Kinetická energie
Kinetická energie
K demolici budovy se zde používá rozptýlení kinetické energie.
Kinetická energie (z řeckého ἐνέργεια / energeia „Action Force“ a κίνησις / Kinesis ‚hnutí‘) je energie posedlý těle kvůli jeho pohybu vzhledem k odkazu dané. Jeho hodnota proto závisí na výběru tohoto úložiště. Vyjadřuje se v joulech (J).
U hmotného bodu se kinetická energie rovná práci aplikovaných sil nutných k pohybu tělesa z klidu do jeho pohybu (pokud zvolený referenční rámec není galilejský , je třeba vzít v úvahu práci setrvačnosti síly d 'koučování). Výsledkem je, že kinetika energie není obvykle prvním integrálem pohybu, pokud není práce vnějších a vnitřních sil (pro systém hmotných bodů) během pohybu nulová . Klasickým příkladem tohoto typu situace je případ pohybu elektrického náboje v rovnoměrném magnetickém poli .
Historický
Gottfried Leibniz , čímž se postavil proti Descartovi, který se domníval, že hybnost byla vždy zachována, vyvinul myšlenku „živé síly “ ( vis viva ), které přisuzoval hodnotu . Živá síla je tedy dvojnásobkem kinetické energie.
mproti2{\ displaystyle mv ^ {2}}
„Je to už dlouho, co jsem opravil doktrínu zachování hybnosti a že jsem na její místo vložil něco absolutního, přesně to, co je potřeba, (živou) sílu. Absolutní ... Můžeme dokázat, rozumem a zkušenost, že je to živá síla, která je zachována ... “ .
Zápisy
Kinetická energie je ve francouzských textech obecně označována jako E c („ E “ pro energii , „c“ pro kinetiku ). V anglických textech najdeme E k nebo K , kde „k“ je iniciála kinetiky (anglické slovo, které odpovídá kinetice ).
Definice
Obecně se kinetická energie (v J) hmotného klidového bodu v klidu (v kg) pohybujícího se rychlostí (v m / s) v daném referenčním rámci vyjadřuje takto:
Evs.{\ displaystyle E_ {c}}m{\ displaystyle m}proti{\ displaystyle v}
Evs.=y2y+1mproti2{\ displaystyle E _ {\ mathrm {c}} = {\ frac {\ gamma ^ {2}} {\ gamma +1}} mv ^ {2}}S Lorentzovým faktorem :
y=11-proti2vs.2{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}}V nerelativistických případech (tj. Když jsou rychlosti malé ve srovnání s rychlostí světla ve vakuu) lze kinetickou energii aproximovat následujícím vztahem:
Evs.{\ displaystyle E_ {c}}
Evs.≈12mproti2{\ displaystyle E_ {c} \ přibližně {\ frac {1} {2}} \, m \, v ^ {2}}
Případ věcného bodu
V oblasti platnosti newtonovské mechaniky lze pojem kinetické energie snadno prokázat pro hmotný bod , tělo považované za bod konstantní hmotnosti m .
V tomto případě je skutečně napsán základní vztah dynamiky :
mdproti→dt=∑F→{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {v}}} {\ mathrm {d} t}} = \ součet {\ vec {F}}}s:
Tím, že vezmeme skalární součin, končetinu na končetinu, rychlostí těla, dojde:
proti→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}
m(dproti→dt)⋅proti→=(∑F→)⋅proti→{\ displaystyle m \ left ({\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {v}}} {\ mathrm {d} t}} \ right) \ cdot {\ vec {v}} = \ left (\ součet {\ vec {F}} \ doprava) \ cdot {\ vec {v}}}Kde:
(dproti→dt)⋅proti→=ddt(12proti2){\ displaystyle \ left ({\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {v}}} {\ mathrm {d} t}} \ right) \ cdot {\ vec {v}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vlevo ({\ frac {1} {2}} v ^ {2} \ vpravo)}přichází takto:
ddt(12mproti2)=∑(F→⋅proti→){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {1} {2}} mv ^ {2} \ right) = \ sum \ left ({ \ vec {F}} \ cdot {\ vec {v}} \ vpravo)}.
Zdůrazňujeme na levé straně je množství tzv kinetická energie hmotného bodu, jehož derivace vzhledem k času se rovná součtu sil jednotlivých sil působících na tělo ( kinetická energie teorém , „instantní“ forma).
