Penroseova dlažba

Tyto Penrose obklady jsou v geometrii , z dlažby roviny objevil britskou matematik a fyzik Roger Penrose v roce 1970 v roce 1984, které byly použity jako zajímavou model struktury kvazikrystalů .

Definice

Penroseovy obklady jsou neperiodické obklady charakterizované místními pravidly : pokud nejsou historicky první, kdo tuto vlastnost ověří, patří mezi nejjednodušší a jako takové jsou široce studovány (první takový obklad, který postavil Robert Berger v roce 1966, měl 20 426 dlaždice).

Mezi 17 periodické tilings plánu byly známy po dlouhou dobu, kdy Roger Penrose se začal zajímat o neperiodických obkladů. Jeho záměrem nebylo otevřít nový obor matematiky a fyziky, ale pouze vytvořit matematickou zábavu. V roce 1974 vydal článek představující mozaikování plánu pomocí pětiúhelníků , diamantů , pentagramů a částí pentagramů.

Některé Penroseovy tilingy představují symetrii řádu 5 (invariance rotací úhlu radiánu 2π / 5, tj. 72 stupňů), ale žádný není periodický, to znamená, že jej nelze popsat jako vzor opakovaný na pravidelné mřížce . Všechny jsou však téměř periodické, to znamená, že jakýkoli vzor objevující se v obkladu se pravidelně objevuje. Obecněji se jakákoli konečná část dlažby, jakkoli velká může být, v dlažbě nekonečně opakuje.

Náklony Penrose by zůstaly jen příjemnou matematickou zábavou, pokud by v roce 1984 nebyly objeveny materiály představující silně uspořádanou strukturu jako krystaly, ale ne periodickou: kvazi-krystaly . Neperiodické obklady, zejména ty z Penrose, se pak ukázaly jako věrohodný model těchto podivných materiálů.

Tento objev znovu ilustroval to, co si sám Roger Penrose všiml již v roce 1973, o předmětu obecné relativity: „Nikdy nevíš, kdy ztrácíš čas“.

Existují tři typy obkladů Penrose, každý s nekonečným počtem variací:

První typ , nazvaný P1, používá pětiúhelníky, diamanty, pentagramy a části pentagrams jako základní kusy.
Druhého typu , nebo P2, má jako základní části dvou čtyřúhelníků, jeden konvexní, druhou konkávní, známý jako „kitů“ a „šipky“.
Třetí typ , P3, má jako základní části dva druhy diamanty, „v pořádku“ a „velké“.

Bylo zjištěno, že šipky, draci a diamanty lze postavit z dvojice zlatých trojúhelníků. Kousky P2, „draci“ a „šipky“, se získají slepením dvou ostrých zlatých trojúhelníků se stranami úměrnými [1; φ; φ] a slepením dvou tupých zlatých trojúhelníků (nebo stříbrných trojúhelníků ) se stranami úměrnými [ 1; 1; φ]. Ty z P3, jemných a velkých diamantů, lepením dvou ostrých zlatých trojúhelníků se stranami úměrnými [1; φ; φ] a lepením dvou tupých zlatých trojúhelníků se stranami úměrných [φ; φ; φ²]. Tato řada zjednodušení umožňuje považovat zlaté trojúhelníky za prototypy ostatních mincí a říci, že „nula“ předchází ostatní.

