Polynom zvonů

V matematice a přesněji v kombinatorice je Bellův polynom , pojmenovaný podle matematika Erica Temple Bell , definován:

B _ {{n, k}} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x _ {{n-k + 1}}) = \ sum {n! \ over j_ {1}! j_ {2}! \ cdots j _ {{n-k + 1}}!} \ left ({x_ {1} \ over 1!} \ right) ^ {{j_ {1}}} \ left ({x_ {2} \ over 2!} \ right) ^ {{j_ {2}}} \ cdots \ left ({x _ {{nk + 1}} \ over (nk + 1)!} \ vpravo) ^ {{j _ {{nk + 1}}}}

kde součet souvisí se všemi posloupnostmi j 1 , j 2 , j 3 ,…, j n - k +1 přirozených čísel, jako jsou:

{\ displaystyle j_ {1} + j_ {2} + \ cdots + j_ {n-k + 1} = k}

{\ displaystyle j_ {1} + 2j_ {2} + 3j_ {3} + \ cdots + (n-k + 1) j_ {n-k + 1} = n}

Kompletní Bell polynomy

Součet

B_ {n} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} B _ {{n, k}} (x_ { 1}, x_ {2}, \ dots, x _ {{n-k + 1}})

se někdy nazývá n -tý plný Bellův polynom a potom se polynomy B n , k definované výše nazývají „částečné“ Bellovy polynomy. Kompletní Bell polynomy B n lze vyjádřit determinantem matice :

B_ {n} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) = {\ begin {vmatrix} {0 \ select 0} x_ {1} & {1 \ choose 0} x_ {2 } & {2 \ choose 0} x_ {3} & {3 \ choose 0} x_ {4} & \ cdots & {n-2 \ choose 0} x _ {{n-1}} & {n-1 \ zvolte 0} x_ {n} \\\\ - 1 & {1 \ vyberte 1} x_ {1} & {2 \ vyberte 1} x_ {2} & {3 \ zvolte 1} x_ {3} & \ cdots & {n -2 \ choose 1} x _ {{n-2}} & {n-1 \ choose 1} x _ {{n-1}} \\\\ 0 & -1 & {2 \ choose 2} x_ {1} & {3 \ select 2} x_ {2} & \ cdots & {n-2 \ choose 2} x _ {{n-3}} & {n-1 \ choose 2} x _ {{n -2}} \\\\ 0 & 0 & -1 & {3 \ vyberte 3} x_ {1} & \ cdots & {n-2 \ vyberte 3} x _ {{n-4}} & {n- 1 \ vyberte 3} x _ {{n-3}} \\\\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ cdots & {n-2 \ choose n-2} x_ {1} & {n- 1 \ choose n-2} x_ {2} \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ cdots & -1 & {n-1 \ select n-1} x_ {1} \ end {vmatrix}} = {\ begin {vmatrix} {j -1 \ choose i-1} x _ {{ji + 1}} - \ delta _ {{ji + 1}} \ end {vmatrix}}

s delta K na symbol Kronecker . Matice, jejíž B n je určující, je Hessenbergova matice .

Kombinatorický výklad

V případě, že číslo n se rozdělí v množství, kde „1“ se objeví j 1 -krát, „2“ se objeví j 2 -krát, a tak dále, pak počet přepážkami sady s n prvky, které odpovídají rozdělení celé číslo n když už nerozlišujeme prvky množiny, je odpovídající koeficient polynomu.

Příklady

Například máme:

B _ {{6.2}} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}) = 6x_ {5} x_ {1} + 15x_ {4} x_ {2 } + 10x_ {3} ^ {2}

protože tam je:

6 oddílů sady 6 prvků formuláře 5 + 1;
15 přepážek formuláře 4 + 2;
10 oddílů formuláře 3 + 3.

Rovněž:

B _ {{6.3}} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}) = 15x_ {4} x_ {1} ^ {2} + 60x_ {3} x_ {2} x_ {1} + 15x_ {2} ^ {3}

protože tam je:

15 oddílů sady 6 prvků formuláře 4 + 1 + 1;
60 oddílů formuláře 3 + 2 + 1;
15 oddílů formuláře 2 + 2 + 2.