Evs.≡12mproti2{\ displaystyle E_ {c} \ equiv {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}} F→⋅proti→{\ displaystyle {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {v}}}
Můžeme získat obecnější výraz tím, že vezmeme v úvahu, že proto máme , protože . Zavedením nekonečně malé variace hybnosti těla nakonec přichází výraz:
∫d(12mproti2)=∫mproti→⋅dproti→{\ displaystyle \ int \ mathrm {d} \ left ({\ frac {1} {2}} mv ^ {2} \ right) = \ int m {\ vec {v}} \ cdot \ mathrm {d} { \ vec {vb}}}d(proti2)=2proti→⋅dproti→{\ displaystyle \ mathrm {d} (v ^ {2}) = 2 {\ vec {v}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {v}}}dp→≡mdproti→{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {p}} \ ekviv m \ mathrm {d} {\ vec {v}}}
ΔEvs.=∫proti→⋅dp→{\ displaystyle \ Delta E_ {c} = \ int {\ vec {v}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {p}}}kde označuje změnu kinetické energie.
ΔEvs.{\ displaystyle \ Delta E_ {c}}
V oblasti platnosti relativistické mechaniky není hmotnost objektu invariantní k jeho rychlosti, proto používáme následující vztah:
ΔEvs.=∫proti→⋅d(myproti→)=y2y+1mproti2{\ displaystyle \ Delta E_ {c} = \ int {\ vec {v}} \ cdot \ mathrm {d} (m _ {\ gamma} {\ vec {v}}) = {\ frac {\ gamma ^ { 2}} {\ gamma +1}} mv ^ {2}}
Případ bodového systému
V případě tělesa, které nelze považovat za dochvilné, je možné jej asimilovat do systému (nekonečna) hmotných bodů hmot s celkovou hmotností tělesa.
Mi{\ displaystyle M_ {i}}mi{\ displaystyle m_ {i}}M=∑imi{\ displaystyle M = \ součet _ {i} m_ {i} \ qquad}
Kinetickou energii soustavy bodů lze potom jednoduše definovat jako součet kinetických energií spojených s hmotnými body tvořícími soustavu:
Evs.{\ displaystyle E_ {c}}
Evs.=∑iEvs.,i=∑i12miprotii2{\ displaystyle E_ {c} = \ součet _ {i} E_ {c, i} = \ součet _ {i} {\ frac {1} {2}} m_ {i} v_ {i} ^ {2}} (1)
Tento výraz je obecný a nepředjímá povahu systému, deformovatelného či nikoli.
Poznámka: zvážením limitu spojitých médií, které má , M je aktuální bod systému (S).
Evs.=∫(S)12ρ(M)protiM2dτ {\ displaystyle E_ {c} = \ int _ {(S)} {\ frac {1} {2}} \ rho (M) v_ {M} ^ {2} \, \ mathrm {d} \ tau \}
Jednota
Právní jednotkou je joule . Výpočty se provádějí s hmotností v kg a rychlostmi v metrech za sekundu.
Výraz (1) je sotva použitelný přímo, i když je obecný. Je možné jej přepsat do jiné formy, jejíž fyzická interpretace je jednodušší.
Státy
Tato věta je demonstrována použitím barycentrického referenčního rámce (R * ) spojeného se středem setrvačnosti G systému a v translačním pohybu vzhledem ke studijnímu referenčnímu rámci (R) . Je to napsané:
Evs.=12MprotiG2+Evs.∗{\ displaystyle E_ {c} = {\ frac {1} {2}} Mv_ {G} ^ {2} + E_ {c} ^ {*}}Kinetická energie systému je pak součtem dvou výrazů: kinetická energie na těžiště (S) je přiřazen jeho celkové hmotnosti M , a na vlastní kinetickou energii systému (R * ), .
12MprotiG2{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} Mv_ {G} ^ {2}}Evs.∗≡12∑imiprotii∗2{\ displaystyle E_ {c} ^ {*} \ equiv {\ frac {1} {2}} \ součet _ {i} m_ {i} v_ {i} ^ {* 2}}
Aplikace na pevnou látku
Pevná látka je systém bodů tak, že vzdálenost mezi dvěma body (S) jsou konstantní. Jedná se o idealizaci skutečné pevné látky, považované za absolutně rigidní.
Obecný případ: okamžitá osa otáčení
V tomto případě lze pohyb těles rozdělit na pohyb jeho těžiště G v (R) a rotační pohyb kolem okamžité osy (Δ) v barycentrickém referenčním rámci (R * ).