Penroseova dlažba se zlatými trojúhelníky (dlažba typu 0)

Existuje mnoho způsobů, jak definovat zlatý trojúhelník . Jeden z nejjednodušších je:

„Zlatý trojúhelník je rovnoramenný trojúhelník, jehož strany mají délky úměrné [1; φ; φ] nebo [1; 1; φ], kde φ je zlaté číslo .“

Boky ostrého zlatého trojúhelníku mají délky úměrné [1; φ; φ]
Boky tupého zlatého trojúhelníku mají délky úměrné [1; 1; φ]

Můžeme ukázat, že se jedná o jediné rovnoramenné trojúhelníky, které splňují následující vlastnost : možnost rozřezat se na 2 nerovné rovnoramenné trojúhelníky a vlastnit je . $(P) \,$ $(P) \,$

Tyto dva typy zlatých trojúhelníků lze získat řezáním pravidelného pětiúhelníku :

Každý z těchto typů má úhel 36 ° (buď radiány), přičemž další dva úhly jsou (jak je znázorněno na obrázku výše) buď stejné, nebo násobky (faktorem 2 nebo 3). $\ alpha \,$ ${\ frac {\ pi} {5}} \,$ $\ alpha \,$ $\ alpha \,$

Úhel je spojen se zlatým číslem φ mnoha vlastnostmi; Vskutku : $\ alpha \,$

$\ cos \ alpha = \ sin {\ frac {3 \ alpha} {2}} = {\ frac {\ varphi} {2}} \,$ a $\ sin {\ frac {\ alpha} {2}} = \ cos 2 \ alpha = {\ frac {1} {2 \ varphi}} \,$

Mají také následující vlastnosti:

Libovolný ostrý zlatý trojúhelník ( A ) o rozměrech [1; φ; φ] lze rozložit (4 různými způsoby, 2 až 2 symetricky) na 3 trojúhelníky: tupý zlatý trojúhelník [1 / φ; 1 / φ; 1] a dva ostré zlaté trojúhelníky [1 / φ; 1; 1], tyto nové trojúhelníky proto mají, vzhledem k generujícímu zlatému trojúhelníku, velikost dělenou φ;
Libovolný tupý zlatý trojúhelník ( O ) o rozměrech [1; 1; φ] lze rozložit (dvěma různými a symetrickými způsoby) na dva trojúhelníky: ostrý zlatý trojúhelník [1 / φ; 1; 1] a tupý zlatý trojúhelník [1 / φ; 1 / φ; 1].

Tyto vlastnosti lze použít ke konstrukci obkladu Penrose typu 0. Tady je postup:

Vyříznutím prvního zlatého trojúhelníku (ostrého nebo tupého, na tom nezáleží) a zvětšením o faktor φ, pak opakováním předchozí operace nekonečně mnohokrát vytvoříme úplnou mozaiku roviny pomocí dvou typy zlatých trojúhelníků. Pokud v kroku n zavoláme počet ostrých trojúhelníků a počet tupých trojúhelníků, sledujeme vzorce opakování: $rok}}\,$ $my}}\,$

o _ {{n + 1}} = o _ {{n}} + a _ {{n}}

a _ {{n + 1}} = o _ {{n}} + 2a _ {{n}} = o _ {{n + 1}} + a _ {{n}}

Vzhledem k posloupnosti definované $A}$

u _ {{2n}} = o _ {{n}}

u _ {{2n + 1}} = a_ {n}

všimli jsme si, že tato sekvence splňuje relaci opakování Fibonacciho sekvence

u _ {{n + 2}} = u _ {{n + 1}} + u_ {n}

posloupnost víme, že poměr dvou po sobě jdoucích členů má sklon ke zlatému číslu φ. Limitní hodnota poměru počtu tupých trojúhelníků a počtu akutních trojúhelníků je tedy iracionální číslo, což znamená, že takto získaný obklad nemůže být periodický.

Dlažby pomocí draků a šipek (dlažba typu 2)

Předchozí obklad má výhodu v jednoduchosti, ale jeho konstrukce není jedinečná: každé řezání trojúhelníku lze skutečně provést nejméně dvěma různými způsoby (symetricky). Kromě toho tyto výřezy nepůsobí pravidelným dojmem, a proto vedou k poměrně neatraktivním náklonům.

Můžeme však navrhnout jiný typ dlažby.

