

(ne-1m)=(nem)-(ne-1m-1){\ displaystyle {n-1 \ zvolit m} = {n \ zvolit m} - {n-1 \ zvolit m-1}}

což umožňuje výpočet podmínek záporné pozice:

	m = 0	m = 1	m = 2	m = 3	m = 4	m = 5	...
n = −4	1	-4	10	-20	35	-56	...
n = -3	1	-3	6	-10	15	-21	...
n = -2	1	-2	3	-4	5	-6	...
n = -1	1	-1	1	-1	1	-1	...
n = 0	1	0	0	0	0	0	...
n = 1	1	1	0	0	0	0	...
n = 2	1	2	1	0	0	0	...
n = 3	1	3	3	1	0	0	...
n = 4	1	4	6	4	1	0	...

Toto rozšíření zachovává vzorce:

(nem)=1m!∏k=0m-1(ne-k)=1m!∏k=1m(ne-k+1){\ displaystyle {n \ choose m} = {\ frac {1} {m!}} \ prod _ {k = 0} ^ {m-1} (nk) = {\ frac {1} {m!}} \ prod _ {k = 1} ^ {m} (nk + 1)}.

a

(1+X)ne=∑k=0∞(nek)Xkpro|X|<1{\ displaystyle (1 + x) ^ {n} = \ součet _ {k = 0} ^ {\ infty} {n \ zvolte k} x ^ {k} \ quad {\ textrm {pro}} | x | < 1}

Tak :

(1+X)-2=1-2X+3X2-4X3+...pro|X|<1{\ displaystyle (1 + x) ^ {- 2} = 1-2x + 3x ^ {2} -4x ^ {3} + ... \ quad {\ textrm {for}} | x | <1}

Další možnost rozšíření ve srovnání se zápornými řádky je následující:

	m = -4	m = -3	m = -2	m = -1	m = 0	m = 1	m = 2	m = 3	m = 4	m = 5	...
n = -4	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	...
n = -3		1	0	0	0	0	0	0	0	0	...
n '= -2			1	0	0	0	0	0	0	0	...
n = -1				1	0	0	0	0	0	0	...
n = 0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	...
n = 1	0	0	0	0	1	1	0	0	0	0	...
n = 2	0	0	0	0	1	2	1	0	0	0	...
n = 3	0	0	0	0	1	3	3	1	0	0	...
n = 4	0	0	0	0	1	4	6	4	1	0	...

Použitím stejných pravidel jako dříve dochází k:

	m = -4	m = -3	m = -2	m = -1	m = 0	m = 1	m = 2	m = 3	m = 4	m = 5	...
n = -4	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	...
n = -3	-3	1	0	0	0	0	0	0	0	0	...
n = -2	3	-2	1	0	0	0	0	0	0	0	...
n = -1	-1	1	-1	1	0	0	0	0	0	0	..
n = 0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	...
n = 1	0	0	0	0	1	1	0	0	0	0	...
n = 2	0	0	0	0	1	2	1	0	0	0	...
n = 3	0	0	0	0	1	3	3	1	0	0	...
n = 4	0	0	0	0	1	4	6	4	1	0	...

Toto zobecnění umožňuje zachovat exponenciální vlastnost matice. Opravdu, jak máme,

exp⁡(.....1.....2.....3.....4.)=(1....11...121..1331.14641){\ displaystyle \ exp {\ begin {pmatrix}. &. &. &. & \\ 1 &. &. &. &. \\. & 2 &. &. &. \\. &. & 3 & . &. \\. &. &. & 4 &. \ End {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 &. &. &. &. \\ 1 & 1 &. &. &. &. \ 1 & 2 & 1 &. &. \\ 1 & 3 & 3 & 1 &. \\ 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \ end {pmatrix}}},