Přesněji, pro těleso lze zapsat pole rychlosti v barycentrickém referenčním rámci (R * ) ve formě , což je vektor okamžité rotace tělesa v (R * ) [nebo (R), protože dva snímky reference are in translation]. Jeho vlastní kinetická energie je pak vyjádřena:
protii∗→=ω→∧GMi→{\ displaystyle {\ vec {v_ {i} ^ {*}}} = {\ vec {\ omega}} \ klín {\ vec {GM_ {i}}}}ω→{\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}Ek∗{\ displaystyle E_ {k} ^ {*}}
Ek∗=12∑imiprotii∗→⋅(ω→∧GMi→)=12ω→⋅(∑iGMi→∧miprotii∗→)=12THEG→⋅ω→{\ displaystyle E_ {k} ^ {*} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i} m_ {i} {\ vec {v_ {i} ^ {*}}} \ cdot \ left ({\ vec {\ omega}} \ wedge {\ vec {GM_ {i}}} \ right) = {\ frac {1} {2}} {\ vec {\ omega}} \ cdot \ left (\ sum _ {i} {\ vec {GM_ {i}}} \ klín m_ {i} {\ vec {v_ {i} ^ {*}}} \ vpravo) = {\ frac {1} {2}} {\ vec {L_ {G}}} \ cdot {\ vec {\ omega}}},
protože , moment hybnosti pevné látky s ohledem na G, která se rovná správného momentu hybnosti (viz Koniga věty ).
THEG→=THE∗→=∑iGMi→∧miprotii∗→{\ displaystyle {\ vec {L_ {G}}} = {\ vec {L ^ {*}}} = \ součet _ {i} {\ vec {GM_ {i}}} \ klín m_ {i} {\ vec {v_ {i} ^ {*}}}}THE∗→{\ displaystyle {\ vec {L ^ {*}}}}
Podle Königovy věty je tedy celková kinetická energie tělesa napsána následovně:
Ek=12MprotiG2+12THEG→⋅ω→{\ displaystyle E_ {k} = {\ frac {1} {2}} Mv_ {G} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} {\ vec {L_ {G}}} \ cdot { \ vec {\ omega}}}což lze považovat za součet „translační“ kinetické energie a rotační kinetické energie , nazývané také úhlová kinetická energie .
Er≡12THEG→⋅ω→{\ displaystyle E_ {r} \ equiv {\ frac {1} {2}} {\ vec {L_ {G}}} \ cdot {\ vec {\ omega}}}
Případ otáčení kolem pevné osy
Pokud navíc existuje rotace kolem osy (Δ) fixované v (R), zapíše se moment hybnosti vzhledem k G tělesa , kde je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose rotace (Δ) ). Jeho kinetická energie rotace bude tedy ve formě:
THEG→=JáΔω→{\ displaystyle {\ vec {L_ {G}}} = já _ {\ Delta} {\ vec {\ omega}}}JáΔ{\ displaystyle I _ {\ Delta}}
Er=12JáΔ⋅ω2{\ displaystyle E_ {r} = {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} I _ {\ Delta} \ cdot \ omega ^ {2}}.
V relativistické mechanice
V teorii relativity ze Einstein (používá se především pro rychlostech blízkých rychlosti světla , ale platí pro všechny sazeb), kinetická energie je:
Evs.=(y-1)mvs.2=(11-proti2vs.2-1)mvs.2{\ displaystyle E _ {\ mathrm {c}} = (\ gamma -1) mc ^ {2} = \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} - 1 \ vpravo) mc ^ {2}}nebo:
-
E c je kinetická energie těla (v uvažovaném referenčním rámci);
-
v rychlost karoserie (v uvažovaném referenčním rámci);
-
m jeho hmotnost v klidu (v jeho rámci odkazu);
-
c o rychlosti světla ve vakuu (v každém inerciální vztažné soustavě);
-
γmc 2 celková energie v těle (v referenčním rámci uvažovaného);
-
mc 2 energie v klidu (90 peta joulů na kilogram);
-
y=11-proti2vs.2{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}}faktor Lorentz .
Teorie relativity tvrdí, že kinetická energie objektu (mající nenulovou „klidovou“ hmotu) má sklon k nekonečnu, když se jeho rychlost blíží rychlosti světla, a proto není možné objekt zrychlit až na tuto rychlost.
Pro rychlost v malou před c ( ) je omezený vývoj relativistické kinetické energie:
proti≪vs.{\ displaystyle v \ ll c}
Evs.≈12mproti2+38mproti4vs.2+516mproti6vs.4+...{\ displaystyle E _ {\ mathrm {c}} \ přibližně {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + {\ frac {3} {8}} {\ frac {mv ^ {4}} {c ^ {2}}} + {\ frac {5} {16}} {\ frac {mv ^ {6}} {c ^ {4}}} + \ dots}Newtonovská kinetická energie se tedy nachází v prvním řádu . Například pro objekt o hmotnosti jednoho kilogramu, který jde rychlostí 10 km / s , je rozdíl mezi relativistickou kinetickou energií a newtonovskou kinetickou energií asi 0,04 J pro newtonovskou kinetickou energii 50 MJ, tj. Relativní rozdíl 0,8 miliardtiny. Tento rozdíl je 400 J nad 5 GJ při 100 km / s , což je relativní rozdíl 80 miliardtin.
