V geometrii , je pravidelný mnohoúhelník hvězda (nezaměňovat s hvězdičkou částí ) je pravidelný non konvexní polygon . Nepravidelné mnohoúhelníky označené hvězdičkou nejsou formálně definovány.
Branko Grünbaum identifikuje dva primární pojmy používané Keplerem , jeden je pravidelný hvězdný polygon s protínajícími se hranami, které negenerují nové vrcholy, a druhý jsou jednoduché konkávní polygony.
Když se hvězda polygon má několik vrcholů nebo stran, jeho název lze kombinovat číslice prefix, jako je penta pro číslo pět vrcholů nebo stran, s řeckým příponou -gone nebo -gramme (název polygonu je tedy pětiúhelník , nebo pentagram pro hvězdný pětiúhelník). Nejběžnější předpona pochází z řečtiny, ale nona- například pochází z latiny, ve jménu „ nonagram “ mnohoúhelníku s devíti vrcholy, nazývaného také „ enneagram “.
|
|
{7/3} ... |
Hvězdný pravidelný mnohoúhelník je rovnostranný mnohoúhelník a rovnostranný, který se protíná sám, vytvořený spojením vrcholu pravidelného mnohoúhelníku se stranami p k jinému vrcholu nesousedícímu a pokračováním procesu až do návratu k prvnímu vrcholu. Alternativně pro celá čísla p a q ji můžeme považovat za konstrukci spojující všechny q - té vrcholy sady p vrcholů pravidelně rozmístěných a umístěných v kruhu. Například v pravidelném pětiúhelníku lze pěticípou hvězdu získat nakreslením čáry od prvního bodu ke třetímu, poté od třetího k pátému, poté od pátého k druhému, poté od druhého k čtvrtý a nakonec od čtvrtého k prvnímu. Stručně řečeno, pravidelný hvězdný polygon lze získat pohledem na pravidelný konvexní mnohoúhelník.
Polynom s pravidelnou hvězdou je označen Schläfliho symbolem { p / q }, kde p a q jsou coprime a q ≥ 2.
Skupina symetrie { n / k } je dvojitá skupina D n řádu 2 n nezávislá na k .
Pravidelné polygony s hvězdičkou nejprve systematicky studoval Thomas Bradwardine a později Kepler .
Pokud p a q nejsou navzájem prvočísla, vygenerovaný polygon je výsledkem shodných vrcholů a hran. Například {6/2} se zobrazí jako trojúhelník, ale lze jej označit dvěma sadami vrcholů 1–6. Tento jev by neměl být vnímán jako dva na sebe navrstvené trojúhelníky, ale jako jediný polygon, který se smyčkoval zpět na sebe.
Když jsou protínající se čáry odstraněny, hvězdné polygony nejsou pravidelné, ale lze je považovat za 2n- gony jediný konkávní isotoxaux . Branko Grünbaum představuje tyto hvězdy | n / a |. Mají stejnou geometrii jako polygony { n / d } s obecnější notací {n α }, která představuje hvězdu s n větvemi, z nichž každá má vnitřní úhel α <180 (1 - 2 / n ) stupňů. Pro | n / d |, vnitřní vrcholy mají vnější úhel β 360 ( d -1) / n
Tyto polygony jsou často pozorovány v teselačních modelech. Parametrický úhel α lze v takových modelech zvolit tak, aby odpovídal vnitřním úhlům sousedních polygonů.
Vnitřek hvězdného polygonu lze interpretovat několika způsoby. Tři z těchto interpretací jsou ilustrovány pro pentagram. Branko Grünbaum a Geoffrey Shephard zvážit dva z nich byly provedeny řádně hvězdicovité polygony a konvexní isogonal 2n -gons .
Tyto zahrnují:
Každý z výše uvedených přístupů vede k tomu, že polygon získá jinou oblast.
Hvězdné polygony zaujímají prominentní místo v umění a kultuře. Ať už jsou pravidelné nebo ne, vždy jsou vysoce symetrické. Můžeme citovat například:
Červený oktagram {8/3} zabudovaný do běžného černého osmiúhelníku . |
Solomona pečeť (s kruhem a tečkami). |
Anglický text k překladu:
Pokud d je liché, zkrácení mnohoúhelníku {p / q} je přirozeně {2n / d}.