Provozovatel Hamilton , Hamiltonova operátora nebo jen hamiltoniánu je operátor matematika s mnoha aplikací v různých oblastech fyziky .
Podle Jérôme Pérez vyvinul hamiltoniánský operátor v roce 1811 Joseph-Louis Lagrange, když Hamiltonovi bylo pouhých 6 let. Lagrange výslovně napsal:
vzorec, který odkazoval na Christiaana Huygense a kterého by nazval Huygensien.
Teprve později byl operátor pojmenován Hamiltonian s odkazem na hamiltoniánskou mechaniku , kterou vyvinul Sir William Rowan Hamilton, když přeformuloval zákony newtonovské mechaniky . Ačkoli hamiltonovský formalizmus není tak vhodný jako lagraniánský formalismus pro popis symetrií fyzického systému, je stále široce používán klasickou mechanikou , statistickou fyzikou a kvantovou mechanikou .
Tento operátor je známý a je Legendre transformaci do lagrangiánu :
Na pravé straně tohoto vzorce se předpokládá, že rychlosti jsou vyjádřeny jako funkce konjugovaných momentů .
Pokud jsou rovnice, které definují zobecněné souřadnice, nezávislé na čase t , můžeme ukázat, že se rovná celkové energii E , která se rovná součtu kinetické energie T a potenciální energie V ( ).
V kvantové mechanice , ve Schrödingerově zastoupení , je vývoj v čase kvantového systému charakterizován (na nekonečně malé úrovni ) Hamiltonovým operátorem , jak je vyjádřen slavnou Schrödingerovou rovnicí :
kde je vlnová funkce systému a hamiltonovský operátor. Ve stacionárním stavu :
kde je energie stacionárního stavu. Snadno vidíme, že stacionární stav je vlastní vektor hamiltonovského operátora, jehož vlastní hodnota je vlastní . Protože Hamiltonián je hermitovský operátor , získané energie jsou skutečné.
V Heisenbergově zastoupení jsou státy nezávislé na čase a operátoři jsou závislí na čase. Hamiltonovský operátor poté zasáhne do evoluční rovnice operátorů:
kde označuje derivaci s ohledem na explicitní závislost na čase a je přepínačem operátorů a .
Přecházíme od Schrödingerova zastoupení k Heisenbergu prostřednictvím evolučního operátora .
V nerelativistickém případě lze hamiltonovský operátor získat z hamiltoniánu klasické mechaniky na principu korespondence . Pokud je klasický Hamiltonián, získá se kvantový Hamiltonián nahrazením klasických proměnných ( hybnost ) a (souřadnice) operátory a .
Někdy je nutné takto získaný Hamiltonian symetrizovat, aby se zajistila jeho poustevnost. Princip korespondence ve skutečnosti vždy umožňuje získat klasický hamiltonián z kvantového hamiltoniánu nahrazením operátorů čísly, ale několik kvantových operátorů, které se liší pouze pořadím operátorů (které nedojíždí), může vést k stejná klasická proměnná.