Vlastnosti

Vzorec opakování

B _ {{n + 1}} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x _ {{n + 1}}) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} {\ binom {n} {k}} B _ {{nk}} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x _ {{nk}}) \, x _ {{k + 1}} = \ součet _ {{k = 0}} ^ {n} {\ binom {n} {k}} B_ {k} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {k}) \, x _ {{nk + 1}}

B 0 = 1

. Demonstrace

Matice, která je Hessenbergovou maticí , může rozvíjet svůj determinant podle posledního sloupce, což dává vzorec opakování. ${\ begin {pmatrix} {j-1 \ vyberte i-1} x _ {{j-i + 1}} - \ delta _ {{j-i + 1}} \ end {pmatrix}}$

Stirlingovo číslo druhého druhu

B _ {{n, k}} (1,1, \ dots, 1) = {\ begin {Bmatrix} n \\ k \ end {Bmatrix}}

Bell číslo

B_ {n} (1,1, \ dots, 1) = B_ {n}

Demonstrace

B_ {n} (1,1, \ dots, 1) = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} B _ {{n, k}} (1,1, \ dots, 1) = \ součet _ {{k = 1}} ^ {n} {\ začátek {Bmatrix} n \\ k \ konec {Bmatrix}} = B_ {n}

Počet Stirlingů prvního druhu (bez znaménka)

{\ displaystyle B_ {n, k} (0 !, 1 !, \ tečky, (nk)!) = {\ begin {bmatrix} n \\ k \ end {bmatrix}}}

Počet Lah

B _ {{n, k}} (1 !, 2 !, \ Dots, (n-k + 1)!) = \ Left \ lfloor {\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix}} \ right \ rfloor

Faktoriální

{\ displaystyle B_ {n} (0,1, \ tečky, n-1) = (n-1)!}

pro

n \geq 1

B_ {n} (0 !, 1 !, \ Dots, (n-1)!) = N!

B_ {n} (- 0 !, - 1 !, \ Dots, - (n-1)!) = 0

Poslední argument

$B _ {{n, 1}} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) = x_ {n}$
$\ forall k> 1, B _ {{n, k}} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x _ {{n-k + 1}}, x _ {{n-k + 2}}, \ tečky, x_ {n}) = B _ {{n, k}} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x _ {{nk + 1}}) = B _ {{n, k} } (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x _ {{nk + 1}}, 0, \ dots, 0)$
$B_ {n} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x _ {{n-1}}, x_ {n}) = B_ {n} (x_ {1}, x_ {2}, \ tečky, x _ {{n-1}}, 0) + x_ {n}$

Binomický typ

B_ {n} (x_ {1} + y_ {1}, x_ {2} + y_ {2}, \ dots, x_ {n} + y_ {n}) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} {\ binom {n} {k}} B _ {{nk}} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x _ {{nk}}) B_ {k} (y_ {1 }, y_ {2}, \ tečky, y_ {k})

s $B 0 = 1$ .

Reciproční

Nechť $f$ je nekonečně diferencovatelná funkce v bodě $a$ a reciproční $f -1$ , pak:

y_ {n} = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} [f] _ {{x = a}} ^ {{(k)}} B _ {{n, k}} (x_ { 1}, x_ {2}, \ dots, x _ {{n-k + 1}}) \ Leftrightarrow x_ {n} = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} [f ^ {{- 1} }] _ {{x = f (a)}} ^ {{(k)}} B _ {{n, k}} (y_ {1}, y_ {2}, \ dots, y _ {{nk + 1}})

Speciální případy

Tím, že vezmeme $f ( x ) = e x$ (tj. $F -1 ( x ) = ln ( x )$ ) nekonečně diferencovatelné na 0, máme:

$[f] _ {{x = 0}} ^ {{(k)}} = 1$
$[f ^ {{- 1}}] _ {{x = f (0)}} ^ {{(k)}} = (- 1) ^ {{k-1}} (k-1)!$

odkud :

y_ {n} = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} B _ {{n, k}} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x _ {{n-k + 1} }) \ Leftrightarrow x_ {n} = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} (- 1) ^ {{k-1}} (k-1)! B _ {{n, k}} (y_ {1}, y_ {2}, \ dots, y _ {{n-k + 1}})

je :

x_ {n} = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} (- 1) ^ {{k-1}} (k-1)! B _ {{n, k}} [B_ {1 } (x_ {1}), B_ {2} (x_ {1}, x_ {2}), \ dots, B _ {{n-k + 1}} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x _ {{nk + 1}})]