rozšiřujeme na,

exp⁡(..........-4..........-3..........-2..........-1..........0..........1..........2..........3..........4.)=(1.........-41........6-31.......-43-21......1-11-11..........1.........11........121.......1331......14641){\ displaystyle \ exp {\ begin {pmatrix}. &. &. &. &. &. &. &. &. &. \\ - 4 &. &. &. &. &. &. &. &. &. \\. & - 3 &. &. &. &. &. &. &. &. \\. &. & - 2 &. &. &. &. &. &. &. &. \\ . &. &. & -1 &. &. &. &. &. &. \\. &. &. &. & 0 &. &. &. &. &. \\. &. &. & &. & 1 &. &. &. &. \\. &. &. &. &. &. &. &. &. &. \\. &. &. &. &. &. &. &. &. &. \\. &. &. &. &. &. &. &. & 4 &. \ End {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 &. &. &. &. &. & . &. &. &. \\ - 4 & 1 &. &. &. &. &. &. &. &. \\ 6 & -3 & 1 &. &. &. &. &. &. & . \\ - 4 & 3 & -2 & 1 &. &. &. &. &. &. \\ 1 & -1 & 1 & - 1 & 1 &. &. &. &. &. \\. &. &. &. &. & 1 &. &. &. &. \\. &. &. &. &. & 1 & 1 &. &. &. \\. &. &. &. & & 1 & 2 & 1 &. &. \\. &. &. &. &. & 1 & 3 & 3 & 1 &. \\. &. &. &. &. & 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \ end {pmatrix}}}

Tyto dvě zobecnění lze získat také pomocí funkce gama zápisem:

(nek)=ne!(ne-k)!k!≡Γ(ne+1)Γ(ne-k+1)Γ(k+1){\ displaystyle {n \ select k} = {\ frac {n!} {(nk)! k!}} \ equiv {\ frac {\ Gamma (n + 1)} {\ Gamma (n-k + 1) \ Gamma (k + 1)}}}.

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z anglického článku Wikipedie s názvem „  Pascalův trojúhelník  “ ( viz seznam autorů ) .

Poznámky

1. Nebo obecněji pro všechna relativní celá čísla n a k , s if nebo konvencí .(nek)=0{\ displaystyle {n \ vyberte k} = 0}k<0{\ displaystyle k <0}k>ne{\ displaystyle k> n}
2. Použití aritmetického trojúhelníku k určení stran mezi dvěma hráči, kteří hrají v několika hrách.
3. Formula využívaná Pascalem v jeho problému stran.

Reference

1. (in) John J. O'Connor a Edmund F. Robertson , „Abu Bakr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji“ v archivu MacTutor History of Mathematics , University of St Andrews ( číst online ).
2. (in) John J. O'Connor a Edmund F. Robertson , „Ibn al-Banna“ v archivu MacTutor History of Mathematics , University of St Andrews ( číst online ).
3. (in) VJ Katz , A History of Mathematics: An Introduction , 1992 (podle Binomial Theorem and the Pascal Triangle , podle UniSA ).
4. Web Gérarda Vilemina .
5. Henri Bosmans, Historická poznámka o aritmetickém trojúhelníku [PDF] .
6. (La) Marin Mersenne, F. Marini Mersenni Harmonicorum libri , Paříž, G. Baudry, 1636( číst online ) , s.  136.
7. (in) Eric W. Weisstein , „The  Christmas Stocking Theorem  “ na MathWorld .
8. Ian Stewart , "fraktální Pascal" pro vědu , n o  129, 1988 , s.  100-105 . Podle tohoto webu .
9. Henri Immediato, Praktický výpočet s Pascalovým trojúhelníkem .
10. Jak vypočítat reálná čísla COS (pi / n) pomocí Pascalova trojúhelníku .

Podívejte se také

Související články

• Kombinace
• Kombinační
• Singmaster dohad
• Trojúhelníková sada
• Normální zákon
• Pascalova matice
• Pascalův trojúhelník (2.1)
• Trojúhelníky Stirlingových čísel
• Fibonomiální trojúhelník
• Delannoyův trojúhelník
• Věta o Davidově hvězdě

externí odkazy

• (en) Eric W. Weisstein , „  Pascalův trojúhelník  “ , na MathWorld
• (en) Leibniz a Pascal Triangles na uzlu cut-the-uzel
• (en) Dot Patterns, Pascal Triangle a Lucas Theorem on cut-the-uzel
• (en) Nejstarší známá použití některých slov matematiky (P)
• (en) „  Pascalův trojúhelník a jeho vzory  “ na ptri1.tripod.com
• (en) „  Pascalův trojúhelník  “ na Matematickém fóru - Zeptejte se Dr. Matematiky: FAQ

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">