Spojením dvou ostrých zlatých trojúhelníků majících pro společný vrchol, jehož přímka je osou symetrie pro dva další vrcholy (vrcholy odpovídající úhlu 36 °), se získá „dlažební kámen“ ve tvaru draka. . Pokud vyrobíme stejnou konstrukci se dvěma tupými trojúhelníky (vrcholy odpovídající úhlu 108 °), získáme „dlažební kámen“ ve tvaru šipky.

Poté můžeme letadlo připravit pomocí těchto dvou nových „dlažebních kamenů“. Ve skutečnosti, pokud budeme dávat velký pozor, abychom se nikdy nepřipojili k šipce a drakovi vytvořením rovnoběžníku, můžeme tedy vytvořit neperiodický obklad. K tomu stačí pojmenovat vrcholy, jak je uvedeno na obrázku výše, a zpravidla nastavit spojení dvou vrcholů, pouze pokud mají stejný název. Roviny tohoto typu je nekonečno naklonění.

Můžeme ale také, pokud jde o dláždění pomocí zlatých trojúhelníků, definovat algoritmus „konstrukce řezáním“ sestávající z každého kroku rozřezání každého draka na dva draky a dvě poloviční šipky a šipku. V drakovi a dvou polovičních šipkách, a zvětšením získaného výsledku o faktor φ (všimněte si, že vrcholy mění název v každé fázi, A se stává B a B se stává A).

Konzistence procesu je zajištěna skutečností, že takto vygenerované poloviční šipky se vždy spojí se svým sousedem a vytvoří kompletní šipku (což zajistí zmizení tečkovaných čar viditelných na předchozím obrázku).

Obrázek získaný po několika iteracích odhaluje kvazi-symetrii řádu 5. Je snadné dokázat, že pokud jde o zlaté trojúhelníky, poměr mezi počtem draků a šipkami směřuje ke zlatému číslu φ, což zajišťuje, že takto konstruovaná dlažba není periodická.

Na rozdíl od prvního typu dlažby zde konstrukce řezáním generuje pouze jeden typ dlažby typu 2, protože řezání draků a šipek lze provádět pouze jedním způsobem!

Příklad: tři generace čtyř postav

Zde jsou příklady po sobě jdoucích generací vycházejících ze základního tvaru. Na obrázcích „Slunce“ a „Hvězda“ najdeme počáteční číslo redukované na druhou generaci. „Slunce“ se dokonce objevuje v generaci 3.

Příjmení	Generace 0	Generace 1	Generace 2	Generace 3
Kite (napůl)
Šipka (napůl)
slunce
Hvězda

Dlažba s diamanty (dlažba typu 3)

Rovinu je také možné připravit pomocí dvou jednoduchých geometrických obrazců, jako jsou následující dva diamanty . Pokud je sestavíte při respektování barvy a směru vektorů. Tato montážní omezení zajišťují, že získaná dlažba nebude periodická. Stejně jako dříve existuje nekonečné množství neperiodických naklonění roviny pomocí těchto dvou částí.

Dodržujte pravidla montáže při ruční konstrukci velké dlažby je obtížné: ukázalo se, že prakticky všechny konečné konfigurace, bez ohledu na to, jak velké, nelze rozšířit do nekonečna. Osoba, která se snaží vydláždit velkou plochu, například hlavolamem, bude proto často vedena do slepé uličky, jako díra, kterou nelze vydláždit podle pravidel, a bude muset částečně uvolnit své shromáždění, aby zkusila další obklad.

Kromě toho neexistuje žádný lokální algoritmus růstu mozaikování, který zaručuje, že obklady jsou nekonečně rozšiřitelné. Jinými slovy, všechny konstrukční metody přidáním dlaždic jeden po druhém, které zabraňují slepé uličce, nutně zohledňují všechny již umístěné dlaždice.