Tím, že vezmeme $f ( x ) = x α$ s $α \neq 0$ (tj. $F -1 ( x ) = x 1 / α$ ) nekonečně diferencovatelné v 1, máme:

$[f] _ {{x = 1}} ^ {{(k)}} = \ alpha ^ {{\ podtržení {k}}}$
$[f ^ {{- 1}}] _ {{x = f (1)}} ^ {{(k)}} = \ left ({\ frac {1} {\ alpha}} \ right) ^ {{ \ podtrhnout {k}}}$

s $. K$ na klesající faktoriál , tedy:

y_ {n} = \ součet _ {{k = 1}} ^ {n} \ alpha ^ {{\ podtržení {k}}} B _ {{n, k}} (x_ {1}, x_ {2} , \ dots, x _ {{n-k + 1}}) \ Leftrightarrow x_ {n} = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} \ left ({\ frac {1} {\ alpha}} \ vpravo) ^ {{\ underline {k}}} B _ {{n, k}} (y_ {1}, y_ {2}, \ dots, y _ {{nk + 1}})

Klesající faktor

\ forall (a, b) \ in \ mathbb {N} ^ {2}, \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} a ^ {{\ podtržení {k}}} B _ {{n, k}} (b ^ {{\ podtržení {1}}}, b ^ {{\ podtržení {2}}}, \ tečky, b ^ {{\ podtržení {n}}}) = (ab) ^ {{ \ podtrhnout {k}}}

s $. K$ na klesající faktoriál .

Chování měřítka

Částečné polynomy zvonu Obecný případ

B _ {{n, k}} (\ alpha \ beta x_ {1}, \ alpha \ beta ^ {2} x_ {2}, \ dots, \ alpha \ beta ^ {{n-k + 1}} x_ {{ nk + 1}}) = \ alpha ^ {k} \ beta ^ {n} B _ {{n, k}} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x _ {{nk +1} })

Speciální případy

B _ {{n, k}} (\ alpha x_ {1}, \ alpha x_ {2}, \ dots, \ alpha x _ {{nk + 1}}) = \ alpha ^ {k} B _ {{ n, k}} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x _ {{n-k + 1}})

B _ {{n, k}} (\ alpha x_ {1}, \ alpha ^ {2} x_ {2}, \ dots, \ alpha ^ {{n-k + 1}} x _ {{n-k + 1}} ) = \ alpha ^ {n} B _ {{n, k}} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x _ {{nk + 1}})

Kompletní Bell polynomy Obecný případ

B_ {n} (\ alpha \ beta x_ {1}, \ alpha \ beta ^ {2} x_ {2}, \ dots, \ alpha \ beta ^ {n} x_ {n}) = \ beta ^ {n} \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} \ alpha ^ {k} B _ {{n, k}} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x _ {{nk + 1 }})

Speciální případy

B_ {n} (\ alpha x_ {1}, \ alpha x_ {2}, \ dots, \ alpha x_ {n}) = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} \ alpha ^ {k} B _ {{n, k}} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x _ {{nk + 1}})

B_ {n} (\ alpha x_ {1}, \ alpha ^ {2} x_ {2}, \ dots, \ alpha ^ {n} x_ {n}) = \ alpha ^ {n} B_ {n} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n})

Jiný výraz

B_ {n} (\ alpha x_ {1}, \ alpha x_ {2}, \ dots, \ alpha x_ {n}) = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} \ alpha ^ {{\ podtržení {k}}} B _ {{n, k}} [B_ {1} (x_ {1}), B_ {2} (x_ {1}, x_ {2}), \ dots, B _ {{ n- k + 1}} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x _ {{n-k + 1}})]

s $. K$ na klesající faktoriál .

Konvoluční identita

Pro posloupnosti x n , y n , n = 1, 2,… můžeme definovat konvoluční produkt podle:

(x \ diamondsuit y) _ {n} = \ sum _ {{j = 1}} ^ {{n-1}} {n \ vyberte j} x_ {j} y _ {{nj}}

(limity součtu jsou 1 a n - 1, a ne 0 a n ).

