Topologická optimalizace

Optimalizace topologie je matematická metoda (a software) pro nalezení optimální rozložení materiálu v daném objemu pod stresem. Liší se zejména optimalizací tvaru, která mění pouze ohraničení dílu, které muselo být nakresleno na začátku.

Dosud známé topologické optimalizační metody umožňují optimalizovat elasticko-mechanický odpor, tepelnou vodivost nebo určité problémy s prouděním kapaliny.

Dějiny

Tato matematická metoda byla jasně definována, vysvětlena a použitelná pro mechaniku v roce 2000 , zejména u zakládajícího článku Ole Sigmunda.

Stále sofistikovanější software pro optimalizaci topologie umožňuje technikům ukládat možný materiál objektu při zachování nebo zlepšení jeho pevnosti nebo flexibility (je-li to nutné) a při zohlednění omezení, která na něj budou vyvíjena, pracovat jednou na základě intuice, metody pokusů a omylů a / nebo geniality tvůrců a / nebo výrobních inženýrů.
Velmi jednoduchým příkladem je optimalizované snížení počtu paprsků kola jízdního kola. Doposud se jednalo pouze o jednoduché formuláře, protože tento software je při výpočtu velmi chamtivý nebo byl rychle omezen složitostí požadované práce.
vříjna 2017, v časopise Nature, vědci z dánské univerzity představili způsob provádění této práce pro velké objekty zlepšením možného rozlišení (2d obraz je tvořen pixely, zatímco 3D obraz je tvořen voxely . donedávna , rozlišení optimalizovaných 3D modelů bylo omezeno na 5 milionů voxelů, ale nový program optimalizuje objekty až na 1 miliardu voxelů, což umožňuje například modelovat a přepracovat jejich optimalizaci pomocí 5% lehčího křídla Boeing 777, přičemž je zesílen zevnitř zakřivenými nosníky a diagonálními žebry a už ne ve formě mřížky ... s očekávanou úsporou 200 tun petroleje / rok. potřeba 5denní výpočty superpočítačem a tento design (který evokuje vnitřek určitých kostí nebo vnitřek částí hmyzích exoskeletonů) je v současné době „infabricable“, ale pokrok 3D tisku by to mohl brzy uvést v našem dosahu.

Matematický formalismus

Státy

Obecný problém topologické optimalizace je kladen jako

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ text {Find}} \ quad & \ min _ {\ rho} {\ mathcal {J}} (u (\ rho), \ rho) \\ {\ text {předmět à}} \ quad & G_ {0} (\ rho) = \ int _ {\ Omega} \ rho {\ text {d}} VV _ {\ text {max}} \ leq 0 \\ & G_ {i} (\ rho) \ leq 0 \ quad (i \ geq 1) \ end {zarovnáno}}}$

nebo

Proměnná návrhu ( design ) je hustota materiálu. 1 znamená přítomnost materiálu a 0 znamená nepřítomnost materiálu. Stavová proměnná je řešením diferenciální rovnice, která modeluje herní jev podle návrhu (obecně rovnice pružnosti ); ${\ displaystyle \ rho: \ Omega \ rightarrow [0,1]}$ ${\ displaystyle u (\ rho)}$ $\ rho$
${\ mathcal {J}}$ jsou funkční náklady. Představuje kvantitu zájmu, kterou chceme minimalizovat nebo maximalizovat (obecně flexibilita nebo rigidita);
$\ Omega$ je návrhový prostor, to znamená soubor bodů, které jsou předmětem optimalizace;
Omezení umožňují vnést zvláštnosti do konečného tvaru. Například uvalte omezení na maximální množství materiálu, který má být k dispozici. $G_ {i}$ ${\ displaystyle G_ {0}}$ ${\ displaystyle V _ {\ text {max}}}$

Interpolace vlastností materiálu

Cílem řešení tohoto problému je určit optimální rozložení materiálu v návrhovém prostoru . Na Youngův modul je vlastnost, která kvantifikuje schopnost materiálu deformovat. Tato charakteristika musí být interpolována podle hustoty (místa, kde je přítomnost materiálu, jsou tuhá, na rozdíl od míst, kde je vakuum). Například přístup SIMP ( Solid Isotropic Material with Penisation ) používá zákon síly k určení Youngova modulu podle hustoty v bodě: $\ Omega$ $E$ $\ rho$

${\ displaystyle E (\ rho) = E _ {\ text {min}} + \ rho ^ {p} (E-E _ {\ text {min}})}$

Parametr (obvykle ) penalizuje hodnoty mezi 0 a 1, aby získal binární výsledek. je bráno velmi blízko k 0, aby představovalo vakuum, ale ne nula, aby se zabránilo nulovým členům v matici rozlišení metody konečných prvků . $p$ $p = 3$ ${\ displaystyle E _ {\ text {min}}}$

Používají se i jiné přístupy, například metoda RAMP, která zahrnuje racionální interpolaci .