Když je gravitace nízká a objekt se pohybuje rychlostí mnohem nižší než je rychlost světla (to je případ většiny jevů pozorovaných na Zemi ), vzorec newtonovské mechaniky je vynikající aproximací relativistické kinetické energie.
Z rovnice zachování energie známé jako:
ymvs.2=mvs.2+Evs.{\ displaystyle \ gamma mc ^ {2} = mc ^ {2} + E _ {\ mathrm {c}}}A z rovnice omezené relativity :
y2m2vs.4=m2vs.4+p2vs.2{\ displaystyle \ gamma ^ {2} m ^ {2} c ^ {4} = m ^ {2} c ^ {4} + p ^ {2} c ^ {2}}Je možné ukázat, že:
Evs.=y2y+1mproti2{\ displaystyle E _ {\ mathrm {c}} = {\ frac {\ gamma ^ {2}} {\ gamma +1}} mv ^ {2}}Můžeme ověřit platnost tohoto zápisu jeho vyrovnáním pomocí Einsteinova vzorce pro kinetickou energii:
y2y+1mproti2=(y-1)mvs.2{\ displaystyle {\ frac {\ gamma ^ {2}} {\ gamma +1}} mv ^ {2} = (\ gamma -1) mc ^ {2}}To umožňuje najít definici Lorentzova faktoru:
y=11-proti2vs.2{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}}
Věta o kinetické energii
Tato věta, platí pouze v rámci Newtonovy mechaniky , umožňuje propojit kinetickou energii systému, k práci na sil , kterému je vystaven.
Státy
V Galilean referenční rámec , u skupiny konstantní hmotnostní m cestující cestu spojující bodu A do bodu B, změna kinetické energie se rovná součtu prací W těchto sil ( vnější a vnitřní ), které jsou působící na tělo považováno za:
ΔEvs.NAB=Evs.B-Evs.NA=∑ŽFEXt/inetNAB{\ displaystyle \ Delta E_ {c_ {AB}} = E_ {c_ {B}} - E_ {c_ {A}} = \ součet {W_ {F_ {ext / int}} ^ {AB}}}nebo:
- E cA a E cB jsou kinetická energie tělesa v bodech A a B.
Demonstrace
Podle Newtonova 2 nd zákona je zrychlení z těžiště se týká síly působící na pevné látky podle následujícího vztahu:
mNa→=F→{\ displaystyle m \, {\ vec {a}} = {\ vec {F}}}Během časového období dt se těleso pohybuje tam, kde je rychlost tělesa. Dedukujeme základní práci sil:
du→=proti→dt{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {u}} = {\ vec {v}} \, \ mathrm {d} t}proti→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}
δŽ=F→⋅du→=mNa→⋅du→=mdproti→dt⋅proti→dt=mproti→⋅dproti→{\ displaystyle \ delta W = {\ vec {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {u}} = m \, {\ vec {a}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec { u}} = m \, {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {v}}} {\ mathrm {d} t}} \ cdot {\ vec {v}} \, \ mathrm {d} t = m \, {\ vec {v}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {v}}}Pokud těleso prochází cestu z bodu A do bodu B, pak se celková práce získá vytvořením integrálu podél cesty:
Ž=∫NABF→⋅du→=∫protiNAprotiBmproti→⋅dproti→{\ displaystyle W = \ int _ {A} ^ {B} {\ vec {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {u}} = \ int _ {v_ {A}} ^ {v_ { B}} m \, {\ vec {v}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {v}}}proti→⋅dproti→{\ displaystyle {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {dv}}}je přesný rozdíl , integrál nezávisí na cestě sledované mezi A a B a lze jej proto získat explicitně:
Ž=m∫protiNAprotiBproti→⋅dproti→=m(∫protiXNAprotiXBprotiXdprotiX+∫protiyNAprotiyBprotiydprotiy+∫protizNAprotizBprotizdprotiz)=m([protiX22]protiXNAprotiXB+[protiy22]protiyNAprotiyB+[protiz22]protizNAprotizB){\ displaystyle W = m \, \ int _ {v_ {A}} ^ {v_ {B}} {\ vec {v}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {v}} = m \, \ vlevo (\ int _ {v_ {xA}} ^ {v_ {xB}} v_ {x} \, \ mathrm {d} v_ {x} + \ int _ {v_ {yA}} ^ {v_ {yB}} v_ {y} \, \ mathrm {d} v_ {y} + \ int _ {v_ {zA}} ^ {v_ {zB}} v_ {z} \, \ mathrm {d} v_ {z} \ vpravo) = m \, \ left (\ left [{\ frac {v_ {x} ^ {2}} {2}} \ right] _ {v_ {xA}} ^ {v_ {xB}} + \ left [{\ frac {v_ {y} ^ {2}} {2}} \ doprava] _ {v_ {yA}} ^ {v_ {yB}} + \ left [{\ frac {v_ {z} ^ {2}} { 2}} \ vpravo] _ {v_ {zA}} ^ {v_ {zB}} \ vpravo)}
Ž=m(protiXB2-protiXNA22+protiyB2-protiyNA22+protizB2-protizNA22)=12m[(protiXB2+protiyB2+protizB2)-(protiXNA2+protiyNA2+protizNA2)]{\ displaystyle W = m \, \ left ({\ frac {v_ {xB} ^ {2} -v_ {xA} ^ {2}} {2}} + {\ frac {v_ {yB} ^ {2} -v_ {yA} ^ {2}} {2}} + {\ frac {v_ {zB} ^ {2} -v_ {zA} ^ {2}} {2}} \ right) = {\ frac {1 } {2}} m \, \ left [\ left (v_ {xB} ^ {2} + v_ {yB} ^ {2} + v_ {zB} ^ {2} \ right) - \ left (v_ {xA } ^ {2} + v_ {yA} ^ {2} + v_ {zA} ^ {2} \ vpravo) \ vpravo]}
Ž=12m(‖protiB→‖2-‖protiNA→‖2)=12m(protiB2-protiNA2)=12mprotiB2-12mprotiNA2=Evs.B-Evs.NA{\ displaystyle W = {\ frac {1} {2}} m \, \ left (\ left \ | {\ vec {v_ {B}}} \ right \ | ^ {2} - \ left \ | {\ vec {v_ {A}}} \ right \ | ^ {2} \ right) = {\ frac {1} {2}} m \, \ left (v_ {B} ^ {2} -v_ {A} ^ {2} \ right) = {\ frac {1} {2}} m \, v_ {B} ^ {2} - {\ frac {1} {2}} m \, v_ {A} ^ {2} = E_ {c_ {B}} - E_ {c_ {A}}}
Věta o kinetické energii
V galileovském referenčním rámci se síla sil působících na bod M rovná derivaci s ohledem na čas kinetické energie.
P=dEvs.dt{\ displaystyle P = {\ frac {\ mathrm {d} E_ {c}} {\ mathrm {d} t}} \,}Tuto definici lze také použít na jedno těleso, pokud vezmeme v úvahu pouze sílu sil vně tělesa.
Tepelná energie jako kinetická energie
Tepelná energie je forma energie vzhledem k celkové kinetické energie molekul a atomů , které tvoří hmotu. Vztah mezi teplem, teplotou a kinetickou energií atomů a molekul je předmětem statistické mechaniky a termodynamiky .
Kvantová v přírodě je tepelná energie přeměňována na elektromagnetickou energii zářením. Toto tepelné záření lze za určitých podmínek aproximovat modelem takzvaného záření „ černého těla “.
Teplo , což představuje výměnu tepelné energie, je analogický s prací v tom smyslu, že představuje změnu vnitřní energie systému. Energie představovaná teplem přímo odkazuje na energii spojenou s molekulárním mícháním. Zachování tepla a mechanické energie je předmětem prvního principu termodynamiky .
Poznámky a odkazy
Poznámky
-
„V klidu“ znamená ve svém referenčním rámci.
-
Je třeba vzít v úvahu všechny síly: ať už jsou konzervativní nebo ne.
-
Příklady vnitřních sil: třecí síly mezi dvěma částmi systému, kohezní síly mezi atomy (druhá ve většině případů negeneruje práci).
Reference
-
(in) GW Leibniz von Freiherr , „Specimen Dynamicum“ , Philip P. Wiener, Leibniz Selections [„Leibniz Selections“], New York, synové Charlese Scribnera,1979( 1 st ed. 1951), 606 str. , 21 cm ( ISBN 9780684175959 , OCLC 12309633 ) , část 2: První principy: Základy věd, kapitola 5.
Podívejte se také
Související články
externí odkazy