Nechť je n -tý člen posloupnosti $x_ {n} ^ {{k \ diamondsuit}}$ $\ displaystyle \ underbrace {x \ diamondsuit \ cdots \ diamondsuit x} _ {{k \ {\ mathrm {faktory}}}}$

Tak :

B _ {{n, k}} (x_ {1}, \ dots, x _ {{n-k + 1}}) = {x _ {{n}} ^ {{k \ diamondsuit}} \ přes k!}

Aplikace

Vzorec Faà di Bruno

FAA di Bruno vzorec lze konstatovat, pomocí polynomů Bell následujícím způsobem:

{d ^ {n} \ over dx ^ {n}} f (g (x)) = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} f ^ {{(k)}} (g (x) ) B _ {{n, k}} \ left (g '(x), g' '(x), \ dots, g ^ {{(nk + 1)}} (x) \ right)

Podobně můžeme uvést verzi tohoto vzorce týkajícího se formální řady : předpokládejme, že

f (x) = \ suma _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {a_ {n} \ nad n!} x ^ {n}

g (x) = \ suma _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {b_ {n} \ nad n!} x ^ {n}

Tak :

g (f (x)) = \ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {\ sum _ {{k = 1}} ^ {{n}} b_ {k} B _ {{n, k}} (a_ {1}, \ dots, a _ {{n-k + 1}}) \ přes n!} x ^ {n}

Komplexní polynomy Bell se objevují v exponenciálu formální řady (in) :

\ exp \ left (\ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {a_ {n} \ over n!} x ^ {n} \ right) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {B_ {n} (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) \ přes n!} x ^ {n}

Okamžiky a kumulanty

Pro skutečnou náhodnou proměnnou, jejíž okamžik řádu $r$ existuje , máme:

m_ {r} = B_ {r} (\ kappa _ {1}, \ kappa _ {2}, \ dots, \ kappa _ {r})

s $m r$ o běžný okamžik objednávky $r$ a $mítk 1 , mítk 2 , ..., κ r$ na cumulants žádáním $1.$ do $r$ .

Reprezentace polynomiálních sekvencí

Pro jakékoliv sekvence 1 , 2 , a 3 , ... z skaláry, a to:

p_ {n} (x) = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} B _ {{n, k}} (a_ {1}, \ dots, a _ {{n-k + 1}}) x ^ {k}

Tato posloupnost polynomů je binomického typu (en) , tj. Splňuje následující binomickou identitu:

p_ {n} (x + y) = \ součet _ {{k = 0}} ^ {n} {n \ vyberte k} p_ {k} (x) p _ {{nk}} (y)

pro n ≥ 0.

Ve skutečnosti máme také konverzaci:

Teorém Všechny sekvence polynomů binomického typu lze vyjádřit ve formě zahrnující Bellovy polynomy.

Pokud se zeptáme

h (x) = \ součet _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {a_ {n} \ nad n!} x ^ {n}

uvažujeme-li tuto řadu jako formální, pak pro všechna n :

h ^ {{- 1}} \ left ({d \ over dx} \ right) p_ {n} (x) = np _ {{n-1}} (x)

Poznámky a odkazy

(en) W.-S. Chaou, Leetsch C. Hsu, Peter J.-S. Shiue, „ Aplikace vzorce Faà di Bruno při charakterizaci inverzních vztahů “, Journal of Computational and Applied Mathematics , sv. 190, 2006, s. 151–169
(in) Andrzej Korzeniowski, „ Dominance binomických ocasů pro náhodné grafy pomocí Bell Polynomials “ v JPSS , sv. 4, č. 1, 2006, s. 99-105

(en) Eric Temple Bell , „ Partition Polynomials “ , Ann. Matematika. , sv. 29, n os 1/4, 1927-1928, str. 38-46 ( DOI 10.2307 / 1967979 )
(en) Louis Comtet , Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions , Reidel Publishing Company, Dordrecht-Holland / Boston-US, 1974
(in) Steven Roman (in) , The Umbral Calculus , Dover Publications

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „ Bell polynomials “ ( viz seznam autorů ) .

Související články