Pokud jde o ostatní typy obkladů Penrose, můžeme také definovat algoritmus „konstrukce řezáním“: postačí rozřezat každý velký kosočtverec na velký kosočtverec, dva tenké půl kosočtverce a dva velké poloviční kosočtverce a každý kosočtverec končí v dva tenké poloviční diamanty a dva velké poloviční diamanty. Konzistence procesu je zajištěna skutečností, že takto vygenerované poloviční kosočtverce se vždy spojí se svým sousedem a vytvoří kompletní kosočtverec (což zajistí zmizení tečkovaných čar viditelných na obrázku níže).

Číslo získané po několika iteracích odhaluje kvazi-symetrii řádu 5. Je snadné dokázat, že u zlatých trojúhelníků má poměr mezi počtem velkých diamantů a jemných diamantů sklon ke zlatému poměru φ. Tím je zajištěno, že takto konstruovaná dlažba není periodická.

Tzv. „Pětiúhelníková“ dlažba (dlažba typu 1)

Dlažba postavená kolem pětiúhelníků, P1, je ve skutečnosti první objevenou Penrosem, který byl původně inspirován výzkumem Johannesa Keplera . Je dobře známo, že člověk nemůže zakrýt letadlo pravidelnými pětiúhelníky, ale k zaplnění mezer stačí tři další kusy, a to při zavedení neperiodického řádu. Jedná se o tenký kosočtverec, pentagram a „loď“, která představuje zhruba 3/5 pentagramu. Pro přímou konstrukci neperiodických obkladů je také nutné rozlišovat tři druhy pětiúhelníků. Mnohem jednodušší řešení spočívá ve skicování pětiúhelníků na tenkých a hrubých diamantech, které jsou uspořádány do obkladů typu 3. Obklady

můžeme přímo najít pomocí zlatých trojúhelníků v pětiúhelníkovém obkladu, aniž bychom použili kosočtverce. Pokud přiřadíme bodům pětiúhelníků postupně čísla 1, 3, 5, 2, 4 , budou očíslovány všechny body, které definují obklad P3. To lze provést konzistentním a jednoznačným způsobem podle potřeby otočením doleva nebo doprava. Když vyberete body, které mají stejný počet, získáte obklad typu „nula“ . Podmnožina bodů očíslovaných 3 a 4 dává další variantu Penroseových obkladů, získanou dvěma kusy známými jako „motýl“ a „raketoplán“.

Pokrytí dekagony

Německá matematička Petra Gummelt dokázala v roce 1996, že Penroseovy obklady lze získat zakrytím roviny pouze dekagony za předpokladu, že jsou povoleny dva diskrétní typy zásahu. Navrhovaný desetiúhelník je vyzdoben pěti draky a povolený zásah nemění konfiguraci těchto barevných částí.

Je možné rozdělit desetiúhelník na šipky a draky a výslednou tabulku snížit na obklad Penrose. Dlažbu s diamanty najdete přímo gravírováním velkého diamantu do dekagonu; části ponechané v dutině budou ty, které jsou vyplněny jemnými diamanty. Tento nový způsob postupu měl značný dopad na představy o tvorbě kvazikrystalů.

Události

Výskyty Penroseových obkladů můžeme spojit se třemi hlavními kategoriemi:

Matematika: ve skutečnosti je to jediný vhodný kontext pro zvážení Penrosových obkladů. Jelikož se jedná o nedokončené objekty, většina tvrzení o nich platí pouze s podpůrnými důkazy. Existence neperiodické sady „dlaždic“ byla prokázána v 60. letech a zvláštní případy redukované na dva kusy mají tu výhodu, že patří mezi nejjednodušší možné. Alain Connes udělal z Penroseových obkladů privilegovaný příklad své nekomutativní geometrie .
Na základní úrovni jsme našli mnohonásobný a velmi blízký vztah mezi zlatým řezem , Fibonacciho a Penrosovým obkladem.
Fyzika: zájem fyziků přišel až po roce 1984, kdy byly objeveny první kvazi-krystaly . Docela rychle bylo zjištěno, že dva typy představují kvazi-symetrii řádu 5: ty s ikosahedrální strukturou a ty s jednoduše desetibokou strukturou . V obou případech existují roviny, kde uspořádání atomů dává Penrosovu dlažbu. Ve své práci fyzici používají obecnou metodu, která umožňuje získat neperiodické obklady z jednoduchých sítí v rozměrech větších než 3.
Umění: estetická hodnota obkladů Penrose je okamžitě patrná. Můžeme předpokládat, že se jedná o stejný psychický mechanismus, který způsobil vývoj prokládání a dalších podobných ozdob. Spojení s dekoracemi se středovou symetrií řádu 5 nebo 10 bylo provedeno na začátku kvazikrystalického módu. V mešitě Darb-i imáma v Isfahánu existují důvody, které umožnily potvrdit, že řemeslníci středověkého islámu měli všechny prvky, aby postavili Penroseovu dlažbu. Mezi náčrtky Alberta Dürera jsou vzory vytvořené z pětiúhelníků a diamantů, které lze spojit s dílem Johannesa Keplera . Fragment obkladu, který se objevuje v Harmonices Mundi, lze periodicky prodlužovat, což vytváří typ ekvivalentní typu Penrose (P1). Roger Penrose schválil jeho objev jako „soubor dlaždic k pokrytí povrchů“, přičemž upřesnil, že „uspořádání, které tvoří, je nutně neperiodické, což mu dodává značnou vizuální přitažlivost“, a postaral se o komerční využití. Současní umělci (Clark Richert, Jos Leys) se nechali inspirovat jeho skvělým nálezem.

Poznámky a odkazy

(in) R. Penrose, „Pentaplexity“ Bull. Inst. Matematika. Appl. , let. 10, 1974, s. 266-271 .
La Recherche / Tangente, květen-červen 2000, s. 40
Například Jean-Claude Thiénard , Maryse Cheymol , Maryse Combrade a Louis-Marie Bonneval , matematika druhá ( číst online ) , s. 100
Někteří autoři vyhrazují kvalifikátor zlatého trojúhelníku pouze pro akutní zlatý trojúhelník a nazývají tento trojúhelník zlatým Gnomonem (viz například článek Zlatý gnomon , na mathworld).
R. Penrose, Obklady a kvazikrystaly: problém nelokálního růstu? in: Marko Jarić (Ed.), Introduction to the Mathematics of Quasicrystals. Academic Press, 1989, str. 53–80.
Nelokální růst trosek Penrose od Elissy Joanne Rossové, B.SC. University of Guelph, 2003 [1]
Kepler J., Harmonices Mundi , 1619, [2]
Lück R., Penrose Sublattices, J. of Non Crystaline Solids 117-8 (90) 832-5
P. Gummelt, Geometriae Dedicata 62, 1 (1996)
Emil Makovicky (1992), „800 let starý pětiúhelníkový obklad z Maraghy v Íránu a nové odrůdy neperiodických obkladů, které jej inspirovaly“. In: I.Hargittai, redaktor: Fivefold Symmetry , s. 67-86. World Scientific, Singapur - Londýn
Lu J. a Steinhardt p., Decagonal and Quasi -rystaline Tilings in Medieval Islamic Architecture . Science 315 (2007) 1106-1110.
Luck R., Dürer-Kepler-Penrose vývoj devítibokých obkladů, Mat. Sci. Eng. 294-6 (2000) 263-7
Roger Penrose, US Patent 4,133 152 Sada dlaždic pro zakrytí povrchu , vydaná 9. ledna 1979 (platnost vypršela)

Podívejte se také

Bibliografie

Dobrodružství dlažby Penrose Revue Tangente a La Recherche (duben -Květen 2000)

Související články

externí odkazy

„ Prohlížeč obkladů Penrose “
Pavings , na webových stránkách CNRS Mathematics Images
(it) Film (v italštině) na chodnících Penrose