Charakterizace optimality

Zrušení přechodu v bodě je nezbytnou podmínkou pro optimálnost v neomezeném problému. Derivát ve smyslu dorty umožňuje vypočítat gradientu funkční ve směru : $\delta$

${\ displaystyle d {\ mathcal {J}} (\ rho; \ delta) = \ lim _ {t \ rightarrow 0} {\ frac {{\ mathcal {J}} (\ rho + t \ delta) - {\ mathcal {J}} (\ rho)} {t}} = (\ nabla {\ mathcal {J}} (\ rho), \ delta)}$

Je obtížné získat analytické řešení tohoto problému. K dosažení téměř optimálních návrhů se používají numerické optimalizační metody, jako je gradientní sestup . V těchto algoritmech lze vzít v úvahu omezení pomocí různých technik penalizace . ${\ displaystyle \ nabla {\ mathcal {J}}}$

Implementace

V mechanice řešení problému topologické optimalizace zahrnuje modelování součásti nebo sady dílů, které mají být optimalizovány metodou konečných prvků . Klasická metoda topologické optimalizace pak spočívá v uvažování v jakémkoli bodě optimalizačního objemu o hustotě hmoty pohybující se mezi 0 a 1. Jiné metody berou v úvahu lokální orientaci materiálu (pro neizotropní materiály) nebo dokonce jiné charakteristiky. Optimalizace obecně spočívá v těchto metodách v minimalizaci deformační energie konstrukce, která je zhruba stejná jako hledání nejpevnější možné struktury. Můžeme buď opravit množství materiálu použitého ke zvýraznění optimálních tvarů, řídit návrh a optimalizaci provedenou jinde, nebo přímo hledat definici tvaru minimalizujícího materiál, který má být implementován, aby se snížilo maximální zatížení. překročena. V praxi se pro zneužitelný výsledek (protože se jedná o oblak hustoty hmoty, který je generován a priori, a nikoli těleso s dobře definovaným okrajem) přidávají metody penalizace, filtrování a prahování, zejména za účelem zavedení specifická geometrická omezení související s výrobním procesem (symetrie, povolení dutého objemu či nikoli,…, dělicí čára).

Hlavní fáze a obtíže, které je třeba podniknout, jsou obecně následující:

Definujte specifikace součásti, která má být navržena:
- Skutečně dostupný prostor: je často mnohem větší než možná existující část a lze jej dále zvětšit přetvořením funkce, která má být skutečně splněna, a okolních omezení této části nebo sady částí, které mají být přepracovány. Nezapomeňte na oblasti, kde je materiál uložen nebo zakázán (z funkčních nebo estetických důvodů).
- Mechanická spojení s prostředím: je nutné přezkoumat možná spojení se sousedními částmi, protože u upevňovacích zón je často mnohem větší volnost, než jaké a priori předpokládaly. Někdy není snadné rozlišit, které zóny mají být blokovány nebo které zóny jsou zatíženy silami, nejpragmatičtější je představit si, jak by mohla být součást testována na zkušebním stavu, například pomocí pevných článků a zvedáků.
- Mechanické namáhání, kterému bylo vystaveno: je třeba vzít v úvahu všechna mechanická zatížení, která jsou součástí vidět, mimo hlavní funkci, tj. síly spojené s výrobními kroky (zejména obrábění), síly spojené s manipulací s dílem (montáž / demontáž dílu, přeprava), náhodné síly (rázy), například.
- Symetrie a výrobní podmínky (toto je čím dál tím lépe zohledněno výpočtovým softwarem).
Spusťte výpočet topologické optimalizace: jemnost sítě musí být přizpůsobena požadované prostorové přesnosti a dostupným počítačovým zdrojům; výpočty mohou být dlouhé, proto se snažíme provést první výpočty na stupnici od několika minut, abychom je poté zpřesnili. Je také nutné zkontrolovat, jak algoritmus zohledňuje různé případy načítání. Pokud skutečně hledáte jen tu nejpevnější možnou strukturu pro danou hmotu, energie různých zatížení se jednoduše sečtou, pak je vhodné je mezi nimi případně zvážit. Na druhou stranu, pokud je cílem získat co nejlehčí část, která se nerozbije, není třeba vážit.
Analýza výsledku: Chcete-li zobrazit snadno srozumitelnou část (s dobře definovanou prázdnotou a plnou), je výsledek obvykle filtrován pomocí softwaru pro zobrazení (např. Plná odpovídá oblastem s hustotou materiálu větší než 50%, jinak je to vakuum). Je proto nutné vzít v úvahu, že obecně se jedná o víceméně hustý / porézní materiál, který je algoritmem skutečně zvažován, a že možné zóny materiálu, které nejsou spojeny se zbytkem, jsou zcela možné, na 'displej, protože jsou spojeny se zbytkem materiálem s nízkou hustotou, nezobrazí se. Výsledek je tedy třeba interpretovat, aby bylo možné definovat část prázdnou a plnou, co nejblíže tomu, co algoritmus navrhuje. K podrobnému prozkoumání těchto jemností existují parametry (někdy skryté): prahová hodnota zobrazení materiálu (standardně 50% obecně), pokuta (zóny omezující hustotu parametrů kolem 50%, ale které mohou snížit konvergenci algoritmů), filtrování / vyhlazování ( filtr umožňující eliminovat detaily považované za příliš malé) a samozřejmě plynulost sítě (což umožňuje odhalit více či méně jemné detaily). V této fázi si často uvědomujeme, že získaný tvar je absurdní, obvykle následuje zapomenutí na hlavní omezení, nebo proto, že problém byl špatně kladen (například pokud není k rámu dostatek spojení, které by udržely díl, nebo proto, že ucpání nebo síly byly aplikovány na oblast, kde je materiál zakázán).
Kreslení a ověřování: po konsolidaci interpretace výsledků lze část nakreslit co nejblíže získané topologii (počet tyčí / desek, orientace, relativní tloušťky), ale možná příjemnější pro oko, protože takzvané „organické“ tvary získané topologickou optimalizací nejsou vždy vhodné. To je důvod, proč se na část (viditelnou část) někdy vloží vnější povrchová vrstva omezením topologické optimalizace pouze uvnitř části, která má být zesvětlena (neviditelná část). Optimální je, pokud je to možné, použít mřížové struktury (tj. Pevnou síť nosníků nebo stěn, jako jsou pěny), aby se materiál s střední hustotou umístil tam, kde to výpočet ukazuje (takto příroda využívá různé hustoty dřeva ve stromu, nebo různé hustoty kostí u obratlovců.

Reference

G. Allaire, S. Aubry, E. Bonnetier a F. Jouve, „ Topologická optimalizace struktur homogenizací “ ,1998(zpřístupněno 24. prosince 2008 )
(en) Sigmund O., „ Kód optimalizace topologie 99 řádků napsaný v Matlabu “ , Struct Multidisc Optim 21, 120–127, Springer-Verlag 2001 ,2001( číst online )
Andrew Wagner (2017) Podívejte se na design superpočítače a radikální nové křídlo pro letadla , publikováno 4. října 2017
Niels Aage, Erik Andreassen, Boyan S. Lazarov a Ole Sigmund (2017) Giga-voxel výpočetní morfogeneze pro konstrukční návrh | Příroda | 550,84–86 | 5. října 2017 | Doi: 10.1038 / nature23911 | Zveřejněno 4. října 2017
(in) Joshua D. Deaton a V. Ramana Grandhi , „ Průzkum optimalizace topologie strukturální a multidisciplinární kontinua: Post 2000 “ , Structural and Multidisciplinary Optimization , Vol. 49, n o 1,1 st 01. 2014, str. 1–38 ( ISSN 1615-1488 , DOI 10.1007 / s00158-013-0956-z , číst online , přístup k 20. listopadu 2019 )
Bourdin B (2001) Filtry v optimalizaci topologie . Int. J. Numer. Methods Eng. 50, 2143–2158
Catherine Vayssade, „ Mechanická optimalizace, Topologická optimalizace “ ,2004(zpřístupněno 24. prosince 2008 )
„ Topologická optimalizace pro urychlení designu “ , na MetalBlogu ,7. listopadu 2017

Podívejte se také

Související články

externí odkazy

Topopt Research Group , místo velmi kompletní univerzitní výzkumné skupiny pro topologickou optimalizaci.
Topostruct , bezplatný software pro optimalizaci topologie.
Inspirujte komerční software pro optimalizaci struktur, zejména topologickou optimalizací
Animace topologické optimalizace
TOPOPTIM , topologická optimalizační procedura implementovaná v kódu konečných prvků CAST3M
OptiStruct , komerční software pro optimalizaci struktur, zejména topologickou optimalizací

Bibliografie

Aage N, Andreassen & Lazarov BS (2015) Topology optimization using PETSc: an easy-to-use, fully parallel, open source topology optimization framework . Struct. Víceoborové. Optim. 51, 565–572
Alexandersen J, Sigmund O & Aage N (2016) Velkoplošná optimalizace trojrozměrné topologie chladičů chlazených přirozenou konvekcí . Int. J. Heat Mass Transfer 100, 876–891 | PDF, 24 s
Amir O, Aage N & Lazarov BS (2014) Na multigrid-CG pro efektivní optimalizaci topologie . Struct. Víceoborové. Optim. 49, 815–829
Alexandersen J & Lazarov B (2015) Optimalizace topologie vyrobitelných mikrostrukturních detailů bez separace délky v měřítku pomocí předpřipraveného spektrálního hrubého základu . Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 290, 156–182
Bell JH (2011) Měření barvy citlivé na tlak na společném výzkumném modelu NASA v transonickém aerodynamickém tunelu NASA o délce 11 stop . Na 49. zasedání AIAA Aerospace Sciences, včetně Fóra New Horizons a Aerospace Exposition 1128 (AIAA)
Bendsøe MP, Sigmund O, Bendsøe MP & Sigmund O (2004). Optimalizace topologie distribucí izotropního materiálu (str. 1-69) . Springer Berlin Heidelberg.
Bendsøe MP & Kikuchi N (1988) Generování optimálních topologií v konstrukčním návrhu pomocí metody homogenizace . Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 71, 197–224
Bendsøe MP & Sigmund O (2004) Topology Optimization - Theory, Methods and Applications (Springer)
Bruns TE & Tortorelli DA (2001) Optimalizace topologie nelineárních elastických struktur a vyhovujících mechanismů . Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 190, 3443–3459 | abstraktní
Cavazzuti, M. a kol. (2011) Vysoce výkonný design automobilového podvozku: přístup založený na optimalizaci topologie . Struct. Víceoborové. Optim. 44, 45–56
Chin T & Kennedy G (2016) Velká minimalizace shody a optimalizace vzpěr topologie nedeformovaného křídla Common Research Model . Na 57. konferenci AIAA / ASCE / AHS / ASC o strukturách, strukturální dynamice a materiálech 0939 (AIAA) | abstraktní
Evgrafov, A., Rupp, CJ, Maute, K. & Dunn, ML (2008) Optimalizace paralelní topologie ve velkém měřítku pomocí sub -strukturního řešiče dual-primal . Struct. Víceoborové. Optim. 36, 329–345 | abstraktní
Groen JP & Sigmund O. (2017) Optimalizace topologie založené na homogenizaci pro vyrobitelné mikrostruktury s vysokým rozlišením . Int. J. Num. Methods Eng. https://doi.org/10.1002/nme.5575%7C shrnutí
Helms, H. & Lambrecht, U. (2007) Potenciální příspěvek odlehčení ke snížení spotřeby energie v dopravě . Int. J. Posouzení životního cyklu. 12, 58–64
Jensen, JS & Sigmund, O. (2011) Optimalizace topologie pro nano-fotoniku . Laser Photonics Rev. 5, 308–321 | abstraktní
Kennedy, G. & Martins, J. A (2012) Porovnání kovových a kompozitních křídel letadel pomocí optimalizace aerostrukturálního designu . Na 12. konferenci AIAA Aviation Technology, Integration and Operations (ATIO) a 14. AIAA / ISSMO Multidisciplinary Analysis and Optimization Conference 5475, https://arc.aiaa.org/doi/abs/10.2514/6.2012-5475 (AIAA)
Kenway GKW, Kennedy GJ & Martins J (2014) Škálovatelný paralelní přístup pro vysoce věrnou aeroelastickou analýzu v ustáleném stavu a doplňkové derivační výpočty . AIAA J. 52, 935–951
Nomura T, Sato K, Taguchi K, Kashiwa T & Nishiwaki S (2007), optimalizace topologie Strukturální pro návrh širokopásmové dielektrických rezonátoru antény s použitím konečných domény techniku časového rozdílu . Int. J. Numer. Methods Eng. 71, 1261–1296 | abstraktní
Rao J, Kiran S, Kamesh J, Padmanabhan M & Chandra S (2009) Optimalizace topologie křídla letadla. J. Aerosp. Sci. Technol. 61, 402–414
Saad Y (2003) Iterativní metody pro rozptýlené lineární systémy Ch. 9.4.1 (SIAM)
Stanford B & Dunning P (2014) Optimální topologie konstrukcí žeber a nosníků letadel pod aeroelastickým zatížením . J. Aircr. 52, 1298–1311
Sardan O a kol. (2015) Rychlé prototypování zařízení založených na nanotrubičkách pomocí mikroskopů optimalizovaných pro topologii . Nanotechnology 19, 495503 (2008)
Sigmund OA (2001) 99 řádkový optimalizační kód topologie napsaný v Matlabu . Struct. Víceoborové. Optim. 21, 120–127
Tortorelli DA & Michaleris P (1994) Analýza citlivosti designu: přehled a recenze. Reverzní problém Eng. 1, 71–105
Wolff J Zákon přestavování kostí (Springer, 1986) [překlad]
Zhu, J., Zhang, W. & Xia, L. (2008) Optimalizace topologie v konstrukci letadel a leteckých konstrukcí . Oblouk. Comput. Methods Eng. 23, 1–28 (2015)